射洪中学高2021级高三下期入学考试数学(文科)试题答案

射洪中学高2021级高三下期入学考试
数学(文科)答案
1.【详解】x -1 ≥2，解得x ≥3或x ≤-1，
则M =x |x ≤-1 或x ≥3 ，则∁R M =-1,3 ，故∁R M ∩N =0,1,2 ，故选：A .2.【详解】由z ⋅(2+3i )=3-2i 得z =
3-2i 2+3i =3-2i 2-3i 2+3i 2-3i
=6-9i -4i -6
13=-i ，所以z =1，故选：D
3.【详解】对选项A ：月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月，错误；
对选项B ：每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，错误；
对选项C ：每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月分别为20.5,23,26.5,29,30，逐月增加，正确；对选项D ：9-12月的月温差为20,31,24,21；5-8月的月温差为18,17,16,16，9-12月的月温差的波动性更大，错误；故选：C .
4.【详解】因为a 3，a 7是x 2-8x +4=0的两个实数根，
所以a 3a 7=4>0，a 3+a 7=8>0，a 3>0，a 7>0，又a 3a 7=a 25，所以a 5=a 3q 2>0，a 5=2，b 5=a 5=2，因此S 9=
b 1+b 9 ×9
2
=9b 5=18，故选：C .
5.∵a =5，c =2，cos A =23，∴由余弦定理可得：cos A =23=b 2+c 2-a 22bc =b 2+4-5
2×b ×2，整理可得：3b 2
-8b -3=0，∴解得：b =3或-1
3(舍去)，故选D ．
6.【详解】对于选项A ，因为am 2<bm 2，所以m 2>0，所以a <b ，故A 正确；
对于选项B ，根据命题的否定的定义，¬p ：∃x 0∈R ，2x 0
≤0，故B 错误；
对于选项C ，把x =4代入y =1.23x +0.08，得y
=5，所以样本点的中心可以为4,5 ，故C 正确；对于选项D ，当A >B 时，根据三角形中大边对大角，得a >b ，由正弦定理得sin A >sin B ；当sin A >sin B 时，根据正弦定理
a sin A
=b
sin B =2R ，得sin A >sin B ，所以A >B .所以“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，故D 正确.故选：B 7.【详解】画出可行域与目标函数，
联立2x -y -2=0x -2y -2=0
，解得A 23,-2
3
，
当直线z =y -3x 过点A 23,-23 时，z 取得最小值，z min =-23-3×23=-8
3
，
故最小值为-8
3 .故选：A
8.【详解】f (x )=1-
2
3x
+1 ⋅cos x ，则f x 的定义域为R ，
又f -x =1-23-x +1 ⋅cos -x =1-2×3x 3x +1 ⋅cos x =-1+2
3x +1
⋅cos x =-f x ，所以f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当x =π时，f π =1-23π
+1 cosπ=-1+2
3π
+1
<0，故排除A .故选：B .9.【详解】f x =
32sin ωx +32cos ωx =3sin ωx +π
3
，3是函数的最大值，由题意可知，x 1-x 2 的最小值是
1
4
个周期，所以14×2πω=π，得ω=12
.故选：B
10.【详解】对于A ，如下图所示：将BC 1平移到AD 1，连接B 1D 1，
易知在△AB 1D 1中，∠B 1AD 1即为异面直线AB 1与BC 1所成的平面角，由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，利用勾股定理可知AB 1=AD 1=B 1D 1=22，
即△AB 1D 1为正三角形，所以异面直线AB 1与BC 1所成角为60°，即A 正确；对于B ，连接AC ,A 1C 1，如下图所示：
由ABCD -A
1B 1C 1D 1为正方体即可得，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1
所以AA 1⊥B 1D 1，又E ,F 在线段B 1D 1上，所以AA 1⊥EF ；又A 1B 1C 1D 1为正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1，即A 1C 1⊥EF ，
又A 1C 1∩AA 1=A 1，A 1C 1,AA 1⊂平面ACC 1A 1，所以EF ⊥平面ACC 1A 1，又EF ⊂平面EFA ，所以平面EFA ⊥平面ACC 1A 1，即B 正确；对于C ，易知点F 不在平面ABE 内，
