黑龙江省鸡西市2019-2020学年中考数学一月模拟试卷含解析

黑龙江省鸡西市2019-2020学年中考数学一月模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去
1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成 一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为
A ．6cm
B ．35cm
C ．8cm
D ．53cm
2．如图,在边长为6的菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒ ,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点
E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．183π-
B ．1839π-
C ．9932
π
-
D ．1833π-
3．下列是我国四座城市的地铁标志图，其中是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，﹣1），C （﹣2，﹣1），D （﹣1，1）．以A 为对称中心作点P （0，2）的对称点P 1，以B 为对称中心作点P 1的对称点P 2，以C 为对称中心作点P 2的对称点P 3，以D 为对称中心作点P 3的对称点P 4，…，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是（ ）
A ．（2010，2）
B ．（2010，﹣2）
C ．（2012，﹣2）
D ．（0，2）
5．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ）
A ．
120180
6x x
=+ B ．
120180
6
x x =- C ．
120180
6
x x =+ D ．
120180
6x x
=- 6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（ ） A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
7．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数2
2k y x
=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜-2或x ＞2
B ．x ＜-2或0＜x ＜2
C ．-2＜x ＜0或0＜x ＜2
D ．-2＜x ＜0或x ＞2
9．2017年牡丹区政府工作报告指出：2012年以来牡丹区经济社会发展取得显著成就，综合实力明显提升，地区生产总值由156.3亿元增加到338亿元，年均可比增长11.4%，338亿用科学记数法表示为（ ） A ．3.38×107
B ．33.8×109
C ．0.338×109
D ．3.38×1010
10．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有( ) A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
11．2018的相反数是（ ） A ．
1
2018
B ．2018
C ．-2018
D ．12018
-
12．下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a 6
B ．（a 3）2＝a 5
C ．（ab 2）3＝ab 6
D ．a+2a ＝3a
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．化简3m ﹣2（m ﹣n ）的结果为_____． 14．计算：5-=____.
15．如图，在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ，BE ⊥AC ，垂足为点E ，△BDE 是等边三角形，若AD ＝4，则线段BE 的长为______．
16．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝
1
k x
(x ＞0)及y 2＝2k x (x ＞0)的图象分别交于点A ，B ，
连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1－k 2＝________.
17．规定用符号[]m 表示一个实数m 的整数部分，例如：203⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，[]3.143=．按此规定，101⎡⎤+⎣⎦的
值为________．
18．如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=__________°．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）化简：(x ＋7)(x －6)－(x －2)(x ＋1)
20．（6分）某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．篮球和排球的单价各是多少元？若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案．
21．（6分）如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于F 、G ，且G 是»AF 的中点，过点G 作DE ⊥BC ，垂足为E ，交BA 的延长线于点D （1）求证：DE 是的⊙O 切线； （2）若AB=6，BG=4，求BE 的长；
（3）若AB=6，CE=1.2，请直接写出AD 的长．
22．（8分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝10°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．
如图1，当点E在边BC上时，
求证DE＝EB；如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；如图1，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH ＝1．求CG的长．
24．（10分）（1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为；
（2）深入探究：
如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：
如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，
点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，
CN=2，试求EF的长．
25．（10分）如图，已知△ABC内接于O
e，AB是直径，OD∥AC，AD=OC．
(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；
(2)填空：①当∠B= 时，四边形OCAD是菱形；
②当∠B= 时，AD与O
e相切.
26．（12分）解不等式组：
()
3x12x
x1x
1 32
⎧-<
⎪
⎨+
-<⎪⎩
27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且»»»
AF FC CB
==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD=23，求⊙O的半径．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）1．B
【解析】
试题分析：∵从半径为9cm的圆形纸片上剪去1
3
圆周的一个扇形，
∴留下的扇形的弧长=
()
229
3
π⨯
=12π，
根据底面圆的周长等于扇形弧长，
∴圆锥的底面半径r=12
2
π
π
=6cm，
故选B.
考点: 圆锥的计算．
2．B
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴
∴阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×9π．
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．3．D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义解答即可.
【详解】
选项A不是中心对称图形；
选项B不是中心对称图形；
选项C不是中心对称图形；
选项D是中心对称图形.
故选D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的定义，熟练运用中心对称图形的定义是解决问题的关键.
