课件2：11.2.2 三角形的外角

（三角形内角和定理）
三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个 内角的和
∴∠A +∠C =180 °－∠ABC ∴∠CBD=∠A+∠C
（等量代换）
三角形的外角与一个不相邻角的大小关系：
如图： ∵∠ACD= ∠A+ ∠B ∴∠ACD > ∠A (<、>)；
B ∠ACD > ∠B (<、>)
A
C
D
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不 相邻的内角。
∴∠1+ ∠2 + ∠3+=2（∠BAC+∠ABC+ ∠ACB） （等式性质）
∵∠BAC+∠ABC+ ∠ACB =180°（三角形内角和定理）
∴∠1+ ∠2 + ∠3=2× 180° =360°（等式性质）
结论：三角形的外角和为360度。
探索：三角形的外角和
A1
∵∠1+∠BAC=180° ∠2+∠ABC=180°
∴∠ABC+∠ACB=90° ∵∠ABO=20° ∠ACO=30°
C ∴∠OBC+∠OCB=40°
∵∠OBC+∠A+∠OCB=180°
∴∠BOC=140°
“行家”看“门道”
解：连接AO并延长至点D
B
20 ºD
A
90º O
30º
∵∠BOD=∠BAD+∠B ∠COD=∠CAD+∠C
∴∠BOD+∠COD =∠BAD+∠B+∠CAD+∠C
3.三角形的外角的和等于360度。

第 十 一 章 三 角 形
— 24 —
A B
N1
C
2
M
F
P3
D
E
已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
A
解：∵∠1是△FBD的外角
B
H 2 1F
∴∠1=∠B+ ∠D E 同理∠2=∠C+∠E
∵在△AHF中
C
∠A+∠1+∠2=180º D ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180º
“行家”看“门道”
∴∠3＝ ∠4，∠2＝ ∠BAE
B
3 （两直线平行，同位角相等）
2
C ∵D∠1＋ ∠ 4＋∠BAE= 360°
（周角定义）
结论：三角形的外角和为 ∴∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ 360°
（等量代换）
360度。
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列： ∠1 ﹥∠2﹥ ∠3 A
D
E
C
B
如图，计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ____3_6_0___度
2
C
B
3
∠3+ ∠BCA =180°（邻补角定义）
∴∠1+ ∠2 + ∠3+ ∠BAC+∠ABC+ ∠BCA =540°
（等式性质）
∵∠BAC+∠ABC+ ∠BCA =180°（三角形内角和定理）
∴∠1+ ∠2 + ∠3=360° （等式性质）
结论：三角形的外角和为360度。
画平行线法：
A4 1
E 解：过A作AE∥BC
B
∴∠BOC=90°+20°+30°=140°
小结：通过本节课的学习，谈谈从中得到的收获与启示 1.三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成 的角,叫做三角形的外角.
2.三角形的一个外角的性质 (1)三角形的一个外角与它相邻内角的关系是互为邻补角。
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
第
十
一
11.2.2 三角形的外角
章 三
角
形
— 1—
观察与思考： 三角形外角定义：三角形的一边与另一
边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
B 不相邻 内角
A 相邻内角 C
想一想： 外角与相邻内角有什么特殊关系？
外角 D
发现：∠BCD与∠ACB互为邻补角 即: ∠BCD(外角)+∠ACB(相邻内角)=180°
C ∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C
∵∠BAC=90°∠B=20°∠C=30°
∴∠BOC=90°+20°+ 30°=140°
“行家”看“门道”
解：延长BO交AC点D
A
∵∠BDC=∠A+∠B
90º D
∠BOC=∠BDC+∠C
20º O
30º C
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C ∵∠A=90°∠B=20°∠C=30°
角形的外角和。如图：∠1+∠2+∠3 的和 就是
△ABC的外角和。
猜一猜： ∠1+∠2+∠3= 360 度
A1
2 B
3C
类比三角形外角性质的探究方法，你能否进一步 说明你的猜想的正确性？
探索：三角形的外角和
∵∠1= ∠ABC+ ∠ACB ∠2= ∠BAC+ ∠ACB
A1
2 B
3C
∠3= ∠BAC+ ∠ABC （三角形外角性质）
仔细查找：
如图，∠1是△ABC外角的图形有
A
A
1
（1）、（5） A
1
B
（1）
C A
B
C
（2）
B A
（3） C
1
B （4） C 1
B
1 （5）
C
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动
手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
C
E
5
4
3
A
6
9
12Biblioteka ABC7
8
F B 外角
D
归纳：1、每一个顶点相对应的外角都有（ 2 ）个,这两
∠CBD=∠A+∠C
你能用一句话来概括你的发现吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角与不相邻的两个内角之间的关系
如图：证明∠CBD=∠A+∠C
不相邻 C
证明：∵∠CBD+∠ABC=180°
内角
（邻补角定义）
∴∠CBD =180 °－∠ABC
A
BD
∵∠A+∠C+ ∠ABC= 180°
∠α=__9_5_º
25º
123º
35º α
∠α=_6_0_º
α
80º
∠α=_4_3_º
联系实际，应用成果：
A
D
E
B
2、如图∠BDC是 △ADC C 的外角,
也是 △ADE 的外角
因此∠BDC=∠DAC+ ∠ACD=∠AED+ ∠DAE
探索：三角形的外角和
每个内角只取一个外角，这三个外角的和就是三
个外角互为( 对顶角 )。
2、每一个三角形都有( 6 )个 外角．
3、每个外角与相邻的内角是（ 邻补角）。
探究：三角形的一个外角与不相邻的两个内角之 间的关系 C
不相邻 内角
A
B
D
根据图形计算∠ CBD的大小. C
C
400
350
75° 105°
A
B
D
800 60° 120°
A
B
D
通过计算,你发现∠CBD与∠A、∠C之间有什么关系？
一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于90°，
∠B 、∠C应分别是30°和 20°，李叔叔量得
∠BOC=142°，就断定这个零件不合格，你能说
出其中的道理吗？ A
90º
20 Bº
O
30º C
20 Bº
“行家”看“门道”
解：连接BC
∵∠ABC+∠A+∠ACB=180°
A
∠A=90°
90º O
30º
三角形外角性质：
不相邻内 C 角
A
B
D
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ∠CBD=∠A+∠C
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∠CBD > ∠A， ∠CBD > ∠C
联系实际，应用成果： 1.求下列各图中∠α的度数。
35º α
∠α=_8_5_º
α 120º
45º 50º