2010.3石景山高三数学(文科)模拟试题参考答案

2010.3石景山高三数学(文科)模拟试题参考答案
D
高三数学（文科）参考答案第2页（共18页）
高三数学（文科）参考答案第3页（共18页）
高三数学（文科）参考答案第4页（共18页）
注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答
题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）
解：（Ⅰ）∵ 在ABC ∆中，C B A -=+π，
∴ sin()sin()sin A B C C π+=-=. 又∵
4
3cos =
C ,∴
2
0π
<
<C ,∴
4
7
cos 1sin 2=
-=C C .
∴
4
7)sin(=
+B A .
……………3分
（Ⅱ）由正弦定理得C
c
A a sin sin =
, ∴
7
1sin 14
4sin 2
a C
A c
=
==.
………………8分
高三数学（文科）参考答案第5页（共18页）
（Ⅲ）由余弦定理得 C
ab b a c cos 2222-+=，
∴ 2223(2)1214
b b =+-⨯⨯⨯
，即 0
2322
=--b b
.
解
得
2=b 或12
b =-
（
舍
）
.
………………11分
∴
33
cos 1242
CB CA CB CA C ⋅=⨯⨯=⨯⨯=
.
………………13分
16．（本题满分13分）
解：（Ⅰ）从这6家企业中选出2家的选法有),(B A ，
),(C A ，),(D A ，),(E A ，),(F A ，),(C B ，),(D B ，),(E B ，)
,(F B ，),(D C ， ),(E C ，),(F C ，),(E D ，),(F D ，),(F E ，
共有15
种. ………………4分 其中企业E 中标的选法有
高三数学（文科）参考答案第6页（共18页）
)
,(E A ,),(E B ,),(E C ,),(E D ,),(F E ,共5种，
………………7分
则企业E 中标的概率为
3
1155=.
………………8分
（Ⅱ）解法一：在中标的企业中，至少有
一家来自河南省选法有
)
,(D A ，),(E A ，),(F A ，),(D B ，),(E B ，),(F B ，),(D C ，
)
,(E C ，),(F C ，
)
,(E D ，),(F D ，),(F E ，共12
种. ………………12分
则“在中标的企业中，至少有一家来自河
南省”的概率为5
4
1512=. …………13分 解法二：在中标的企业中，没有来自河南
省选法有：),(B A ，),(C A ，(,)B C ，
高三数学（文科）参考答案第7页（共18页）
共3
种. ……………11分
∴ “在中标的企业中，没有来自河南
省”概率为
5
1153=. ………………12分
∴ “在中标的企业中，至少有一家来自
河南省”的概率为5
4
511=-. ……13分
17．（本题满分14分）
（Ⅰ）证明：∵三棱柱11
1
ABC A B C -是直棱柱，
∴
1BB ⊥
平面
ABC
.
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……………1分 又
∵
CF ⊂
平面
ABC
，
……………2分 ∴
CF
1
BB ⊥.
……………3分
（Ⅱ）解：∵三棱柱11
1
ABC A B C -是直棱柱，
∴1
BB ⊥平面ABC .
又∵AC ⊂平面ABC ， ∴AC 1
BB ⊥ .
∵
90=∠ACB ，
∴AC BC ⊥.
∵1
BB BC B =，
∴
AC ⊥
平面
1
ECBB .
………………6分 ∴
111
3
A ECB
B ECBB V S AC
-=⋅.
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………………7分 ∵E 是棱1
CC 的中点，
∴1
122
EC AA ==. ∴
1111
()(24)26
22
ECBB S EC BB BC =+⋅=⨯+⨯=. ……………
…8分
∴
1111
624
33
A ECB
B ECBB V S A
C -=⋅=⨯⨯=. …
……………9分
（Ⅲ）解：CF ∥平面1
AEB .证明如下：
取1
AB 的中点G ，联结EG ，FG .
∵F 、G 分别是棱AB 、1
AB 中点，
∴ FG ∥1
BB ，1
2
FG =1
BB . 又∵EC ∥1
BB ，1
12
EC BB =， ∴ FG ∥EC ，FG EC =.
高三数学（文科）参考答案第10页（共18页）
∴ 四边形
FGEC
是平行四边
形. ……………
…11分
∴
CF
∥
EG
.
…………12分
又∵
CF ⊄
平面
1
AEB ，
EG ⊂
平面
1
AEB ， ……13分
∴
CF
∥
平
面
1
AEB .
………………14分 18．（本题满分13分） （Ⅰ）解：
1 3
a =，122
n
n a
a n -=+-
*(2)
n n ≥∈N ，且 ， ∴
6
22212=-+=a a ， ………….. 2分
13
23223=-+=a a .