4．B
【解析】
分析：根据题意，以A为对称中心作点P（0，1）的对称点P1，即A是PP1的中点，结合中点坐标公式即可求得点P1的坐标；同理可求得其它各点的坐标，分析可得规律，进而可得答案．
详解：根据题意，以A为对称中心作点P（0，1）的对称点P1，即A是PP1的中点，
又∵A的坐标是（1，1），
结合中点坐标公式可得P1的坐标是（1，0）；
同理P1的坐标是（1，﹣1），记P1（a1，b1），其中a1=1，b1=﹣1．
根据对称关系，依次可以求得：
P3（﹣4﹣a1，﹣1﹣b1），P4（1+a1，4+b1），P5（﹣a1，﹣1﹣b1），P6（4+a1，b1），
令P6（a6，b1），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b1），即P10（4×1+a1，b1），
∵1010=4×501+1，
∴点P1010的坐标是（1010，﹣1），
故选：B．
点睛：本题考查了对称的性质，坐标与图形的变化---旋转，根据条件求出前边几个点的坐标，得到规律是解题关键．
5．C
【解析】
【详解】
解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，
可列方程得120180
6
x x
=
+
，
故选C．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．6．C
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余即可解决问题.
【详解】
解：∵直角三角形两锐角互余，
∴另一个锐角的度数=90°﹣45°=45°，
故选C．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，记住直角三角形两锐角互余是解题的关键．7．B
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴AE AG BF BE
，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
8．D
【解析】
【分析】
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A 、B 两点关于原点对称，
∵点A 的横坐标为1，∴点B 的横坐标为-1，
∵由函数图象可知，当-1＜x ＜0或x ＞1时函数y 1=k 1x 的图象在2
2k y x
=的上方， ∴当y 1＞y 1时，x 的取值范围是-1＜x ＜0或x ＞1． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y 1＞y 1时x 的取值范围是解答此题的关键． 9．D 【解析】 【分析】
根据科学记数法的定义可得到答案． 【详解】
338亿=33800000000=103.3810⨯， 故选D. 【点睛】
把一个大于10或者小于1的数表示为10n
a ⨯的形式,其中1≤|a|<10,这种记数法叫做科学记数法. 10．B 【解析】 【分析】
首先设毽子能买x 个，跳绳能买y 根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解. 【详解】
解：设毽子能买x 个，跳绳能买y 根，根据题意可得： 3x+5y=35， y=7-35
x ， ∵x 、y 都是正整数， ∴x=5时，y=4； x=10时，y=1； ∴购买方案有2种． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.
11．C
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.
【详解】2018与-2018只有符号不同，
由相反数的定义可得2018的相反数是-2018，
故选C.
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
12．D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方及合并同类项的运算法则进行计算即可得出正确答案．
【详解】
解：A．x4•x4=x4+4=x8≠x16,故该选项错误；
B．（a3）2=a3×2=a6≠a5，故该选项错误；
C．（ab2）3=a3b6≠ab6，故该选项错误；
D．a+2a=（1+2）a=3a，故该选项正确；
故选D．
考点：1．同底数幂的乘法；2．积的乘方与幂的乘方；3．合并同类项．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．m+2n
【解析】分析：先去括号，再合并同类项即可得．
详解：原式=3m-2m+2n=m+2n，
故答案为：m+2n．
点睛：本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号与合并同类项的法则．
14．5.
【解析】
试题分析：根据绝对值意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0，所以-5的绝对值是5.故答案为5.
考点：绝对值计算.
15．1
【解析】
【分析】
本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到∠DBE=60°，∠BEC=90°，再根据等腰三角形的性质可以得出∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，最后根据三角形内角和定理得出关系式∠C-60°+∠C=90°解出∠C，推出
AD=DE ，于是得到结论．
【详解】
∵△BDE 是正三角形，
∴∠DBE=60°；
∵在△ABC 中，∠C=∠ABC ，BE ⊥AC ，
∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC ，则∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，∠BEC=90°；
∴∠EBC+∠C=90°，即∠C-60°+∠C=90°，
解得∠C=75°，
∴∠ABC=75°，
∴∠A=30°，
∵∠AED=90°-∠DEB=30°，
∴∠A=∠AED ，
∴DE=AD=1，
∴BE=DE=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意的简易方程，从而求出结果．
16．2
【解析】
【详解】 试题分析：∵反比例函数11k y x
=
（x ＞1）及22k y x =（x ＞1）的图象均在第一象限内， ∴1k ＞1，2k ＞1． ∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP =
112
k ，S △OBP =212k ， ∴S △OAB =S △OAP ﹣S △OBP =121()2k k -=2， 解得：12k k -=2．
故答案为2．
17．4
【解析】
【分析】
1的整数部分即可.
【详解】
∵10
4<+1<5
3<<4，∴10
∴整数部分为4.
【点睛】
本题考查无理数的估值，熟记方法是关键.
18．1．
【解析】
【分析】
连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，则利用互余计算出∠D＝1°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．
【详解】
连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝1°，
∴∠ACB＝∠D＝1°．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．2x－40.