假设AE ⎳BF ，又AE ⊂平面ABE ，BF ⊄平面ABE ，所以BF ⎳平面ABE ，显然这与BF ∩平面ABE =F 矛盾，所以假设不成立，即C 错误；
对于D ，当E ，F 运动时，由等体积法可知三棱锥B -AEF 体积与三棱锥A -BEF 的体积相等，即V B -AEF =V A -BEF ；
易知三棱锥A -BEF 的底面积S △BEF =
1
2
EF ⋅BB 1=2，易知AC ⊥平面BEF ，所以点A 到平面BEF 的距离为d =1
2
AC =2，所以V B -AEF =V A -BEF =
13S △BEF d =13×2×2=2
3
，即当E ，F 运动时，三棱锥B -AEF 体积不变，即D 正确.故选：C
11.【详解】作OM ⊥AB ，垂足为M ，
因为∠AOB =90°，OA =OB =2a ，所以AM =BM =OM =a ，又F 1A =BP ，所以M 点为PF 1中点，另外OF 1=OF 2，
所以OM ⎳PF 2,OM =
1
2PF 2
，所以∠F 1PF 2=90°,PF 2 =2OM =2a ，
由双曲线的定义有PF 1 -PF 2 =2a ，所以PF 1 =4a ，
所以，在Rt △F 1PF 2中，F 1F 2 =PF 12+PF 22=(2a )2+(4a )2=25a ，
又F 1F 2 =2c ，所以25a =2c ，化简得e =5.故选：D
12.【详解】因为x 1≠x 2时，恒有
φx 1 -φx 2
x 1-x 2
>0，所以φ(x )在R 上单调递增，
所以若φe x -b ≥φax ，则e x -b ≥ax ，即e x ≥ax +b ，构造函数f x =e x -ax -b x ∈R ，f x =e x -a ，
若a =0，则f x >0在x ∈R 上恒成立，而f x ≥0恒成立，则b ≤0，此时ab =0；若a <0，则f x >0，f x 单调递增，此时不可能恒有f x ≥0；若a >0，由f x >0得x >ln a ，f x 单调递增，
f x <0得x <ln a ，f x 单调递减，所以f x ≥f ln a =a -a ln a -b ≥0，即b ≤a -a ln a ，所以ab ≤a 2-a 2ln a ，令
g a =a 2-a 2ln a a >0 ，令g a =a 1-2ln a =0，得a =e ，a ∈0,e 时，g a >0，g a 单调递增，
a ∈e ,+∞ 时，g a <0，g a 单调递减，所以g a max =g e =e 2
，所以ab 的最大值为
e
2
.综上所述，ab 的最大值为
e
2
.故选：B .13.【详解】由题设a -2b =(-6,m +4)，且(a -2b )⊥b ，
所以-6×1+(-2)×(m +4)=0，则m =-7.故答案为：-7
14.【详解】∵f (x )是奇函数，所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12．
15.【详解】如图，由题意，当平面C AD ⊥平面ABD ，
∵AB =AC =2，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，即AD ，BD ，C D 两两垂直，又∵∠BAC =
2π3，∴∠BAD =π3，∠ABD =π
6
，AD =1，BD =CD =C D =3.如图，作长方体AEBD -A E B C ，则三棱锥C -ABD 的外接球，即是长方体AEBD -A E B C 的外接球，设长方体AEBD -A E B C 的外接球的半径为R ，则2R =AD 2+BD 2+C D 2=12+3 2+3 2=7，∴R =
72
.∴当三棱锥C -ABD 体积最大时，其外接球的体积为V =43πR 3=43π×778=77π6
.故答案为：77π
6
.
16.【详解】∵点F (2,0)为拋物线C 的交点，∴抛物线C 的标准方程为y 2=8x ，
∴抛物线C 的准线l ：x =-2过点M -2,0 ，
过点P 向抛物线C 的准线l 作垂线，垂足为Q ，由抛物线定义知，PF =PQ ，∴当P 在第一象限时，
PM
PF =
PM
PQ =
1PQ
PM
=1cos ∠MPQ =1
cos ∠PMF ，
由题意，∠PMF 为直线PM 的倾斜角，且0<∠PMF <π
2
，
∴当∠PMF 最大时，cos ∠PMF 取最小值，PM PF =1
cos ∠PMF 取最大值，
易知直线PM 的斜率存在且为正，∴设直线PM 的方程为l PM ：y =k x +2 ，(k >0)，当∠PMF 最大时，直线PM 与抛物线C 相切，
∴y 2=8x
y =k x +2 ，消去y ，化简得k 2x 2+4k 2-8 x +4k 2=0，(k >0)，令Δ=4k 2-8 2-16k 4=0，解得k =1，∴tan ∠PMF =1，又∵0<∠PMF <
π2，∴∠PMF
=
π
4
，∴PM PF 的最大值为PM PF
max =1cos π4=2.故答案为：2.
