ch2_4DFT分析信号频谱

N 1/(Δf T ) fsam / Δf 30
f1=100;f2=120;fs=600;T=1/fs; N=30;L=512; t=(0:N-1)*T; x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); X=fftshift(fft(T*x,L)); w=(-fs/2+(0:L-1)*fs/L); plot(w,abs(X)); ylabel('幅度谱');xlabel('Hz'); %A=axis;axis([80 150 A(3:4)]);grid;
1)所取信号的长度Tp 不变，提高抽样频率
由于N也随之加大，故不能减小Dfc
2)对信号补零，抽样率不变
x[k] 0 k N 1
xL[k]


0
N k L 1
DFT分析信号频谱
例：
x(t)=cos(2pf1t)+0.15cos(2pf2t), f1=100Hz，f2=120Hz, fsam=600Hz ,N=30。
W m N
k 0
DFT分析信号频谱
连续信号x(t)的频谱X(jw)与DFT的关系
记： wsam 2π / T
X~wsam (w ) X ( j(w kwsam )) k
则可得
DFT{x~N[k]RN[k]}
X[m]
1 T
~ Xwsa
(wsamm
mN
)
DFT分析信号频谱
X[m]与X(jw)的对应关系
1
近似值
理论值
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
w(rad/s)
例: 已知x(t)=Sa(p t), 用DFT求近似谱( 谱的理论值X(f)=p1(f ) )
解：
x(t)
Tp 2
x[k] Sa (πTk)
t Tp 2
M kM
对连续信号谱的分辩率为 Δf w ΔW w 2 Hz
2πT Tp
例：已知一连续信号为 x(t)=cos(2pf1t)+0.15cos(2pf2t), f1=100Hz，f2=150Hz
若以抽样频率fsam=600Hz对该信号进行抽样，试由DFT 分析其频谱。
幅度谱
矩形窗
20
20
N=25
幅度谱
2π DFT分析信π 号频谱
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
2. 泄漏现象：选择合适的窗函数 窗函数： 矩形窗
1 0 k N 1 w[k ] 0 其他
1
0.8
时域波形 0.6 0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
DFT分析信号频谱
矩形窗频域主要特性
主瓣
WN (e jW )
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散傅里叶变换(DFT)
问题的提出 有限长序列的傅里叶分析 离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
利用DFT分析信号频谱
利用DFT分析连续非周期信号频谱 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 DFT参数选取
0
w wm 0 wm
w
2p
0
2p W
DFT分析信号频谱
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
2. 泄漏现象：选择合适的窗函数
x[k ] Tp=NT
0123
N 1
k
加窗后的有限序列可表示为：
xN [k ] x[k ]w[k ]
加窗后序列xN[k]的频谱为：
X N (e jW ) 1 π X (e j )W (e j( W )d
抽样点数为2M+1，现用N=2M点DFT求其谱
Tx[k ],
x1
[
k
]


