2019年安徽省黄山市寨西中学高二数学文期末试卷含解析

2019年安徽省黄山市寨西中学高二数学文期末试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 到点的距离相等的点的坐标满足( )
A、
B、
C、
D、
参考答案：
B
略
2. 已知两直线x﹣ky﹣k=0与y=k（x﹣1）平行，则k的值为（）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
参考答案：
B
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】直线x﹣ky﹣k=0即 y=x﹣1，k≠0，再根据两直线的斜率相等，但在y轴上的截距不相等，求出k的值．
【解答】解：由于直线x﹣ky﹣k=0与直线y=k（x﹣1）的斜率都存在，直线x﹣ky﹣k=0即 y=x﹣1，k≠0，
由两直线平行的性质可得，
∴k2=1，且k≠1．
解得 k=﹣1，
故选B．
3. 函数f（x）=xsinx+cosx在下列区间内是增函数的是（）
A．B．（π，2π）C．（2π，3π）D．
参考答案：
D
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】对给定函数求导后，把选项依次代入，看哪个区间，y′恒大于0，即可．
【解答】解：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，
当x∈（，）时，恒有xcosx＞0．
故选：D．
【点评】考查利用导数研究函数的单调性问题．考查计算能力．
4. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）
A．6 B．4 C．12 D．144
参考答案：
C
【考点】平面与平面垂直的性质．
【分析】连接PB，PC，由余弦定理可得AC的值，由PA⊥AC，故根据勾股定理可得PC的值．
【解答】解：连接PB，PC，
∵PA=AB=BC=6，
∴由余弦定理可得AC==6，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC，
∴PC==12．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．
5. 已知①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形.根据”三段论”推理出一个结论。

则这个结论是( )
A．正方形的对角线相等 B．矩形的对角线相等
C．正方形是矩形 D．其他
参考答案：
A
略
6. 函数的最小值为
A．5 B．6 C 7 D.8
参考答案：
D
7. 圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：
=|3a++3|=r，|3a++3|=5r，由a＞0，知3a++3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，由此能求出面积最小的圆的方程．
【解答】解：设圆心为（a，），a＞0，
圆心到直线的最短距离为： =|3a++3|=r，（圆半径）
∴|3a++3|=5r，
∵a＞0，∴3a++3=5r，
欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，
∵5r=3a++3≥2+3=15，
∴r≥3，当3a=，即a=2时，取等号，
∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）
所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．
故选A．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．
8. 点到直线的距离是（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
9. 若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为()
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
参考答案：
C
10. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，，则( )
A. 20
B. 23
C. 24
D. 28
参考答案：
D
【分析】
将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.
【详解】由于数列是等差数列，故，解得，故
.故选D.
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点A(－2，－3，4)和点B(4,-1，2)的中点C的坐标为 .
参考答案：
略
12. .对于各数互不相等的整数数组(i1, i2, i3…，i n)(n是不小于3的正整数)，若对任意的p，q∈{1，2，3…，n},当p＜q时有i p＞i q，则称i p，i q是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）的逆序数为 .
参考答案：
4
略
13. 已知两直线l1：ax﹣2y+1=0，l2：x﹣ay﹣2=0．当a= 时，l1⊥l2．
参考答案：
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆．
【分析】由垂直关系可得a的方程，解方程可得．
【解答】解：∵两直线l1：ax﹣2y+1=0，l2：x﹣ay﹣2=0相互垂直，
∴a×1﹣（﹣2）（﹣a）=0，
解得a=0
故答案为：0
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
14. 设为两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，，，则；
②若相交且不垂直，则不垂直；
③若，则n⊥；
④若，则．其中所有真命题的序号是_______．
参考答案：
④
15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则
________.
参考答案：
.
【分析】
根据，可知，结合即可求得，根据同角三角函数关系
式即可求得，结合诱导公式及二倍角降幂公式即可求得的值。

【详解】由可知
，展开化简可得
因为，由正弦定理可得
有以上两式可得
根据诱导公式可知
结合二倍角公式的降幂公式可知
【点睛】本题考查了三角函数式化简求值，正弦定理、诱导公式和余弦的二倍角公式的综合应用，属于中档题。

16. 平面上两条直线，如果这两条直线将平面划分为三部分，则实数的取值为▲ .
参考答案：
17. 是平面上一点,是平面上不共线三点,动点满足
,时, 则的值为__________。

参考答案：
当时,,即,所以,
即是的中点.所以,所以=0
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）国家有甲，乙两个射击队，若两个队共进行了8次热身赛，各队的总成绩见下表：
分别求两个队总成绩的样本平均数和样本方差，根据计算结果，若选一个代表队参加奥运会比赛，你认为应该选哪一个队？
参考答案：
-----------4分
------------8分
选乙----------------10分
略
19. 已知,那么等于多少?
参考答案：
解析：设，令，得
令，得，
20. 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】先求出甲和乙的平均数，再求出甲和乙的方差，结果甲的平均数大于乙的平均数，甲的方差大于乙的方差，得到结论．
【解答】解：，
，
∵
∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．
21. （本题12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，
，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
参考答案：
（1）如图所示，取AB中点E，连PE、CE．
则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．
PE=1，CE=，PC=2，即．Ks5u
由勾股定理可得，PE⊥CE．又因为AB⎧平面ABCD，CE⎧平面ABCD，
且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．Ks5u
而PE⎧平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．
（2）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．过A作平面PCD 的垂线，垂足为H，连FH．
因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．
又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．
已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．
故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．
由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．
而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，
所以AH∥EF．
由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．
所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．
在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．
（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），=（,1,0），=（,0,-1），=（0,2,0）．
设是平面PAC的一个法向量，则，即．
取，可得，．
设是平面PCD的一个法向量，则，即．
取，可得，．
故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．
22. 已知函数，且在点处的切线垂直于轴.
（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值和最小值。

参考答案：
解：（1）依题意：
（2）由（1）知：，
令
∵，，
∴
略。