2014届高考数学(人教版)总复习提高分冲刺模拟卷1.2命题、充分条件与必要条件

第1章 第2节
课时作业
一、选择题
1．(2012·山东高考理)设a ＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax 在R 上是减函数”，是“函数g(x)＝(2－a)x3在R 上是增函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 若函数g(x)＝(2－a)x3在R 上是增函数，则有2－a ＞0，所以a ＜2，所以“函数f(x)＝ax 在R 上为减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3为增函数”的充分不必要条件，故选A.
【答案】 A
2．(2013·潍坊模拟)已知条件P ：x≤1，条件q ：1x <1，则p 是綈q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【解析】 由1x <1得x<0或x>1，所以綈q ：0≤x≤1，故p ⇒/綈q 且綈q ⇒p ，故选B.
【答案】 B
3．(2012·北京高考)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋bi 是纯虚数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 当a ＝0时，如果b ＝0同时等于零，此时a ＋bi ＝0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件，而如果a ＋bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a ＝0，因此是必要条件，故选B.
【答案】 B
4．(2011·湖北高考)若实数a ，b 满足a≥0，b≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b)＝a2＋b2－a －b ，那么φ(a ，b)＝0是a 与b 互补的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要的条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 若φ(a ，b)＝0，则a2＋b2＝a ＋b ，可得ab ＝0，且a ＋b≥0.即a ＝0时b≥0或b ＝0时a≥0.∴a 与b 互补．
若a 与b 互补，则a ＝0时b≥0或b ＝0时a≥0.
∴a2＋b2－a －b ＝0，即φ(a ，b)＝0.故选C.
【答案】 C
5．命题“若方程x2＋a ＝0无实根，则a≥0”，其中在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，正确的个数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】 若方程x2＋a ＝0无实根，则a≥0.(真命题)
逆命题：若a≥0，则方程x2＋a ＝0无实根．(假命题)
否命题：若方程x2＋a ＝0有实根，则a ＜0.(假命题)
逆否命题：若a ＜0，则方程x2＋a ＝0有实根．(真命题)
【答案】 B
6．有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
【解析】 ①的逆命题“若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0”为真命题；②的否命题：“若两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，为假命题；③的逆命题：“若x2＋2x ＋q ＝0有实根，则q≤1，为真命题；④为假命题故逆否命题假．故选C.
【答案】 C
二、填空题
7．(2013·烟台模拟)下列有关命题的叙述，错误的是________．
①命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”
②命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”的逆否命题为真命题
③“x>5”是“x2－4x －5>0”的充分不必要条件
④命题“若x2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x ＋2≠0”
【解析】 ①中原命题的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，④中原命题的逆否命题应为“若x≠1且x≠2，则x2－3x ＋2≠0”．
【答案】 ①④
8．(2013·南昌模拟)设p ：|4x －3|≤1；q ：(x －a)(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 p ：|4x －3|≤1⇔12≤x≤1，
q ：(x －a)(x －a －1)≤0⇔a≤x≤a ＋1
由p 是q 的充分不必要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧
a≤12，a ＋1≥1.
解得：0≤a≤12. 【答案】 ⎣⎡⎦
⎤0，12 9．(2012·长沙调研)定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D 上的零函数．
根据以上定义，“f(x )是D 上的零函数或g(x)是D 上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D 上的零函数”的________条件．
【解析】 设D ＝(－1,1)，f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 0，x ∈－1，0]，x ，x ∈，， g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈－1，0]，0，x ∈，，显然F(x)＝f(x)·g(x)是定义域D 上的零函数，但f(x)与g(x)都不是D 上的零函数．
【答案】 充分不必要
三、解答题
10．判断命题“若a≥0，则x2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．
【解】 法一：写出逆否命题，再判断其真假．
原命题：若a≥0，则x2＋x －a ＝0有实根．
逆否命题：若x2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.
判断如下：
∵x2＋x －a ＝0无实根，
∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0，
∴“若x2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．
法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断
∵a≥0，∴4a≥0，∴4a ＋1＞0，
∴方程x2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1＞0，
∴方程x2＋x －a ＝0有实根，
故原命题“若a≥0，则x2＋x －a ＝0有实根”为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，
∴“若a≥0，则x2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题．
法三：利用充要条件与集合关系判断．
命题p ：a≥0，q ：x2＋x －a ＝0有实根，
∴p ：A ＝{a ∈R|a≥0}，
q ：B ＝{a ∈R|方程x2＋x －a ＝0有实根}＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ∈R ⎪⎪
a≥－14. 即A ⊆B ，∴“若p ，则q”为真，
∴“若p ，则q”的逆否命题“若綈q ，则綈p”为真．
∴“若a≥0，则x2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真．
11．求证：关于x 的方程ax2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.
【证明】 必要性：
若方程ax2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，
∴x ＝1满足方程ax2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.
充分性：
若a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－a －c ，
∴ax2＋bx ＋c ＝0化为ax2－(a ＋c)x ＋c ＝0，
∴(ax －c)(x －1)＝0，
∴当x ＝1时，ax2＋bx ＋c ＝0，
∴x ＝1是方程ax2＋bx ＋c ＝0的一个根．
12．(文)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
【解】 设A ＝{x|(4x －3)2≤1}，B ＝{x|x2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0}，
易知A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x≤1，B ＝{x|a≤x≤a ＋1}． 由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a≤12，a ＋1≥1. 故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤0，12. (理)已知条件p ：⎪⎪⎪
⎪1－x －13≤2，q ：x2－2x ＋1－m2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
【解】 法一：由⎪⎪⎪
⎪1－x －13≤2，得－2≤x≤10. ∴“綈p”：A ＝{x|x ＞10，或x ＜－2}．
由x2－2x ＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m(m ＞0)．
∴“綈q”：B ＝{x|x ＞1＋m ，或x ＜1－m ，m ＞0}．
∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A ⊆B.
结合数轴有⎩⎪⎨⎪⎧
m ＞0，1＋m≤10，1－m≥－2，解得0＜m≤3. 法二：由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2得，p ＝{x|－2≤x≤10}． 由x2－2x ＋1－m2≤0(m ＞0)得，
q ＝{x|1－m≤x≤1＋m ，m ＞0}．
∵q ⇒p ，∴q ⊆p.
结合数轴有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m≥－2，1＋m≤10，m ＞0，
解得0＜m≤3. 四、选做题
13．已知f(x)＝x2＋ax ＋b ，且p ＋q ＝1，求证：
pf(x)＋qf(y)≥f(px ＋qy)对任意x ，y 成立的充要条件是0≤p≤1.
【证明】 pf(x)＋qf(y)－f(px ＋qy)＝p(x2＋ax ＋b)＋q(y2＋ay ＋b)－(px ＋qy)2－a(px ＋qy)－b ＝px2＋qy2－p2x2－q2y2－2pqxy
＝p(1－p)x2＋q(1－q)y2－2pqxy
＝pq(x －y)2，
充分性：∵0≤p≤1，p＋q＝1，
∴q＝1－p，
∴0≤q≤1，
∴0≤pq≤1，
∴pq(x－y)2≥0，
∴pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)，
必要性：若pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)，∴pq(x－y)2≥0，
∴pq≥0，
∵p＋q＝1，
∴p(1－p)≥0，
∴0≤p≤1.。