2019-2020年高考数学冲刺卷四 理

x
y
O 2 1
-1
2019-2020年高考数学冲刺卷四 理
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项．
1．在复平面内，复数对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2．下列四个命题中，假命题为
(A) ， (B) ， (C) ， (D) ， 3．已知a>0且a ≠1，函数，，在同一坐标系中的图象可能是
(A) (B) (C)
(D) 4．参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是
(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是
(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 48
6．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是
(A)
(B) (C)
(D)
7．已知直线l ：(A ，B 不全为0)，两点，，若，且，则 (A) 直线l 与直线P 1P 2不相交
(B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交 (D) 直线l 与线段P 1P 2相交 8．已知函数，(a>0)，若，，使得f(x 1)= g(x 2)，则实数a 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．圆C ：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 ．
10．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A= ．
11．函数的最小正周期为 ，最大值为 ．
O
O O O x x
x
x
y
y
y
y
1 1
1 1
1
1
1
1
A
B D O
12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
13．如果执行上面的程序框图，那么输出的a =___．
14．如图所示，∠AOB=1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其
中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，
沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M
到达A 3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为 秒．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知等差数列的前项和为，a 2=4， S 5=35． （Ⅰ）求数列的前项和；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n 项和．
16.（本小题共14分）
张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口
遇到红灯的概率均为；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯
的概率依次为，．
（Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．
遇到1次红灯的概率； 1 1
正视图
侧视图
2
0.6
2.4 俯视图
0.6
H C
A 1 A 2 B
B
L 1 L 2
A 3
开始 ，
结束
输出a 是 否
O
A A
A A
B B B B A
B
（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
17.（本小题共13分）
已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：平面ABD；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
18.（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数在上的最大值．
19.（本小题共14分）
已知抛物线P：x2=2py (p>0)．
（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．
（ⅰ）求抛物线的方程；
（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．
20.（本小题共13分）
用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．
中国人民大学附属中学高考冲刺卷
数学(理)试卷（四）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．3 10．67° 11．， 12．12 13． 14．6，
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知等差数列的前项和为，a 2=4， S 5=35． （Ⅰ）求数列的前项和；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n 项的和．
解：（Ⅰ）设数列的首项为a 1，公差为d ．
则 ∴， ………………5分 ∴ ．
∴ 前项和． ………………7分
（Ⅱ）∵，
∴ ，且b 1=e ． ………………8分 当n ≥2时，
为定值， ………………10分
∴ 数列构成首项为e ，公比为e 3
的等比数列． ………………11分
∴． ………………13分 数列的前n 项的和是．
16.（本小题共14分）
张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1， L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L 2路线上有B 1，B
2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．
遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数的数学期望； （Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上
述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则 ． ………………4分
所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2． ………………5分
， ，
． ………………8分 A 2
（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，
所以．………………12分
因为，所以选择L2路线上班最好．………………14分
17.（本小题共13分）
已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△，使得平面⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：平面ABD；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直线BD将△BCD翻折成△
可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即，
故．
………………2分
∵平面⊥平面，平面平面=，平面，
∴平面．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．………………6分
则，，，．Array∵E是线段AD的中点，
∴，．
在平面中，，，
设平面法向量为，
∴，即，
令，得，
故．………………8分
设直线与平面所成角为，则
． (9)
分
∴直线与平面所成角的正弦值
为．………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，
而平面的法向量为，
∴，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．………………13分
18.（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数在上的最大值．
解：（Ⅰ）∵，∴函数的定义域为．………………1分
∴2112(2)(21)(1)
()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x
-+---+'=-+-==． …………
……3分
∵在处取得极值，
即，
∴． ………………5分 当时，在内，在内，
∴是函数的极小值点． ∴． ………………6分
（Ⅱ）∵，∴． ………………7分
2112(2)(21)(1)
()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x
-+--+'=-+-==-
∵ x ∈， ∴，
∴在上单调递增；在上单调递减， ………………9分 ①当时， 在单调递增，
∴； ………………10分 ②当，即时，在单调递增，在单调递减， ∴max 1
2()()ln 21ln 22424
a a a f x f -==--
+=--； ………………11分
③当，即时，在单调递减，
∴． ………………12分 综上所述，当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是；
当时，函数在上的最大值是．
……………
…13分
19.（本小题共14分）
已知抛物线P ：x 2
=2py (p>0)．
（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F 的距离为． （ⅰ）求抛物线的方程；
（ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C ， D
两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．
解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F 的距离与到准线距离相等， 即到的距离为3； ∴ ，解得．
∴ 抛物线的方程为． ………………4分 （ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y 轴交点为，
显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．
由， 消y 得， ………………6分 ，解得． ………………7分
∴切线方程为． ………………8分
（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，
设，，
由 消y 得 ． 且． ∴ ，；
∵ ， ∴ 直线：， 与联立可得， 同理得． ………………10分 ∵ 焦点， ∴ ，， ………………12分 ∴
24422212222
12120422p x x p p p p p x x x x p p p
=+=+=+=- ∴ 以为直径的圆过焦点． ………………14分
20.（本小题共13分）
用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项． 解：
（Ⅰ）由已知知(1,2)f =++++ ．
所以． ………………4分 （Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，
且‥‥
所以 ． ………………8分
（Ⅲ）任取，，
若，则必有．
即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．
对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的数不大于， 则，即，所以，
同理，第二行共有的数不大于，有， 第行共有的数不大于，有．
所以，在数列中，不大于的项共有项，即项．
……………
…13分。