17.【解析】(1)根据列联表代入计算可得：
K 2
=100×40×30-20×10 260×40×50×50=503
≈16.667>6.635，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分所以有99%的把握认为学生得“党史学习之星”与年级有关．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)由题意可知，所抽取的6名学生高一年级有4人，记为A 1，A 2，A 3，A 4，高二年级有2人，设为甲、乙．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有A 1,A 2 ，A 1,A 3 ，A 1,A 4 ，A 1,甲 ，A 1,乙 ，A 2,A 3 ，A 2,A 4 ，A 2,甲 ，A 2,乙 ，A 3,A 4 ，A 3,甲 ，A 3,乙 ，A 4,甲 ，A 4,乙 ，甲,乙 ，
共15个，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
其中至少有一人是高二年级基本事件有A 1,甲 ，A 2,甲 ，A 3,甲 ，A 4,甲 ，甲,乙 ，A 1,乙 ，A 2,乙 ，A 3,乙 ，A 4,乙 ，共9个．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分故至少有一人是高二年级的概率P =
915=3
5
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
18.【解析】(1)设等差数列a n 的公差为d ．∵a 1+a 2+a 3=15，a 8+a 9=4a 4，∴3a 1+3d =15，
2a 1+15d =4a 1+12d ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
解得a 1=3，d =2.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
∴a n =3+2(n -1)=2n +1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)∵c n =1(2n +1)(2n +3)
=1212n +1-1
2n +3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
∴
1c 1+1c 2+⋯+1c n =1213-15+15-17+⋯+12n +1-1
2n +3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
=
1213-1
2n +3
．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
19.【解析】(1)如图、连接BD ， 1分∵AB =AD =1，CD =2，∴BD =BC =2，
∴BD 2+BC 2=CD 2，∴BC ⊥BD ． 2分∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥BC ，
3分
又BB 1∩BD =B ，∴BC ⊥平面B 1BDD 1， 5分∵B 1M ⊂平面B 1BDD 1，∴BC ⊥B 1M ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)解：连接BM ，B 1D 1．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
由已知可得B 1M =B 1D 2
1+D 1M 2=2，CM =CD 2+MD 2=6，
B 1
C =BB 2
1+BC 2=10，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
∴CM 2+B 1M 2=B 1C 2，∴B 1M ⊥CM ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分设点B 到平面MB 1C 的距离为h ，由(1)知BC ⊥平面B 1BDD 1，∴三棱锥C -MBB 1的体积
13×BC ×S △MBB 1
=1
3
h ×S △MB 1
C ， 10分即
13×2×12×2×22=13h ×1
2
×2×6，解得h =233，即点B 到平面MB 1C 的距离为23
3． 12分
20.【解析】(1)由已知F 1F 2 =4得c =2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
又S △PF 1F 2
=
1
2
×4×b =4，b =2，∴a =4+4=22．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
所以椭圆的标准方程为x 2
8+y 24=1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)由(1)知F 1的坐标为-2,0 ，
①当直线l 的斜率不存在时，AB =22，
|OQ |2=8，则22AB
|OQ |2
=1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
②当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y =k x +2 且k ≠0，联立y =k (x +2)x
28+y 2
4
=1
，得2k 2+1 x 2+8k 2x +8k 2-8=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2-8
2k 2+1
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分AB =
1+k
2
8k 22k 2+1 2-4×8k 2-82k 2+1=42k 2
+1 2k 2+1
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
设点Q (x 0,y 0)，则y 0x 0=-1k
，即x 0=-ky 0，代入椭圆方程得-ky 0 28+y 20
4=1，
解得y 20
=8k 2+2，x 20=8k 2k 2+2，所以|OQ |2=x 20+y 2
0=8k 2+1 k 2+2
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
所以22|AB |OQ
2=16k 2+1
2k 2+18k 2
+1 k 2+2=2k 2+42k 2+1=32k 2+1+1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
