【中小学资料】云南省昆明市2018届高三数学上学期第二次月考试题 文

2017-2018学年上学期第二次月考
高三（文科）数学试卷
注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷第 1 页，第Ⅱ卷 第1至2 页,满分 150 分，时间 120分钟。

考试结束后，只交答题卡，试卷本人妥善保存。

符合题目要求的）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若集合M={（x ，y ）|x+y=0}，N={（x ，y ）|x 2
+y 2
=0，x ∈R ，y ∈R}，则有（ ） A ．M ∪N=N B ．M ∪N =M C ．M ∩N=M D ．M ∩N=∅
2.设复数z 满足(1)12i z i +=-，则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限
3．若0tan >α，则
A. 0sin >α
B. 0cos >α
C. 02cos >α
D. 02sin >α
4．命题:p x R ∀∈，2
0x ax a ++≥，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ． (,0)(4,)-∞+∞ C ．[0,4] D ．(,0][4,)-∞+∞ 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D.
6.已知tan 2α=，则
2sin cos sin 2cos αα
αα
-+的值是（ ）
A ． 34
B ．43- C. 43 D ．34
-
7.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C.3 D. 4
8.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是
A .()f x ()g x 是偶函数
B .()f x |()g x |是奇函数
C .|()f x |()g x 是奇函数
D .|()f x ()g x |是奇函数
9.已知a ＝24
3
，b ＝323
，c ＝2513
，则( )
A ．b<a<c
B ．a<b<c
C ．b<c<a
D ．c<a<b
10．若cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－α＝35
，则sin 2α等于( )
A.725
B.15 C ．－725 D ．－1
5
11.函数()sin f x x x =-在[0,2]x π∈上的图象大致为（ ）
12． 设函数2
1
()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 A ．11,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭
C ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数log (1)a y x =-（0,1a a >≠）的图象必定经过的点的坐标为 ．
14．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x
f x =，则
5
()(1)2
f f -+错误！未找到引用源。

