广东省东莞市横沥中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

广东省东莞市横沥中学2021年高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合，，若，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
2. 已知实数满足的最小值为3，则的值为（）
A．3 B．一3 C．-4 D．4
参考答案：
A
3. 若f(x)=cos x－sin x在[0,a]是减函数，则a的最大值是
A．B．C．D．π
参考答案：
C
因为，
所以由得
因此，从而最大值为，选A.
参考答案：
D
略
5. 如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为
，沿倾斜角为的斜坡向上走米到B，在B 处测得山顶P 的仰角为，求山高h=（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
6.
设集合A=，B=，则A B等于（）A． B． C． D．
参考答案：
答案：B
7. 已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．
【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，
等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，
作出函数f（x）的图象如图：
由二次函数的知识可知，当x=时，抛物线取最低点为，
函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当m∈（，0）时，
两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点，
故选C
8. 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
9. 函数是（）
A．奇函数且在上是减函数 B．奇函数且在上是增函数
C．偶函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数
参考答案：B
10. 若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
【解答】解：∵=为纯虚数，
∴，解得：a=﹣6．
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数，则的最小正周期是________．
参考答案：
12. 如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x 轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C滚动时的曲线为y= f(x)，则f(x)在[2017,2018]上的表达式
为．
参考答案：
13. 如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，且点D在圆C上，则_____．
参考答案：
【分析】
由向量加法的概念以及可得四边形为菱形，且，再由向量数量积的定义即可得结果.
【详解】∵，∴四边形为平行四边形，
又∵，∴，
∴，
故答案为：. 【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形为一个内角为的菱形是解题的关键，属于基础题.
14. 记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a
13= ．参考答案：
50
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得，，的值，由数列{}也为等差数列可得2=+，解方程可得d值，由等差数列的通项公式可得．
解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵a1=2，∴=，
∴=，=，
∵数列{}也为等差数列，
∴2=+，
解得d=4，
∴a13=2+12×4=50，
故答案为：50．
点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题
15. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则．
参考答案：
16. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y=_________.
参考答案：
63
17. 已知为常数，若，则（）。

参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C：
(1) 判断曲线C的形状? 并写出曲线C与y轴交点的极坐标.
(2) 若曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
参考答案：
解:（1）把曲线方程化为普通方程得,可知曲线C是以(0,-1)为圆心,半径为1的圆.
…… 2分
它与y轴的交点为（0，0）、（0，－
2）…… 4分
化为极坐标为(0,0)、（2，
）； (6)
分
（2）解∵，
∴x2＋(y＋1)2＝1.
由圆与直线有公共点，得d＝≤1，…… 9分解得1－≤a≤1
＋. (11)
分
所以实数a的取值范围为
…… 12分
略
19. 如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；
（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；
（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．
【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，
因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，
∴BD==2，CD==2，
则V A﹣BCD===
=．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A （0，2，2），D （2，0，0），C （0，0，0），B （0，2，0），M （），
=（2
，﹣2，﹣2），
=（
），
设异面直线AD 与CM 所成角为θ，
则cosθ===．
θ=arccos
．
∴异面直线AD 与CM 所成角的大小为arccos
．
20. （几何证明选做题）如图，PA 切⊙O 于点 A ，割线 PBC 经过圆心O ，PB=1，PA ＝ ，OA 绕点
O 逆时针旋转60°到OD ，则PD
的长为
．
参考答案：
略
21. 已知
的三个内角
所对的边分别为
,向量
，
，且
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的值
参考答案：
(1)由题意得
又因为
，所以
，解得
或
(7)
分
(2)在中，由余弦定理得
①
又，∴
，代入①整理得，解得
，∴
，
于是
即
为等边三角形，
……14分
22. （本小题满分13分）我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克／立方米以下的空气质量为
一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间的空气质量为二级；75微克／立方米以上的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m 天的PM2.5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示，
请据此解答如下问题：
(I)求m 的值，并分别计算频率分布直方图中的[75，95）和[95，115]这两个矩形的高； (Ⅱ)通过频率分布直方图估计这m 天的PM2.5日均值的中位数（结果保留分数形式）；
(Ⅲ)若从[75，95）中任意抽取一个容量为2的样本来研究汽车尾气对空气质量的影响，求至少有一个数据在[80，90）之间的概率．
参考答案：。