高三数学一轮复习 第3章第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数精品 理

心尺引州丑巴孔市中潭学校第3章 第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．sin(－270°)＝( )
A ．－1
B ．0 C.12 D ．1
解析： 方法一：∵－270°角的终边位于y 轴的非负半轴上，在其上任取一点(0，y )，那么r ＝y ， 故sin(－270°)＝y r ＝y y
＝1.
方法二：sin(－270°)＝sin(－270°＋360°)＝sin 90°＝1.
答案： D
2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，那么其圆心角弧度数为( )
A.π3
B.2π3
C. 3
D.2 解析： 设圆半径为R ，由题意可知： 圆内接正三角形的边长为3R . ∴圆弧长为3R . ∴该圆弧所对圆心角的弧度数为
3R R
＝ 3. 答案： C
3．将表的分针拨慢10分钟，那么分针转过的角的弧度数是( )
A.π3
B.π6 C ．－π3 D ．－π6 解析： 将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转，
∴C 、D 不正确．
又∵拨慢10分，∴转过的角度应为圆周的212＝16
，
即为16×2π＝π3
. 答案： A
4．角α的终边上一点的坐标为⎝
⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，那么角α的最小正值为( ) A.5π6
B.2π3
C.5π3
D.11π6
解析： ⎝
⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝⎛⎭⎫32，－12， ∴α在第四象限且sin α＝－12，cos α＝32
. ∴α的最小正值为
11π6.∴选D. 答案： D
5．θ∈⎝
⎛⎭⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，那么关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的选项是( )
A ．－3
B ．3或13
C ．－13
D ．－3或－13
解析： 在单位圆中，由三角函数线可知，
∵a ＜1，∴θ不在第一象限，θ∈⎝
⎛⎭⎫－π2，0. 又∵a ＞0，∴sin θ＋cos θ＞0.
∴θ∈⎝⎛⎭
⎫－π4，0.∴tan θ∈(－1,0)． 答案： C
6．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，那么函数d ＝f (l )的图象大致为( )
解析： 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，那么d ＝2sin θ，l ＝2θR ＝2θ，
∴d ＝2sin l
2.应选C.
答案： C
二、填空题
7．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪
⎪ α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π＜α＜π}，那么M ∩N ＝________. 解析： 由－π＜k π2－π
3＜π得－43＜k ＜83
，∵k ∈Z ， ∴k ＝－1,0,1,2，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56
π，－π3，π6，23π. 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56
π，－π3，π6，23π 8．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，那么B 点坐标为________． 解析： 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，
所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，
即B (－1，3)．
答案： (－1，3)
9．点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，那么α的取值范围是________．
解析： 由得⎩⎨⎧ sin α＞cos α，tan α＞0，
∴π4＋2k π＜α＜π2＋2k π或π＋2k π＜α＜5π4
＋2k π，k ∈Z . 当k ＝0时，π4＜α＜π2或π＜α＜5π4
. ∵0≤α≤2π，∴π4＜α＜π2或π＜α＜5π4
. 答案： π4＜α＜π2或π＜α＜5π4
三、解答题
10．α＝π3
. (1)写出所有与α终边相同的角；
(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；
(3)假设角β与α终边相同，那么β
2是第几象限的角？【解析方法代码108001031】
解析： (1)所有与α终边相同的角可表示为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫θ⎪⎪ θ＝2k π＋π3，k ∈Z . (2)由(1)令－4π＜2k π＋π3
＜2π(k ∈Z )，那么有 －2－16＜k ＜1－16
. 又∵k ∈Z ，∴取k ＝－2，－1,0.
故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－11π3、－5π3、π3
. (3)由(1)有β＝2k π＋π3(k ∈Z )，那么β2＝k π＋π6
(k ∈Z )． ∴β2是第一、三象限的角． 11．|cos θ|＝－cos θ，且tan θ＜0，试判断sin cos θcos sin θ
的符号． 解析： 由|cos θ|＝－cos θ可得cos θ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y 轴的负半轴上或x 轴的负半轴上；又tan θ＜0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限．易知－1＜cos θ＜0,0＜sin θ＜1，视cos θ、sin θ为弧度数，显然cos θ是第四象限的角，sin θ为第
一象限的角，所以cos(sin θ)＞0，sin(cos θ)＜0，故sin cos θcos sin θ
＜0. 12．如图，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3
弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P 、Q 各自走过的弧长．
【解析方法代码108001032】
解析： 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间是t ，
那么t ·π3＋t ·⎪⎪⎪
⎪－π6＝2π，所以t ＝4(秒)，即P 、Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．设第一次相遇点的坐标为C (x C ，y C )，第一次相遇时点P 已运动到终边在π3·4＝43π的位置，那么x C ＝cos 43
π·4＝－cos π3·4＝－2，y C ＝sin 43π·4＝－sin π3
·4＝－23，所以点C 的坐标为(－2，－23)，点P 走过的弧长为43π·4＝163π，点Q 走过的弧长为83π.。