又2k 2+1>1，所以22AB
|OQ |2的取值范围是1,4 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分综上所述，22AB
|OQ |2
的取值范围是1,4 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
21.【解析】(1)当a =e 时，f x =a x -log a x =e x -ln x x >0 ，
设y =f x 过点0,1 的切线方程为l :y =f x 0 x -x 0 +f x 0 x 0>0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
f x 0 =e x 0-ln x 0，f x 0 =e x 0
-1
x 0
，代入切线方程得，y =e x 0
-1x 0 x -x 0 +e x 0
-ln x 0=e x 0-1
x 0 x +e x 0
1-x 0 -ln x 0+1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
因为l 过点0,1 ，所以e x 01-x 0 -ln x 0+1=1，即e x 0
1-x 0 -ln x 0=0，令g x =e x 1-x -ln x ，g x =-xe x -1
x
<0，所以g x 单调递减，又g 1 =0，所以g x 有唯一零点x =1，即原方程的根为x =1，⋯⋯⋯⋯⋯5分
代回切线方程得y =e x 0
-1
x 0
x +e x 0
1-x 0 -ln x 0+1=e -1 x +1故y =f x 过点0,1 的切线方程为y =e -1 x +1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)因为f x 在0,+∞ 上连续，又f 1 =a >0，
所以要使f x 无零点，需使f x >0在其定义域上恒成立．则原问题转化为f x =a x -log a x >0，求a 的取值范围，a x -log a x >0⟺a x >log a x ⟺a x >
ln x
ln a
⟺a x ln a >ln x ⟺a x x ln a >x ln x ⟺a x ln a x >x ln x ∗
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
令ℎx =xe x x >0 ，ℎ x =x +1 e x >0，所以ℎx 单调递增，又由∗ 式得ℎln a x >ℎln x ，所以ln a x =x ln a >ln x ，即ln a >ln x
x
恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
令φx =
ln x x ，φ x =1-ln x
x
2，令φ x =0得x =e ，当0<x <e 时，φ x >0，φx 单调递增；当x >e 时，φ x <0，φx 单调递减，所以x =e 是φx 的极大值点，φx max =φe =1e ，所以ln a >1e
，即a >e 1
e ．综上所述，a 的取值范围为e 1e
,+∞ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
22.【解析】(1)由曲线C 1:x =2+2cos θ
y =2sin θ
(θ为参数, θ∈0,π )，
消去参数θ，得x -2 2+y 2=4cos 2θ+4sin 2θ=4
⋯⋯⋯⋯⋯2分所以曲线C 1的直角坐标方程为x -2 2+y 2=4(0≤y ≤2)⋯⋯⋯⋯⋯3分
因为曲线C 2是以1,
π
2
为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为0,1 ，半径为1，故C 2的直角坐标方程为：x 2+y -1 2=1，即x 2+y 2-2y =0，将x =ρcos θ
y =ρsin θ
代入可得：
圆C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ
⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)因为曲线C 1的直角坐标方程为x -2 2+y 2=4(0≤y ≤2).即x 2+y 2-4x =0，将x =ρcos θy =ρsin θ
代入化简可得C 1的极坐标方程为：ρ=4cos θθ∈0,π
2
，所以C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ0≤θ≤π
2 ；C 2
的极坐标方程为ρ=2sin θ；因为M 、N 是直线l :θ=π
4
ρ∈R 与曲线C 1、
C 2的两个交点，不妨设M ρ1,π4 ,N ρ2,π4 ，由(1)得C 1：ρ=4cos θ0≤θ≤π2 ，C 2：ρ=2sin θ，所以ρ1=4cos
π4=22,ρ2=2sin π
4
=2，从而MN =ρ1-ρ2 =2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
23.【解析】(1)解：当t =1时，f (x )=x -1+ x +1 =2x (x ≥1)2(-1≤x <1)-2x (x <-1)
，
∵f x ≤8-x 2
当x ≥1时，即2x ≤8-x 2
x ≥1 ，∴1≤x ≤2；
当-1≤x <1时，即2≤8-x 2
-1≤x <1 ，∴-1≤x <1；
当x <-1时，即-2x ≤8-x 2
x <-1 ，∴-2≤x <-1，
综上可得不等式的解集为-2,2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2）解：∵f x =x -t +x +t ≥(x -t )-(x +t ) =2t ，当且仅当x -t x +t ≤0时取等号，∴f (x )min =2t ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
又m >0，n >0且m +n =4，
∴4m 2+n mn =4m n +1m =4m n +m +n 4m ≥1
4+2
4m n ⋅n 4m =9
4
当且仅当
4m n =n 4m ，即m =45，n =16
5
时等号成立，所以4m 2+n mn ∈9
4,+∞ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
根据题意可得
94≤2t ，解得t ≥98或t ≤-9
8
，∴t 的取值范围是-∞,-
98 ∪9
8
,+∞ .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分。