【解析】
【分析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可.
【详解】
解：原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40.
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）篮球每个50元，排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9，排球11个；③购买篮球2个，排球2个；方案①最省钱
【解析】
试题分析：（1）设篮球每个x 元，排球每个y 元，根据费用可得等量关系为：购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同，列方程求解即可；
（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过1元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解． 试题解析：解：（1）设篮球每个x 元，排球每个y 元，依题意，得：
2319035x y x y +=⎧⎨=⎩
解得5030
x y =⎧⎨=⎩：． 答：篮球每个50元，排球每个30元．
（2）设购买篮球m 个，则购买排球（20-m ）个，依题意，得：
50m+30（20-m ）≤1．
解得：m≤2．
又∵m≥8，∴8≤m≤2．
∵篮球的个数必须为整数，∴m 只能取8、9、2．
∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9，排球11个，费用为780元；③购买篮球2个，排球2个，费用为1元．
以上三个方案中，方案①最省钱．
点睛：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解答本题的关键．
21．（1）证明见解析；（1）83
；（3）1. 【解析】
【分析】
（1）要证明DE 是的⊙O 切线，证明OG ⊥DE 即可；
（1）先证明△GBA ∽△EBG ，即可得出AB BG =BG BE
,根据已知条件即可求出BE ； （3）先证明△AGB ≌△CGB ，得出BC=AB=6，BE=4.8再根据OG ∥BE 得出
OG BE =DO DB
，即可计算出AD.
【详解】
证明：（1）如图，连接OG ，GB ，
∵G是弧AF的中点，
∴∠GBF=∠GBA，
∵OB=OG，
∴∠OBG=∠OGB，
∴∠GBF=∠OGB，
∴OG∥BC，
∴∠OGD=∠GEB，
∵DE⊥CB，
∴∠GEB=90°，
∴∠OGD=90°，
即OG⊥DE且G为半径外端，
∴DE为⊙O切线；
（1）∵AB为⊙O直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠AGB=∠GEB，且∠GBA=∠GBE，∴△GBA∽△EBG，
∴AB BG BG BE
=，
∴
22
48
63
BG
BE
AB
===；
（3）AD=1，根据SAS可知△AGB≌△CGB，则BC=AB=6，
∴BE=4.8，
∵OG∥BE，
∴OG DO
BE DB
=，即
33
4.86
DA
DA
+
=
+
，
解得：AD=1．
【点睛】
本题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质.
22．（1）10300y x =-+（830x ≤<）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚.
【解析】
【分析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x 的取值范围；
（2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可求得；
（3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得.
【详解】（1）设 y kx b =+，将点（10，200）、（15，150）分别代入，
则1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300
k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴10300y x =-+，
∵蜜柚销售不会亏本，∴x 8≥，
又0y >，∴103000x -+≥ ，∴30x ≤，
∴ 830x ≤≤ ；
（2） 设利润为w 元，
则 ()()810300w x x =--+
=2103802400x x -+-
=2210(19)1210x x --+，
∴ 当19x = 时， w 最大为1210，
∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元；
(3) 当19x = 时，110y =，
110×40=4400＜4800，
∴不能销售完这批蜜柚.
【点睛】 本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.
23．（1）证明见解析；（2）ED=EB ，证明见解析；（1）CG=2．
【解析】
【分析】
(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°，从而得出∠EDB=10°，从而得出DE=BE ；
(2)、取AB 的中点O ，连接CO 、EO ，根据△ACO 和△CDE 为等边三角形，从而得出△ACD 和△OCE 全等，然后得出△COE 和△BOE 全等，从而得出答案；
(1)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO 全等，设CG=a，则AG=5a，OD=a，根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案．
【详解】
(1)∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED=60°，
∴∠EDB=60°﹣∠B=10°，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=EB；
(2) ED=EB，理由如下：
取AB的中点O，连接CO、EO，
∵∠ACB=90°，∠ABC=10°，
∴∠A=60°，OC=OA，
∴△ACO为等边三角形，
∴CA=CO，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ACD=∠OCE，
∴△ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60°，
∴∠BOE=60°，
∴△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB；
(1)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，由（2）得△ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60°，