= .
15．]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1
()x f x e
x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)
处的切线方程式_____________________________.
16．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足
1
(2
)(a f f ->，则a 的取值范围是______.
三．解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点1(1,)2
P ，倾斜角3
π
α=，在以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为
ρ=
（1）写出直线l 的参数方程，并把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点，求PA PB ∙的值.
18.已知函数f(x)＝sin x ，g(x)＝mx －x
3
6
(m 为实数)．
(1)求曲线y ＝f(x)在点P ⎝
⎛⎭⎪⎫π4
，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程；
(2)求函数g(x)的单调递减区间．
19.已知函数f(x)＝x 3
－3x 2
＋ax ＋2，曲线y ＝f(x)在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.
(1)求a ；
(2)证明：当k<1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个交点．
20.已知函数f(x)＝x 2－ax －aln x (a∈R)．
(1)若函数f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－x 3
3＋5x 2
2－4x ＋11
6.
21.已知函数f(x)＝xln x.
(1)试求曲线y ＝f(x)在点(e ，f(e))处的切线方程；
(2)若x>1，试判断方程f(x)＝(x －1)(ax －a ＋1)(a>0)的解的个数．
22．已知函数()x f x e =，()ln g x x a =+. （1）设()()h x xf x =，求()h x 的最小值；
（2）若曲线()y f x =与()y g x =仅有一个交点P ，证明：曲线()y f x =与()y g x =在点P 处有相同的切线，且52,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
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昆明黄冈实验学校2017-2018学年度高三第二次月考
文科数学试题参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 选择题（共60分）
三．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若集合M={（x ，y ）|x+y=0}，N={（x ，y ）|x 2
+y 2
=0，x ∈R ，y ∈R}，则有（ ） A ．M ∪N=N
B ．M ∪N=M
C ．M ∩N=M
D ．M ∩N=∅
【解答】解：∵M={（x ，y ）|x+y=0}表示的是直线x +y=0 又N={（x ，y ）|x 2
+y 2
=0}表示点（0，0） ∵（0，0）在直线x+y=0上 ∴M ∪N=M 故选项为B.
2.设复数z 满足(1)12i z i +=-，则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 【解答】解：12i 13
i 1i 22
z -=
=--+，13i 22z =-+，故选B ．
3．若0tan >α，则
A. 0sin >α
B. 0cos >α
C. 02cos >α
D. 02sin >α
【解答】解：由
sin tan 0cos α
αα=
>，可得：sin ,cos αα同正或同负，即可排除A 和B ，又由
sin22sin cos ααα=⋅，故sin 20α>,选D.
4．命题:p x R ∀∈，2
0x ax a ++≥，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ． (,0)(4,)-∞+∞ C ．[0,4] D ．(,0][4,)-∞+∞ 【解答】解：对于20x x ax a ∀∈++R ，≥成立是真命题，∴240a a ∆=-≤，即04a ≤≤，故选C ． 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C.
D.
【解答】解：全称命题的否定“
”，故选A.
学校： 班级 考场 姓名： 考号： 座号 密 封 线 内 禁 止 答 题 密 封 线 内 不 准 答 题
6.已知tan 2α=，则
2sin cos sin 2cos αα
αα
-+的值是（ ）
A ． 34
B ．43- C. 43 D ．34
-
【解答】解：∵tan 2α=，∴cos 0α≠，∴
2sin cos 2tan 13
sin 2cos tan 24
αααααα--==++，故选A ．
7.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C.3 D ．4
【解答】解：作出sin y x =，|lg |y x =的图象如图1，由图象知有4个零点，故选D ．
图1
8.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是
A .()f x ()g x 是偶函数
B .()f x |()g x |是奇函数
C .|()f x |()g x 是奇函数
D .|()f x ()g x |是奇函数
【解答】解：设()()()F x f x g x =，则()()()
F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是
偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选B . 9.已知a ＝243
，b ＝323
，c ＝2513
，则( )
A ．b<a<c
B ．a<b<c
C ．b<c<a
D ．c<a<b
【解答】解：a ＝24
3
＝3
16，b ＝323
＝3
9，c ＝2513
＝3
25，所以b<a<c ，选A.
10．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5，则sin 2α等于( )
A.725
B.15 C ．－725 D ．－1
5
【解答】解：因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35
，所
以sin 2α＝2×925－1＝－7
25
，故选C.
11.函数()sin f x x x =-在[0,2]x π∈上的图象大致为（ ）
【解答】解：因为()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在[]0,2π为增函数，令()()g x f x '=，且()sin g x x '=，当[]0,x π∈时，()0g x '≥，()g x 为增函数，()f x 图象上切线的斜率逐渐增大；当[]2x ππ∈，
时，()0g x '≤，()g x 为减函数，()f x 图象上切线的斜率逐渐减小，选D ． 12． 设函数2
1
()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解答】解：()f x 是偶函数，且在[)0,+∞是增函数，所以
()()()()1
2121211f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔
<< ,选C. D 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
四．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
14. 函数log (1)a y x =-（0,1a a >≠）的图象必定经过的点的坐标为 ． 【解答】解：由已知函数log (1)(01)a y x a a =->≠，必过(20)，.
14．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x
f x =，则
5
()(1)2
f f -+错误！未找到引用源。

