微积分 函数曲率

641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的 数学分支——微分几何学. 基本概念: 曲率,曲率圆. 曲线弯曲程度的描述 可近似替代曲线弧
思考题
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图), 使曲 率连续地由零过渡 1 到 ( R为圆弧轨道 R 的半径).
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
y
o
x
1 3 通常用三次抛物线 y x ，x [0, x0 ]．作为 6 Rl 缓冲段 OA，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率 l 为零, 并且当 很小 R l ( 1) 时，在终端 R 1 A 的曲率近似为 . R
2 2
x0
x
x x
x
y 2 2 ) x 1 y dx , x
MN s ds ,
2 MT (dx )2 (dy )2 1 y dx ,
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx .
弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
3 2
k
y (1 y )
3 2 2
.
例1 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大? 解 y 2ax b,
y 2a ,
k y (1 y )
3 2 2
k
2a [1 ( 2ax b) ]
3 2 2
.
b 显然,当x 时, k最大. 2a 2 b b 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点, 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大.
k | y | [1 ( y ) ] 6
3 2 2

2
6 (4 sin t 9 cos t )
2 3 2

(4 5 cos 2 t )
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
3 2
3 t , 2 2
此时 k 最大，
ds (dx ) (dy ) .
2 2
2 d s 1 y dx 弧微分公式
2 d s 1 x dy . 如曲线x x( y ), 则 x ( t ), dx ( t )dt , 如曲线为参数方程 y ( t ), dy ( t )dt ,
2 2 ds ( t ) ( t )dt .
如曲线以极坐标方程给出 ( ) x ( ) cos 可化为参数方程形式 y ( ) sin
代入公式,得 ds [ ( )]2 [ ( )]2 d .
二、曲率及其计算公式
2.曲率的计算公式
设y f ( x )二阶可导, 有 arctan y,
tan y, y d dx , 2 1 y
ds 1 y dx .
2
k
y (1 y )
3 2 2
.
d K ds
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
o
x
证 如图
1 3 y x 6 Rl
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
o
x
1 2 y x , 2 Rl
1 y x. Rl
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
x2 例3 飞机沿抛物线 y 4000 (单位为米)俯冲飞行, 在原 点 O 处速度为 v 400米 / 秒, 飞行员体重70 千克.求俯冲 到原点时, 飞行员对座椅的 压力.
解 如图,受力分析
y
Q
o

x
P
F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
O点处抛物线轨道的曲率半径
M0
S M .
定义
o
)
x
在 lim
曲线C在点M处的曲率 K lim s 0 s d d
s 0
弧段MM 的平均曲率为 K . s
s

ds
存在的条件下, K
ds
.
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.
( 2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.
y
N
单调增函数
s s( x ).
如图，
o
设N ( x x , y y ),
A
M
T R
MN MN MT NT 当x 0时,
MN ( x ) ( y ) 1 (
第七节 曲 率




一.弧微分 二.曲率及其计算公式 三.曲率圆与曲率半径 四.小结
一、弧微分
设函数f ( x )在区间(a , b) 内具有连续导数.
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点,
y
N
A
M
T R
o
x0
x
x x
x
规定：(1) 曲线的正向与x增大的方向一致;
实际要求 l x0 ,
有
y x x0
1 2 1 2 l x0 l , 2 Rl 2 Rl 2R
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
y x x0
1 1 1 x0 l , Rl R Rl
1 y R kA 3 x x0 3 2 l 2 2 2 (1 ) (1 y ) 4 R2 1 l2 l 1, 略去二次项 2 , 得 k A . 4R R R
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
D 曲率中心,
x
曲率半径.
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
mv 2

.
y x 0
x 2000
x 0
0,
y x 0
1 . 2000
得曲率为 k
x x0
2
1 . 曲率半径为 2000 米. 2000
70 400 5600(牛) 571.4(千克), F 2000
Q 70(千克力) 57描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N

弧段弯曲程度
越大转角越大
转角相同弧段越
短弯曲程度越大
y
设曲线C是光滑的，
C
M. S

M 0 是基点. M M 切线转角为 .
MM s ,
故在终端A的曲率为
o
x
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为 k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点 D, 使 DM
o
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点 M 处的曲率圆.