【压轴题】高中三年级数学下期末模拟试卷(附答案)(2)

B．-1-i
C．1+i
D．-1+i
7．已知 a 与 b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 a 3b 等于（ ）
A． 7
B． 10
C． 13
D．4
8．函数 f (x) sin(2x ) 的图象与函数 g(x) 的图象关于直线 x 对称，则关于函数
2
8
y g(x) 以下说法正确的是（ ）
A．最大值为 1，图象关于直线 x 对称 2
C．在
3 8
,
8
上单调递增，为偶函数
B．在
0,
4
上单调递减，为奇函数
D．周期为
，图象关于点
3 8
,
0
对称
9．已知复数
，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．已知 a R ，则“ a 0 ”是“ f (x) x2 ax 是偶函数”的（ ）
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出函数 y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】
设点 P(x,y)是函数 y g x 图像上的任意一点，则点 Q ( x , y) 在函数 y=f(x)的图像
4
上，
y sin[2(-x+ ) ] sin 2x g(x) ， 42
2．A
解析：A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 BE 1 BA 1 BC ，之 22
后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 BC BA AC ，之后将其合并，得到
BE 3 BA 1 AC ，下一步应用相反向量，求得 EB 3 AB 1 AC ，从而求得结果.
l3 : cos sin 2 0 ，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径.
26．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1， 2 ， 3 ，这三张卡片除标记的数字外完 全相同．随机有放回地抽取 3 次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a ， b ， c. （Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足 a b c ”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字 a ， b ， c 不完全相同”的概率.
对于选项 C,由前面分析得函数 y=g(x)的增区间为[k + , k 3 ](k Z ) ,且函数 y=g(x)
4
4
不是偶函数，故该选项是错误；
对于选项 D,函数的周期为 ，解 2x k , x k , 所以函数图像的对称中心为 2
（k ,0)(k Z) ,所以该选项是错误的. 2
故选：B 【点睛】
44
44
详解：根据向量的运算法则，可得
BE 1 BA 1 BD 1 BA 1 BC 1 BA 1 BA AC
22
24
24
1 BA 1 BA 1 AC 3 BA 1 AC ，
244
44
所以 EB 3 AB 1 AC ，故选 A. 44
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线
y 0
16．如图所示，平面 BCC1B1⊥平面 ABC，ABC＝120，四边形 BCC1B1 为正方形，且 AB＝BC ＝2，则异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值为_____．
17． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b 2 ， c 3， C 2B ，则 ABC 的面积为______．
【压轴题】高中三年级数学下期末模拟试卷(附答案)(2)
一、选择题 1．函数 f (x) ln | x | 的大致图象是（ ）
ex
A．
B．
C．
D．
2．在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB
A． 3 AB 1 AC 44
B． 1 AB 3 AC 44
C． 3 AB 1 AC 44
【详解】
∵复数
z
满足
2i z
1i
，∴
z
2i 1i
2i 1 i 1 i1 i
i
1，
∴复数 z 的共轭复数等于 1 i ，故选 B. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
7．A
解析：A 【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
=
= ，所以应选 A．
D． 1 AB 3 AC 44
3．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数 m，n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 落在圆
x2 y2 9 内的概率为（ ）
A． 5 36
B． 2 9
C． 1 6
D． 1 9
4．设 0 p 1 ，随机变量 的分布列如图，则当 p 在 0,1 内增大时，（ ）
0
1
2
1 p
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件 B 为“落地时向上的
点数是偶数”，事件 C 为“落地时向上的点数是 3 的倍数”，事件 D 为“落地时向上的点
数是 6 或 4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
【点睛】
n
n
n
E( ) xi pi , D( ) (xi E( ))2 pi xi2 pi E2 ( ).
i 1
i 1
i 1
5．C
解析：C 【解析】
由算法流程图知 s＝0＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 11 .选 C. 2 4 6 12
6．B
解析：B 【解析】
【分析】
利用复数的运算法则解得 z 1 i ，结合共轭复数的概念即可得结果.