= .
【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以
(1)(1)0,(1)(12)(1)0f f f f f -=-=-=-+==，所以(1)(1)f f -=，即(1)0
f =，1
25111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5
()(1)22
f f -+=-.
15．已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1
()x f x e
x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)
处的切线方程式_____________________________. 【解答】解：当0x >时，0x -<，则1
()x f x e
x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以
1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．
16．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足
1
(2
)(a f f ->，则a 的取值范围是______.
【解答】解：由()f x 是偶函数可知，()0-∞，
单调递增；()0+∞，单调递减
又()(12a f f ->，(f f =
可得，1
2a -<11a -<
∴13
a <<15
三．解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点1(1,)2
P ，倾斜角3
π
α=，在以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为
ρ=
（1）写出直线l 的参数方程，并把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点，求PA PB ∙的值.
解：（Ⅰ）直线l
的参数方程为：112()12x t t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩，为参数，，
曲线C 的直角坐标方程为：2
213
x y +=．
（Ⅱ）把直线l
的参数方程11212x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩，，
代入曲线C 的方程2213x y +=中，
得2
2
1113322t ⎛⎫⎛⎫
++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即2104)50t t +-=， 设点A B ，所对应的参数分别为12t t ，，则1212
t t =-，
∴121211
||||||||||22
PA PB t t t t ===-=．
18.已知函数f(x)＝sin x ，g(x)＝mx －x
36
(m 为实数)．
(1)求曲线y ＝f(x)在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程；
(2)求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1)由题意得所求切线的斜率k ＝f′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝cos π4＝22. 切点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4，22，则切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，
即x －2y ＋1－π
4＝0.
(2)g′(x)＝m －12
x 2
.
①当m≤0时，g ′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m>0时，令g′(x)<0， 解得x<－2m 或x>2m ，
则g(x)的单调递减区间是(－∞，－2m)，(2m ，＋∞)．
19.已知函数f(x)＝x 3－3x 2
＋ax ＋2，曲线y ＝f(x)在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.
(1)求a ；
(2)证明：当k<1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个交点．
[解] (1)f′(x)＝3x 2
－6x ＋a ，f ′(0)＝a.
曲线y ＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.
由题设得－2
a
＝－2，所以a ＝1.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝x 3－3x 2
＋x ＋2.
设g(x)＝f(x)－kx ＋2＝x 3－3x 2
＋(1－k)x ＋4. 由题设知1－k>0.
当x≤0时，g ′(x)＝3x 2
－6x ＋1－k>0，g(x)单调递增， g(－1)＝k －1<0，g(0)＝4，
所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x>0时，令h(x)＝x 3－3x 2＋4，
则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以
g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．
综上，g(x)＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个交点．
20.已知函数f(x)＝x 2－ax －aln x (a∈R)．
(1)若函数f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值；
(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－x 33＋5x 22－4x ＋116
. 解：(1)f′(x)＝2x －a －a x
，由题意可得f′(1)＝0，解得a ＝1. 经检验，a ＝1时f(x)在x ＝1处取得极值，所以a ＝1.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝x 2－x －ln x ，
令g(x)＝f(x)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋5x 22
－4x ＋116＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116， 由g′(x)＝x 2－3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝（x －1）3x
(x ＞0)，可知g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－x 33＋5x 22－4x ＋116
成立． 21.已知函数f(x)＝xln x.
(1)试求曲线y ＝f(x)在点(e ，f(e))处的切线方程；
(2)若x>1，试判断方程f(x)＝(x －1)(ax －a ＋1)(a>0)的解的个数．
解：(1)f′(x)＝ln x ＋x·1x
＝1＋ln x ，所以f′(e)＝2，又f(e)＝e ，所以切线方程为2x －y －e ＝0.
(2)方程f(x)＝(x －1)(ax －a ＋1)的解即为方程ln x －（x －1）（ax －a ＋1）x
＝0的解． 设h(x)＝ln x －（x －1）（ax －a ＋1）x
，x>1. 则h′(x)＝－ax 2－x －a ＋1x 2＝－（x －1）（ax ＋a －1）x 2，x>1. 令h′(x)＝0得x 1＝1，x 2＝1－a a
. 当0<a<12，即1－a a >1时，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，1－a a 时，h ′(x)>0，h(x)为增函数； x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－a a ，＋∞时，h ′(x)<0，h(x)为减函数． 又x→＋∞时，h(x)＝ln x －ax ＋1－a x
＋2a －1<0，h(1)＝0， 所以方程有一个解．
当a≥12，即1－a a
≤1时，因为x>1，所以h′(x)<0，h(x)为减函数， 而h(x)<h(1)＝0，方程无解．
综上所述，当0<a<12
时，原方程有一个解； 当a≥12
时，原方程无解．
22．已知函数()x f x e =，()ln g x x a =+.
（1）设()()h x xf x =，求()h x 的最小值；
（2）若曲线()y f x =与()y g x =仅有一个交点P ，证明：曲线()y f x =与()y g x =在点P 处有相同的切线，且52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 解：（Ⅰ）()()'1x h x x e =+，
当1x <-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当1x >-时，()'0h x >，()h x 单调递增，
故1x =-时，()h x 取得最小值1e
-． （Ⅱ）设()()()ln x t x f x g x e x a =-=--，则()()11'0x x
xe t x e x x x
-=-=>， 由（Ⅰ）得()1x T x xe =-在()0,+∞单调递增，又102T ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，()10T >， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00T x =， 所以当()00,x x ∈时，()'0t x <，()t x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0t x >，()t x 单调递增， 所以()t x )的最小值为()000ln 0x t x e x a =--=， 由()00T x =得00
1x e x =，所以曲线()y f x =与()y g x =在P 点处有相同的切线， 又00ln x a e x =-，所以001a x x =
+， 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．。