………….. 4分
（Ⅱ）证明：
11111(22)222
2
(1)11
n n n n n n a n a n n a n a n a n a n -----++-++-===+-+-+-，
∴
数列{}
n
a
n +是首项为1
14a +=，公比为2的等
比数列 . ………….. 7分
11 422n n n a n -+∴+=⋅=， 即12n n
a
n
+=-，
∴
{}
n a 的通项公式为
12n n a n
+=-
*()
n ∈N .
………….. 9分 （Ⅲ）解：
{}
n a 的通项公式为12n n
a
n
+=-
*()
n ∈N ，
∴
)
321()2222(1432n S n n ++++-+++=+ ……….
…….. 11分
2
822)1(21)21(222
2++-
=+⨯---⨯=+n n n n n n *()
n ∈N .
….…….. 13分
19．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为(0)c c >，依题意⎪⎩
⎪⎨⎧==,3,36
a a
c 解得2=c .
由
2
22c b a +=，得
1
b =.
……2分
∴
所
求
椭
圆
方
程
为
2
2 1.3
x y +=
……3分 （Ⅱ）
1,m =1
y kx ∴=+.
设 1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足方程
22
1,3
1.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 并整理得 2
2
(13)60
k x
kx ++=，
则
()()2
2641300k k ∆=-+⨯>，解得
k ≠. ……5分
故
12122
6,013k
x x x x k
-+=
⋅=+.
……6分
OA OB ⋅=，
2121212121212(1)(1)(1)()1
x x y y x x kx kx k x x k x x ∴+=++⋅+=++++ …7分
2
2
2
2613(1)0101331
k k k k k k --=+⨯+⋅+==++
33
k ∴=±
.
……8分 （
Ⅲ）由已知2
31m k =+可
得
223
(1)
4
m k =+． (9)
分
将
y kx m
=+代入椭圆方程，整理得
222(13)6330
k x kmx m +++-=.
()()()2
226413330()
km k m ∆=-+->*
2121222
633
,.1313km m x x x x k k
--∴+=⋅=++
……10分
2222
2
2
2
212223612(1)
(1)()(1)[]
(31)31
k m m AB k x x k k k -∴=+-=+-++
222222222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)k k m k k k k ++-++==
++
……11分
2422
2121212
3334(0)
196123696
k k k k k k
=+=+≤+=≠++⨯+++. (12)
分
当且仅当2219k k =
，即
33
k =±
时等号成立．
经检验，33
k =±
满足()*式．
当
=k 时
，
3
=AB .
……13分
综上可知max
2AB =.
∴
当
AB
最大时，AOB ∆的面积取最大值
2
323221=⨯⨯=
S . ……14分
20．（本题满分13分） 解
：
（
Ⅰ
）
∵
2()323
f x ax bx '=+-，…………………………………
………………1分
根据题意，得⎩
⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即 ⎩
⎨
⎧=-+-=-+,
0323,
23b a b a 解得 1,
0.
a b =⎧⎨
=⎩ ………………2分 ∴
x
x x f 3)(3-=． ……………………………………
…………………………3分（Ⅱ）令3
3)(2
-='x x f ，
即0
332
=-x
，解得 1±=x ． x
2
-
)
1,2(--
1
-
)
1,1(-
1
)
2,1(
2
)
(x f ' +
-
+
)
(x f
2
-
↗ 极
大值
↘ 极小
值
↗
2
∵ 2)1(=-f ，2)1(-=f ， ∴
当
[]
2,2-∈x 时
，
2
)(max =x f ，
2
)(min -=x f ．………………………………5分
则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值
2
1,x x ，都有
4
)()()()(min max 21=-≤-x f x f x f x f ，所以4≥c ．
所以
c
的最
小
值
为
4．………………………………………………………………7分（Ⅲ）∵ 点),2(m M )2(≠m 不在曲线)(x f y =上，
∴ 设切点为),(0
y x ．则0
3
00
3x x y
-=．
∵
3
3)(2
00-='x x f ，∴ 切线的斜率为
3
32
0-x ．……………………………8分 则
2
333003
2
---=-x m x x x ，…………………………………
…………………9分
即 0
6622
030
=++-m x x
．
因为过点),2(m M )2(≠m ，可作曲线)(x f y =的三
条切线，
所以方程0
6622
030
=++-m x x
有三个不同的实
数解． …………10分
即函数m
x x
x g ++-=662)(23
有三个不同的零
点．
则2
()612g x x
x
'=-．
令()0g x '=，解得 0=x 或2=x ． x )0,(-∞ 0 )2,0( 2
)
,2(+∞
)
(x g ' + 0
- 0
+ )
(x g ↗
极大值 ↘ 极小值
↗ ∴
(0)0,(2)0,
g g >⎧⎨
<⎩即
60,
20,
m m +>⎧⎨
-+<⎩解
得
2
6<<-m ． ………………………13分
注：若有其它解法，请酌情给分．。