∴∠BOE=60°，△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB，
∵EH⊥AB，
∴DH=BH=1，
∵GE∥AB，
∴∠G=180°﹣∠A=120°，
∴△CEG≌△DCO，
∴CG=OD，
设CG=a ，则AG=5a ，OD=a ，
∴AC=OC=4a ，
∵OC=OB ，
∴4a=a+1+1，
解得，a=2，
即CG=2．
24．（1）NC ∥AB ；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN ；理由见解析；（3）241； 【解析】
【分析】
（1）根据△ABC ，△AMN 为等边三角形，得到AB=AC ，AM=AN 且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM ，即∠BAM=∠CAN ，证明△BAM ≌△CAN ，即可得到BM=CN ． （2）根据△ABC ，△AMN 为等腰三角形，得到AB ：BC=1：1且∠ABC=∠AMN ，根据相似三角形的性质得到AB AC AM AN
＝，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN ，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）如图3，连接AB ，AN ，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出
BM AB CN AC ＝，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案． 【详解】
（1）NC ∥AB ，理由如下：
∵△ABC 与△MN 是等边三角形，
∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN =60°，
∴∠BAM=∠CAN ，
在△ABM 与△ACN 中，
AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABM ≌△ACN （SAS ），
∴∠B=∠ACN=60°，
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，
∴CN ∥AB ；
（2）∠ABC=∠ACN ，理由如下： ∵AB AM BC MN
==1且∠ABC=∠AMN ， ∴△ABC ～△AMN ∴AB AC AM AN
＝， ∵AB=BC ， ∴∠BAC=12
（180°﹣∠ABC ）， ∵AM=MN ∴∠MAN=
12（180°﹣∠AMN ）， ∵∠ABC=∠AMN ，
∴∠BAC=∠MAN ，
∴∠BAM=∠CAN ，
∴△ABM ～△ACN ，
∴∠ABC=∠ACN ；
（3）如图3，连接AB ，AN ，
∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC ﹣∠MAC=∠MAN ﹣∠MAC
即∠BAM=∠CAN ，
∵
AB AM BC AN
== ∴AB AC AM AN ＝， ∴△ABM ～△ACN ∴BM AB CN AC
＝，
∴CN AC BM AB ==cos45°=2
，
∴
2BM =， ∴BM=2，
∴CM=BC ﹣BM=8，
在Rt △AMC ，
=
∴EF=AM=241．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）① 30°，② 45°
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件求得∠OAC=∠OCA ，∠AOD=∠ADO ，然后根据三角形内角和定理得出∠AOC=∠OAD ，从而证得OC ∥AD ，即可证得结论；
（2）①若四边形OCAD 是菱形，则OC=AC ，从而证得OC=OA=AC ，得出∠60AOC ∠=o ，即可求得1302
B AO
C ∠=∠=o ； ②A
D 与O e 相切，根据切线的性质得出90OAD ∠=o ，根据AD ∥OC ，内错角相等得出90AOC ∠=o ，从而求得145.2
B AO
C ∠=∠=o 试题解析：(方法不唯一)
(1)∵OA=OC ，AD=OC ，
∴OA=AD ，
∴∠OAC=∠OCA ，∠AOD=∠ADO ，
∵OD ∥AC ，
∴∠OAC=∠AOD ，
∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO ，
∴∠AOC=∠OAD ，
∴OC ∥AD ，
∴四边形OCAD 是平行四边形；
(2)①∵四边形OCAD 是菱形，
∴OC=AC ，
又∵OC=OA ，
∴OC=OA=AC ，
∴60
AOC
∠=o，
∴
1
30
2
B AOC
∠=∠=o；
故答案为30.o
②∵AD与O
e相切，∴90
OAD
∠=o，
∵AD∥OC，
∴90
AOC
∠=o，
∴
1
45.
2
B AOC
∠=∠=o
故答案为45.o
26．﹣9＜x＜1．
【解析】
【分析】
先求每一个不等式的解集，然后找出它们的公共部分，即可得出答案．
【详解】
解不等式1（x﹣1）＜2x，得：x＜1，
解不等式﹣＜1，得：x＞﹣9，
则原不等式组的解集为﹣9＜x＜1．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，用到的知识点是解一元一次不等式组的步骤，关键是找出两个不等式解集的公共部分．
27．(2)1
【解析】
试题分析：（1）连结OC，由»FC=»BC，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则
∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由»AF=»FC=»BC,得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以
∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30°的直角三角形三边的关系得3Rt△ACB中，
利用含30°的直角三角形三边的关系得3
，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为1．
试题解析：（1）证明：连结OC，如图，
∵»FC=»BC
∴∠FAC=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC=∠OCA
∴OC∥AF
∵CD⊥AF
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线（2）解：连结BC，如图∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵»AF=»FC=»BC
∴∠BOC=1
3
×180°=60°
∴∠BAC=30°
∴∠DAC=30°
在Rt△ADC中，CD=23∴AC=2CD=13
在Rt△ACB中，BC=3
AC=
3
×13=1
∴AB=2BC=8
∴⊙O的半径为1.
考点：圆周角定理, 切线的判定定理，30°的直角三角形三边的关系。