1
p
P
2
2
2
A． D 减小
B． D 增大
C． D 先减小后增大
D． D 先增大后减小
5．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
A． 3 4
B． 1 6
C． 11 12
D． 25 24
6．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 2i 1 i ，则复数 z 的共轭复数等于（ ） z
A．1-i
11．C
解析：C 【解析】 分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解：在 A 中，A 与 B 是对立事件，故不正确；
在 B 中，B 与 C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确； 在 C 中，A 与 D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是 对立事件，所以是正确的； 在 D 中，C 与 D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选 C. 点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件 与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.
（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 (5, 3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ， B ，求 MA MB 的值.
22．已知函数 f (x) ax x 2 (a 1) ． x 1
（1）证明：函数 f (x) 在 (1, ) 上为增函数； （2）用反证法证明： f (x) 0 没有负数根．
其中正确结论的序号是______．
x 2y 2 0
20．若
x
，
y
满足约束条件
x
y
1
0
，则 z 3x 2y 的最大值为_____________．
y 0
三、解答题
x 5 3t
21．已知直线 l :{
2 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建
y 31t
2
立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos .
18．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，| a |=2，| b |=1，则| a +2 b |= ______ . 19．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E, F ，且
EF 2 ，现有如下四个结论： 2
①AC BE ； ②EF / / 平面 ABCD； ③ 三棱锥 A BEF 的体积为定值； ④ 异面直线 AE, BF 所成的角为定值，
对于选项 A,函数 y=g(x)的最大值为 1，但是 g( ) 0 1 ，所以图象不关于直线 x 对
2
2
称，所以该选项是错误的；
对于选项 B, g(x) g(x) ，所以函数 g(x)是奇函数，解 2k 2x 2k + 得
2
2
k
4
x
k
+
4
，（k
Z
)
,所以函数在
0,
4
上单调递减，所以该选项是正确的；
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一、选择题
1．A 解析：A 【解析】
【分析】 由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】
解：由
f
x
=
ln e
x
x
，得 f 1=0 ， f 1=0
又
f
e
=
1 ee
0
，
f
e
=
1 ee
0
结合选项中图像，可直接排除 B，C，D
故选 A
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
【分析】
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】
E( ) 0 1 p 1 1 2 p p 1 ，
2
22
2
D( ) 1 p (0 p 1)2 1 (1 p 1)2 p (2 p 1)2 p2 p 1 ，
2
22
22
2
4
1 (0,1) ，∴ D( ) 先增后减，因此选 D. 2
是___________.
a x 1 , x)2
，函数 g(x) 2 f (x) ，若函数 y f (x) g(x) x 1
恰有 4 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为______．
2x y 4 15．已知实数 x ， y 满足 x 2 y 4 ，则 z 3x 2y 的最小值是__________．
餐，你会选择哪款？
25．
x 2+t,
在直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
y
kt,
（t 为参数），直线 l2 的参数方程为
x 2 m,
m
（m为参数）.设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C．
y k ,
（1）写出 C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
统计，得到频率分布直方图如下：
(1)已知抽取的 100 个使用 A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为 18 分 钟，现从使用 A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分钟的商家中随机抽取 3
个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；
(2)试估计该市使用 A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事 件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出 现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．， 【详解】 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件， 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对 立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选 B． 【点睛】 本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和 为 1 的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题．
A． A 与 B
B． B 与 C
C． A 与 D
D． C 与 D
12．把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人分得一张，事件
“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
A．对立事件
B．互斥但不对立事件
C．不可能事件
D．以上都不对
二、填空题
13．若双曲线 x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0 两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程
23．如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， AB AD 2 ， CA CB CD BD 2. （1）求证： AO 平面 BCD；
（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值； （3）求点 E 到平面 ACD 的距离．
24．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷，现从某市使用 A 和 B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间”进行
本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．A
解析：A
【解析】
10．C
解析：C 【解析】
在复平面内对应的点 坐标为
在第一象限，故选 A.
因为 f x x2 ax 是偶函数，所以 f (x) x2 ax f (x) x2 ax 2ax 0 所以 a 0 .所以“ a 0 ”是“ f x x2 ax 是偶函数”的充要条件.故选 C.
向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，
需要认真对待每一步运算.
3．D
解析：D
【解析】
掷骰子共有 36 个结果,而落在圆 x2+y2=9 内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这 4 种,
∴P= 4 1 . 36 9
故选 D
4．D
解析：D 【解析】