2Tx[
M
],
Tx[k N ] ,
0 k M 1 kM
M 1 k 2M 1
N=128;%DFT点数; Fs=2;%抽样频率(Hz) M=N/2;Ts=1/Fs;Tp=2*M*Ts; %draw the theoretical spectum plot([-1 -0.5 -0.5 0.5 0.5 1],[0 0 1 1 0 0]); hold on;xlabel('Hz'); %compute the sampling points x1=sinc((0:M)*Ts); x1(M+1)=2*x1(M+1); x2=sinc( (-M+1:-1)*Ts ); x=[x1 x2]; %compute the spectrum by DFT X=fftshift(Ts*real(fft(x))); w=-Fs/2+(0:N-1)*Fs/N; plot(w,X,'r'); %axis([-1 1 -0.1 2.1]); hold off;ylabel('幅度');legend('理论值','近似值'); title('Sa(\pit)的谱');
频率泄漏
w
w0
0
w0
例：已知一连续信号为 x(t)=cos(2pf1t)+cos(2pf2t), f1=100Hz，f2=120Hz
若以抽样频率fsam=600Hz 对该信号进行抽样，试估计由DFT 分析其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。
解： 要求频谱分辨率为
Δf f 2 f1 20Hz
N N DFT分析信号频谱
w w sam
例：N=6时，X[m]与X(jw)的对应关系
X[m]={X[0] X[1] X[2] X[3] X[4] X[5]}
X[m]对应的X(jw)的频率点为
X(j0) X(jwsam/6) X(j2wsam/6) X(j3wsam/6) X(j2wsam/6) X(jwsam/6)
xN [k] x[k] wN [k]
X N (e jW ) 0.5 [WN (W W0 ) WN (W W0 )]
x(t) 抽样 x[k]
(p)
w0
加窗 xN [k] DFT
X ( jw)
(p)
X [m]
w
0
w0
X 32 ( jw)
频率泄漏
w
w0
0
w0
X 64 ( jw)
若将X[m]重新排为
X1[m]={ X[3] X[4] X[5] X[0] X[1]
则X1[m]对应的X(jw)的频率点为
X[2] }
X(j3wsam/6) X(j2wsam/6) X(jwsam/6) X(j0) X(jwsam/6) X(j2wsam/6)
重排后的X1[m]与连续信号频谱的对应关系
-200
-100
0
100
频率(Hz)
200
300
8
6
信号样点数
4
N=20
2
0 -300
-200
-100
0
100
频率(Hz)
200
300
幅度谱
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
2. 泄漏现象：选择合适的窗函数
窗函数 哈明窗（Hamming）
0.54 0.46cos( 2πk / N ) 0 k N 1
20
ù·È¶ Æ×
10
0 -300
20
-200
-100 Æ µ
0
100
Â Ê (Hz)
L=32
200 300
幅度谱
10
0 -30 0 -20 0
-10 0
0
10 0
频率(Hz)
L=256
20 0
30 0
思考题
在利用DFT分析连续非周期信号频谱过程中， (1) 如果由于截短信号造成泄漏而导致频谱分辨率
10
10
矩形窗 N=50
幅度谱
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
频率(Hz)
海明窗
20
N=25
10
0 -300 -200 -100 0
100 200 300
频率(Hz)
幅度谱
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
频率(Hz)
海明窗
20
N=50
10
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
w[k ] 0
其他
w[k]
1
0.08 012
哈明DFT窗分析的信时号频域谱波形
N-1 k
Hamming窗的幅度频谱
¹þ ÷à °´
W (e jW ) ¾Ø ÐÎ ´°
-p
4p 0 4p
N
N
pW
Hamming窗频域主要特性
窗函数主瓣有效宽度为
ΔW w 4π / N
旁瓣的相对衰减为 40dB。
wsam m wsam ;m 0,1,, N 1
2
N
fftshift(X)函数能完成序列的重排。
DFT分析信号频谱
例: 利用DFT近似计算x(t)=etu(t)的幅度频谱并和理论值比较。
解：取 fsam=16Hz，N=256
%compute the spectrum of f(t)=exp(-t)u(t) fs=16;N=256;T=1/fs;ws=2*pi*fs; t=(0:N-1)*T; x=T*exp(-t); X=fftshift(fft(x)); w=-ws/2+(0:N-1)*ws/N; wt=linspace(-ws/2,ws/2,1001); FT=1./sqrt(1+wt.*wt); plot(w,abs(X),wt,FT); legend('近似值','理论值'); %axis([-50 50 0 1.1]);
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
3. 栅栏现象：序列后补零
设 x[k] 是对连续信号抽样获得的一段数据，则N点
DFT的两个相邻点对应的连续信号的谱线间隔为
Δf c f sam Hz N
DFT分析信号频谱
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
3. 栅栏现象：序列后补零
Δf c f sam Hz N
问题：为了显示出更多的频谱细节，如何减小 Dfc
抽样
x(t)
x[k]
加窗 xN [k] DFT
X [m]
x(t) cos(w0t), t
X ( jw) π[ (w w0 ) (w w0 )]
x[k] cos(w0kT) cos(W0k), k
X (e jW ) π [ 2p (W W0 ) 2p (W W0 )]
频率(Hz)
f1=100;f2=150;fs=600; N=50; T=1/fs;ws=2*pi*fs;L=512; t=(0:N-1)*T; f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t); wh=(hamming(N))'; f=f.*wh; F=fftshift(fft(f,L)); w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); plot(w,abs(F)); ylabel('幅度谱'); %A=axis;axis([50 200 A(3:4)]);grid;
X(jw)
~ X wsam
(w )
wsam
/
N
w
-wsam/2
wsam/2
wsam
当0 m N/21, X[m]对应于 X( jw)在
2
w mw sam 的抽样值
N
在 N / 2 m N 1 , X[m] 对应于
w mwsam wsam wsam (m N )
下降，可否通过在截短后序列补零得到改善？ (2) 既然频谱分辨率与信号采集时间成反比，是否
意味着在实际中频谱分辨率可以很容易实现？ (3) 如何合理选择窗函数？
幅度
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2
-1
Sa(pt)的谱
理论值 近似值
-0.5
0
0栏现象
1. 混叠现象：减小抽样间隔T，抗混滤波
x(t)
抗混滤波 抽样间隔T
x0 (t )
抽样
x0[k] DFT X [m]
X ( jw) A
X0 ( jw) A
X 0(e jW ) A
DFT分析信号频谱
连续信号x(t)的频谱X(jw)与DFT的关系
连续信号频谱X(jw)与离散信号频谱X(ejW)的关系
X (e jW ) 1 X ( j( W 2πk ))
Tk
T
X(ejW)与DFT的关系
X (ejW) 2π DFT(~xN [k]RN [k]) N 1 ~xN [k]WNmk
例：已知一连续信号为 x(t)=cos(2pf1t)+cos(2pf2t), f1=100Hz，f2=120Hz
若以抽样频率fsam=600Hz 对该信号进行抽样，试估计由DFT 分析其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。
幅度谱
20
15
加矩形窗
10
信号样点数
5
N=30
0 -300
10
N
旁瓣
旁瓣
p
2p
0 2p
4p
p
W
N
N
N
定义矩形窗主瓣有效宽度为 ΔW w 2π / N
旁瓣的相对衰减为 13.5dB。
对连续信号谱的分辩率为 Δf w ΔW w 2π 1 Hz
2πT 2πTN Tp
例：为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响，
现分析一无穷长的余弦信号的频谱。