任意四边形公式汇总

任意四边形公式汇总
在凸四边形ABCD 中，四内角分别为A 、B 、C 、D ，设C A +=φ2，四条边AB ＝a 、BC ＝b 、CD ＝c 、DA ＝d ，对角线AC 与BD 的交点为P ，夹角CPD APB ∠=∠=θ，AC ＝p 、BD ＝q 、凸四边形ABCD 面积为S ，设半周长)(2
1d c b a s +++=。

一、基本性质：
1、π<<A 0，π<<B 0，π<<C 0，π<<D 0,π2=+++D C B A ；
2、0>>++d c b a ，0>>++c d b a ，0>>++b d c a ，0>>++a d c b ，0>>+p b a ，0>>+q c b ，0>>+p d c ，0>>+q a d ；
3、⇔=+=+πD B C A 凸四边形ABCD 内接于圆；
4、⇔+=+d b c a 凸四边形ABCD 外切于圆；
二、任意四边形公式：
1、“四边形余弦定理”
①
②2、任意四边形面积公式
③
④
⑤
⑥三、圆内接四边形公式：
若此凸四边形ABCD 内接于圆（圆的半径为R ），则πφ=+=+=D B C A 2，
①
②
bd ac d s c s b s a s +----=)
)()()((2sin θ)
()()
)()()((4tan 2222c a d b d s c s b s a s +-+----=θ
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧2
2222222)2
(2)2(2)2(2)2(2d R d c R c b R b a R a S -+-+-+-=
⑨
四、圆外切四边形公式：若此凸四边形ABCD 外切于圆（圆的半径为r ），则
①
②
③由此知，四边形外切于圆，确定四边，四边形并不固定。

推广:半径为r 的圆的外切凸多边形的半周长为s ，则此凸多边形的面积
五、圆内接同时圆外切四边形公式：若此四边形ABCD 内接于圆（圆的半径为R ），同时外切于圆（圆的半径为r ），则
①
②
③一、任意四边形公式相关证明
1、证明θsin 2
1pq S =证明：设1p AP =，2p PC =，1q BP =，2q PD =，则△APB 面积为
θsin 2
111q p ，△BPC 面积为)sin(2112θπ-q p ，△CPD 面积为θsin 2122q p ，△APD 面积为)sin(2
121θπ-q p ，故θθθθθθsin 21sin ))((21sin 21sin 21sin 21sin 21212121221211pq q q p p q p q p q p q p S =++=+++=；2、证明θ
cos 22222pq c a d b ++=+证明：在△APB 中2112121cos 2a q p q p =-+θ，
在△BPC 中2122122cos 2b q p q p =++θ，在△CPD 中2222222cos 2c q p q p =-+θ，在△BPC 中2212221cos 2d q p q p =++θ，
故θθθθθcos ))((2cos 2cos 2cos 2cos 2)()(2121221121122222q q p p q p q p q p q p c a d b ++=+++=+-+即θcos 2)()(2222pq c a d b =+-+，θcos 22222pq c a d b ++=+；
3、证明φ2cos 2)()()(222abcd bd ac pq -+=，φ
22cos 4)(abcd bd ac pq -+=
证明：在四边形ABCD 作点E 和F ，
使△CEB ∽△ADC,△CFD ∽△ABC ，
令CF ＝x 、CE ＝y ，
DC BE AC CB AD CE ==，AC
CD BC FD AB CF ==，即c BE p b d y ==，p
c b FD a x ==，故p b
d y =
，p ac x =，FD p bc BE ==，又CAB FCD ∠=∠，CAD BCE ∠=∠，
EBC DCA ∠=∠，BCA FDC ∠=∠，
π
=∠+∠+∠CBD BCD BDC 故π=∠+∠+∠+∠=∠+∠CBE DBC CDB FDC DBE FDB ，所以BE ∥DF ，四边形BEFD 是平行四边形，BD ＝EF ＝q ，在△CEF 中，由余弦定理得：FCE p
bd p ac p bd p ac q ∠-+=cos 2)()(222，即φ2cos 2)()()(222abcd bd ac pq -+=又1cos 22cos 2-=φφ，整理得φ
22cos 4)(abcd bd ac pq -+=易得bd ac pq +≤（注：等号成立条件是四边形内接于圆，πφ=+=+=D B C A 2）
4、证明θtan 4)()(2222c a d b S +-+=222222]4)()([)2(c a d b pq S +-+-=φ
2cos ))()()((abcd d s c s b s a s S -----=证明：由S pq pq S 2sin sin 2
1=⇒=θθ，)]()[(21cos cos 222222222c a d b pq pq c a d b +-+=⇒++=+θθ易得θtan 4)()(2222c a d b S +-+=，222222]4
)()([)2(c a d b pq S +-+-=把φ2
2cos 4)(abcd bd ac pq -+=代入222222]4)()([)2(c a d b pq S +-+-=得φ2222222cos ]4
)()([)2(abcd c a d b bd ac S -+-+-+=，整理得φ
2cos ))()()((abcd d s c s b s a s S -----=二、圆内接四边形公式相关证明
1、证明bd ac pq +=)
)()()((d s c s b s a s S ----=证明：凸四边形ABCD 内接于圆0cos 22=⇒=+=+=⇒φπφD B C A 由φ22cos 4)(abcd bd ac pq -+=及φ2cos ))()()((abcd d s c s b s a s S -----=易得bd ac pq +=)
)()()((d s c s b s a s S ----=2、如右图，由三角形面积公式，得
4sin 211sin 213sin 212sin 21∠+∠=∠+∠=
pc pb pd pa S 3sin 214sin 212sin 211sin 21∠+∠=∠+∠=qb qa qc qd S 由正弦定理
4sin 3sin 2sin 1sin 2∠=∠=∠=∠=d c b a R C
q A q B p D p R sin sin sin sin 2====由上得
)(4)(4bc ad R q cd ab R p S +=+=
又bd ac pq +=，易得R bc ad cd ab bd ac bc ad R q cd ab R p S 4))()(()(4)(4+++=+=+=
加上))()()((d s c s b s a s S ----=，易得
)
()
)((cd ab bc ad bd ac p +++=)()
)((bc ad cd ab bd ac q +++=)
)()()(())()((41d s c s b s a s bc ad cd ab bd ac R ----+++=，代入4
sin 3sin 2sin 1sin 2∠=∠=∠=∠=d c b a R C q A q B p D p R sin sin sin sin 2====得
bc
ad d s c s b s a s C A +----==)
)()()((2sin sin cd ab d s c s b s a s D B +----==))()()((2sin sin 余下的比较简单，不再多说了。