浙江省杭州市塘栖中学高二数学课件：选修1-1 3.2.1 函数的最值与导数(共27张PPT)

变式2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2] 上的最大值．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a； ②在a确定的情况下，求切线方程； ③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最大
值．解答本题可先对函数求导，然后根据a的不 同取值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．
• [解析] (1)f′(x)＝3x2－2ax. • 因为f′(1)＝3－2a＝3， • 所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3， • 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 • 3x－y－2＝0.
x4
b
x5 x
函数y=f (x)在区间[a,b]上 最大值是f (x3), 最小值是f (x4).
1、利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上 最值的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值； (极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小 值．
• 故当x＝－1时，y最小＝－12，当x＝1时，y最大＝2， • 即f(x)的最大值为2，最小值为－12.
变式2
函数
y
1
x4
1
x3
1
x2
，在
4
3
2
［－1，1］上的最小值为( A )
A.0 B.－2 C.－1 D.13/12
例2、求f(x) 1 x sinx在区间 2
[0，π]上的最值.
解： 函数f(x)的最大值是π, 最小值是0.
最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f (x)
注意:
1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定比最小值大.
图1
y
y f (x)
函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b).
ao
b
x
单调函数的最大值和最小值
容易被找到。
y
图2
y f (x)
a x1 x2 o x3
1.3.3函数的最大值与最小值
1、求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根； (x为极值点.)
(3) 用 函 数 的 导 数 为 0 的 点 ， 顺 次 将 函 数 的定义区间分成若干小开区间，并列成表 格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号， 求出极大值和极小值.
• [解析] f′(x)＝3x2－4x.
令 f′(x)＝0，有 3x2－4x＝0，解得 x＝0，43.
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－1 (－1,0) 0 0，43
4 3
43，2
2
f′(x)
＋ 0－ 0 ＋
f(x) －2
1
－257
1
从上表可知，最大值是 1，最小值是－2.
(2)令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a.
当23a≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而
f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当23a≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而 f(x)max＝f(0)＝0.
• [点评] 注意比较求函数最值与求函 数极值的不同．
• 变式1.求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2在区间
[－1,1]上 的最值．
• [解析] f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3[(x－ 1)2＋1]
• 因为f′(x)在[－1,1]内恒大于0，所以f(x)在[－1,1] 上是增函数．
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减， ∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。 ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。
• 变式1.若函数f(x)在[a，b]上满足 f′(x)>0，则f(a)是函数的最_____值， f(b)是函数的最________值． [答案] 小 大 [解析] 由f′(x)>0，∴f(x)在[a，b]上是 增函数， ∴f(a)是函数的最小值，f(b)是函数的 最大值．
注意: 如果函数f(x)在x0处取得极值,
就意味着 f '(x0) 0
二、新课讲授
1、最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的 x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在 定义域上的最大值；
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的 x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定 义域上的最小值.
例3、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。
解: (1) f (x) =-3x2+6x+9
令 f (x) <0,解得x<-1或x>3 函数f(x)的单调递减区间为
(-∞,-1) ∪(3,+∞)
f (x) x3 3x2 9x a
y
-1 o
23
x
(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+a f(2)=-8+12+18+a=22+a
∴f(2)>f(-2) 于是有22+a=20,解得a=-2 ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2 ∴在(-1,3)上 f (x) >0,
∴f(x)在[-1,2]上单调递增
变式 1．函数 y＝x＋2cosx 在0，π2上取最大
值时，x 的值为
()
A．0
π B.6
π
π
C.3
D.2
• [答案] B
[解析] y′＝1－2sinx，令 y′＝0，解得 x＝π6. 当 x＝0 时，y＝2，当 x＝2π时，y＝2π， 当 x＝6π时，y＝6π＋ 3 ∵π6＋ 3>2>2π，∴当 x＝6π时取最大值，故应选 B.
注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大 值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数 f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．
• [例1] 求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间 [－1,2]上的最大值与最小值．
• [分析] 首先求f(x)在(－1,2)内的极值， 然后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个 是最小值．