解函数型不等式恒成立问题的策略

例 １ （）ａ３ ｘ ｌ对于 一 ，］ ｆｘ＝ｘ－ ＋ ， ３ ∈［１ １
总有 ） ０ 立 ， ｎ １ ＞ 成 则 ＝ ．
ｇ ） －， ）（ ，ｌ单 增， （ 在［ 一 ， — ３上 调递 ３ １ ｆ＾ １ 一
： ）
分 析 ： 对 含 参 不 等 式 恒 成 立 问题 ，
一
＝１ ± ．因为， 一 ） － ８ － ） ２ １ ＝ （ ３ ＝ １ Ｊ（ １ ＝ （ ）
构 造 函数 等 数 学 思 想 方 法 ． 有 效 甄 别 能
学 生 的思 维 品质 ． 培 养 学 生 思 维 的 灵 在
当ｘ ０ 即 ∈［ １０ 时 ， 等 式 转 ＜， 一 ，） 不
， ，
＆ ‘（１≤ ）型 ， Ｉ ） ｇ（２”
化 为ｎ ≤ 一１
此 ｇ ） ＞ 时 （ 呈； ＝
倒４ 已知函娄 ）８２ｌ ＝ ＋
＋
，（） ｇ ＝
活性 、 造 性 等 方 面 起 到 了积 极 的 作 用 ． 创
下 面 笔 者 结 合 几 类 典 型 例 题 谈 谈 常 见
化 为 求 函数 的 最值 ｆ 题 ． ＊ － Ｉ
解析 ： ＝ 当ｘ ０时 。 等 式 成 立 。 以 不 所
ａＥ Ｒ
期Ｔ４所以ｌｌ Ｉ ＝ ， ２的最小值为２ ． ２“ （ ） （ ）≤ （ ．ｌｘ － Ｉ ｆ 为常数 ） ｆ ，ｆ ２ ｔ ” 型
例３ 已知三次函数 ） 乙 。 若对
投 邮 ：ｊ ｖ．３ｏ …… ………… 一 － 稿 箱ｓｋ ｉ ６．ｒ ｘ ＠ ｐ ｃｎ １ ＾ ＿数学教学通讯（ － 教师ｌ ） …… ………一 ……’ 。 题 究＞ 题 究 ｌ ｉ … ＿试 研 试 探 。
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解函数型不等式恒成立问题的策略
成 嚣 翊 的０ 问 ．慧丽 这 粉 分一施
．
转化，
）
） ≤￡ ．
解析 ： 令 （） ｇ － （） ２３３２ ＿ （ ）ｆ ＝ ｘ— 一
例 函 ２设
若 对 任 意 ＥＲ， 都
２ ｌ斛 ， ｓ詈 詈） ｉ ｎ
。 ） ）
在一， 上 调 减 又 （ ） （ 一 单 递 ・ ｇ ３ １ 寺） 一＝
，
常见有 两种 处理方法 ． 一种是 不分 离参
数 ．将 其 作 为 系数 放 在 函数 中来 处 理 ．
一
成立， Ｉ 则ｌ ： 。 的最小值为一
于 区 间 ［３ ２＿ 任 意两 个 自变 量 ， ， － ，３＿ ｂ 都 ：
构 造 函数
１ Ｔｘ ≤ｇ（ ” ．‘ ） ｘ）型
例５ 已知 函数厂 ＝ｘ １ — ， （ ８２ ６ ｋ ） ＋ ｘ
ｇｘ ＝ ｘ＋ ＋ ， 中 （） ２ 缸 其 为实数 ， 对任 若
意 ∈［３ ３ ， － ， ］都 的取 值 范 围． ） （） 立 ， ｋ ≤ｇ 成 求
的处 理 方 法 ．
ｏ 所 以ｇ 在 ［ １０ 上 递 增 ， ｇ ＝ ， （ ） 一 ，） 故 （）
ｇ － ） ４ － ｊ．＜４ （ １： ， ＂ ａ ． ｉ Ｙ￥ ￣
， 中 Ｊ 实 数 ， 对 任 意 ， 其 ｝ 为 若 。
２ 一 ， ］都￣ （。≤ｇ ） ∈［３ ３ ， ｆ ｘ） （：恒成立 ， ｆ 求
当ｘ ０ 即 ∈（ ， ） ， 等 式 转 化 ＞， ０ １时 不
为 口 ～ １ ≥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ３
．
有 １ ）≤ ， 数 的 小值 ） Ｉｆ 求实 ｔ 最 ．
分析 ： 。 ２ 由 ， 的任 意 性 ， 题 可 等价 本
１
一
ｚ
３
４－ ） ＂ ｇ（ ＝ ３
，
（）丁 １２） ＝ （－￣ ３
江 苏南通 天 星湖 中 学 ２ ６ ０ ２０ ０
孙文
数 学 的 深 奥 复 杂 性 在 于 数 学 问 题 的 千 变 万 化 ．数 学 方 法 的 灵 活 多 变 ． 含 参 问题 的 形式 多 样 等．函数 型不 等 式 恒 成 立 问 题 常 以 函数 作 为 背 景 ． 及 不 等 涉 式 及 导 数 多 方 面 的 知 识 ． 透 着 数 形 结 渗 合 、 归 与转 化 、 离 参数 、 用最 值 、 化 分 利
令（０ ， ｇ在 ，） ２， （２）：２， 所 以在 区 间 ［一３， ｇ）得 所 （ （ ｆ ＞ ＜ 以 。 ， ） ２］ 解 上，（ ＝ ｆ ） － ８ ） ２，（ ｍ＝ １． 上调 增在１］ 调减 单递 ，［， 单 递 ， 于是 ， 于 区 间 ［ ３， ］ 任 意 两 个 １ 上 对 一 ２上 自 量 ， 变 ％ １＝ ）≤ ０ 所以 ≥ ） ． Ｉ ２． ｔ ２ 故 ： ）于。． ｇ）ｇ ： 是 ４ （ （４ ≥ ， ２ ． 而 最 小值 为２ ． ０从 的 ０
Ｊ ｝ 的取 值 范 围．
解析 ： 由题 意知 ） ≤ｇ （） 由
嚣 高 啊
综上
分离参数
‘ ， ）型 ≤ （ ”
利用最值
１ ｌ ） ｌ工） ， ）型 ．‘（１≤ （ ≤ （２” ， ，
ｇ ＝ ＋Ｏ ４Ｏ得 ＞÷或 ＜１故 ） ｌ ＋＞， 一 一， （ ｘ
ｇ
， 所
ｔ ．
种是分 离参数 ， 转化成形如“ ￣ （） ａ ｆｘ”
） 成 立 ， ≤ （ ｍ； 恒 则口 ｌ ） ，
分析： 由 的任 意性 可 （ ｄ（２ ） ｘ）
分 别 是 ） 最 小值 和 最 大值 ， 取 最 的 则
值 时 相 应 横 坐 标 距 离 的 最 小 值 是 函数
一
又， ） （ ～ （ ） １０ ｋ 因此 １０ ｋ≤ ３ ＝２一 ， ２－
２ ． 是ｋ １ ． １于 ≥ ４１
或 “ ≥厂 ” 不 等 式． 类 问 题 的 理 论 口 （） 型 此
基础是 ： 若口
若 口 （ 恒 成 立 ， （ 一， 而 转 ） 则口 ） 进
的 半 个 周 期 ， 于 函 （ ） 最 小 正 周 由 的