正方体截面面积高考和竞赛

正方体截面面积高考和竞赛
1.（2018全国1卷理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的
角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）
A．
4B．3C．
4D．2
中所示，所以只需由图中平面平移即可。

变式1：（1994全国联赛填空题第5题）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα=___
【解析】如上图1，顶点到平面ABC的距离为体对角线的
3
1
，则
3
3
3
3
sin=
=
a
a
α.
变式2：（2004湖南数学竞赛第8题）过正方体1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-的对角线
1
BD的截面面
积为S，则
min
max
S
S
的值为（）
A.
2
3
B.
2
6
C.
3
3
2
D.
3
6
2
【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面F
BED
1
为平行四边形，则
h
BD
S
S
BED
⨯
⨯
=
=
∆1
2
1
2
2
1
，此时E到1
BD的最小值为
1
CC与
1
BD的距离，即当E为中点时，a
h
2
2
min
=（a为正方体棱长），2
min2
6
2
2
3
2
1
2a
a
a
S=
⨯
⨯
⨯
=，又因为
max
S为
四边形F D BC 11的面积，选C.
变式3：（2005全国高中数学联赛第4题）在正方体''''D C B A ABCD -中，任作平面α与对角线'AC 垂直，使得α与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（）A.S 为定值，l 不为定值 B.S 不为定值，l 为定值C.S 与l 均为定值
D.S 与l 均不为定值
【解析】选B，将正方体切去两个正三棱锥BD A A '-与C B D C '''-后,得到一个以平行平面BD A '与C B D ''为上、下底面的几何体V,V 的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行,将V 的侧面沿棱''B A 剪开,展平在一张平面上,得到一个平行四边形11''A B B A ,如图
∙
而多边形W 的周界展开后便成为一条与1'A A 平行的线段(如图中1'E E ),显然A A E E ''1=,故l 为定值.
当E'位于''B A 中点时,多边形W 为正六边形,而当E'移至A'处时,W 为正三角形,易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为
2243l 与2
36
3l ,故S 不为定值.变式4：在长方体1111D C B A ABCD -中，2,41===AA AD AB ，过点1A 作平面α与
AD AB ,分别交于N M ,两点，
若1AA 与平面α所成角为0
45，则截面面积的最小值为．
解析：过A 作MN 的垂线，垂足为T ，
第一步：寻找T 的轨迹：T 的轨迹是平面ABCD 内，以A 为圆心，2为半径的圆
法一：（直观感知，作出线面角并证明）连接T A 1，因为MN AA ⊥1，所以⊥MN 平面T AA 1，过A 作T A 1的垂线，垂足为Q ，易证⊥AQ 平面MN A 1，所以0
145=∠T AA ，则2=AT 。

法二：（运动变化的观点探求轨迹问题）作一个以1AA 为轴，母线与对称轴所成角为0
45的
圆锥，过任意一条母线作圆锥的切面MN A 1，与平面ABCD 的交线为MN ，则2=AT 。

第二步：求最值
法一：（注意运动中的不变性）因为221=T A 为定值，且MN T A ⊥1，则要求截面面积的最小值，只需求MN 的最小值，42
=⋅=NT MT AT
，所以
42=⋅≥+=TN MT TN MT MN ，则242242
1
1=⨯⨯≥
∆MN A S ，等号成立当且仅当NT MT =。

法二：（利用二面角实现面积的转化）切面MN A 1与平面ABCD 所成角为0
45，由射影面积法知MN
A AMN S S 1045cos ∆∆=
，所以2
4221
221≥=⨯⨯⨯==∆∆MN AT MN S S AMN MN A 法三：（等体积法实现面积的转化）由MN A A AMN A V V 11--=得
d S AA S MN A AMN ⨯=⨯∆∆131
311，因为线面角为0
45，所以0
145sin ⨯=AA d ，所以AMN MN A S S ∆∆=
21，同上。

法四：（类比勾股定理）设切点()00,y x T ，则切线MN 方程为400=+y y x x ，则求得
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛004,0,0,4y M x M ，类比直角三角的勾股定理，猜想截面的平方等于三角直角面的平方
和，从而把截面面积的平方化为()
20202
0202020202020201664161664y x y x y x y x y x ++=++2
020128
y x =因为002
02024y x y x ≥=+，即2000≤<y x ，
所以面积平方的最小值为
324
128
=，面积是最小为24变式5：已知正四面体ABCD 的棱长为62，四个顶点都在球心为O 的球面上，P 为棱BC 的中点，过点P 作求O 的截面，则截面面积的最小值为____________【解析】当截面与PO 垂直时面积最小，设截面半径为62
2
=
=-PA OP OA ，
答案为π6变式6：棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱AD 的中点，过1B 点，且与平面
BE A 1平行的正方体截面的面积为（
）
A.5
B.5
2 C.6
2 D.6
【分析】对正方体结构和截面的认知，根据平行作图，得到一个菱形，对角线分别为面对角线和体对角线，选C.
变式7：用一个平面截正四面体，给出下列结论：①正四面体的截面不可能是正方形；②正四面体的截面可能是等腰梯形；③正四面体的截面可能是直角三角形；
④若正四面体的截面是三角形，则一定是是等腰三角形；其中正确的序号是
【解析】取两组对棱的中点，连接起来，得到平行四边形，因为正四面体对棱互相垂直，则此平行四边形为正方形，平行移动得到的正方形，可得截面为等腰梯形，故①错，②正确；变式8：已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（）
A ．10,3
⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
B ．10,2
⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
C ．2,13⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
D ．1
,12⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
变式9：在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是.解析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．
可以求出液体取值范围为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛65,61【点评】在运动变化中，空间想象能力得到了很好的考查。

拓展1：点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，
若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为．
解析：由已知，要有DM BN ⊥，如图1，只需考虑DM 在平面内11BCC B 的射影1CM BN ⊥，
易得1M 为1BB 靠近B 点的三等分点，如图2，则动点M 的轨迹为过1CM 与平面11BCC B 垂直的平面α与球O 面相交截得的圆，球心到圆面的距离为1
O 到
1CM 的距离2O H ，由于1113CM BM BC O C ====，
即11sin ,cos 1010
BCM BCM ∠=
∠=
，所以11111535
sin sin(45),sin 55
o
HCO BCM OH OC HCO ∠=-∠=
=∠=
，
则截面圆的半径33010r =
=
，所以轨迹长度为3305
．。