中考数学复习：几何模型-半角旋转 导学案

中考中常用几何模型--半角旋转
一、角含半角模型（旋转） （1）角含半角模型90°---1
【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF =45°；
【结论】：① ；② ； 也可以这样：
【条件】：①正方形ABCD ；②EF =DF +BE ；
【结论】：①∠EAF =45°；
A
B
C
D
E
F A
B C
D
E
F
G
（2）角含半角模型90°---2（E 、F 在延长线上） 【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF =45°；
【结论】：① ；
（3）角含半角模型90°---3
【条件】：①Rt △ABC ；②∠DAE =45°；
【结论】： （如图1）
若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论 仍然成立（如图2）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B C D E
A
B
C
D E
F
（4）角含半角模型90°（变形）
【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF =45°；
【结论】： ；
【例题讲解】
例1.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上,顶点O 在原点(如图1).现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转一定角度，当A 点第一次落在直线y =x 上时停止旋转。

旋转过程中，AB 边交直线y =x 于点M ，BC 边交x 轴于点N .
(1)当点A 第一次落在直线y =x 上时停止旋转，此时图形旋转了___度； (2)旋转过程中,当MN 和AC 平行时(如图2)，求旋转角∠NOC 的度数；
(3)设△MBN 的周长为P ,在旋转正方形OABC 的过程中(如图3)，P 值是否变化?请判断并证明你的结论。

例2.如图,△ABC 是边长为3的等边三角形,△BDC 是等腰三角形,且∠BDC =120°,以D 为顶
A B C D
G H F E
A B C
D G
H
F
E
点作一个60°角,使其两边分别交AB于M交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为.
例3.如图,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且
∠DAB=2∠EAF.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想。

（5）三角形中
【条件】：①等腰Rt△ABC；②∠DAE=45°；
【结论】：；
【例题讲解】
例1.如图，等边△ABC中，点P、Q在边BC上，且∠P AQ=30°.若BP=2，QC=3，求AB的长
【巩固练习】
已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H.
(1)如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：___；
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2，NH=3，求AH的长.。