第22章 达朗贝尔原理

B D a FD
y x FI A FAy
FD = m( g cos 30 a sin 30 )
= 39.48 N
mg FAx
∑ Fx =Fx =FAx + FI + FID+ FD30 = 0 = 0 0 0 FAx + F sin sin 30
FAx = 619.74 N
他一生对力学也作了大量研究。 他一生对力学也作了大量研究。达朗 贝尔是十八世纪为牛顿力学体系的建 立作出卓越贡献的科学家之一。 立作出卓越贡献的科学家之一。
《动力学》是达朗贝尔最伟大的物理学著 动力学》 在这部书里，他提出了三大运动定律， 作。在这部书里，他提出了三大运动定律， 第一运动定律是给出几何证明的惯性定律； 第一运动定律是给出几何证明的惯性定律； 第二定律是力的分析的平行四边形法则的 数学证明； 数学证明；第三定律是用动量守恒来表示 的平衡定律。书中还提出了达朗贝尔原理， 的平衡定律。书中还提出了达朗贝尔原理， 它与牛顿第二定律相似， 它与牛顿第二定律相似，但它的发展在于 可以把动力学问题转化为静力学问题处理， 可以把动力学问题转化为静力学问题处理， 还可以用平面静力的方法分析刚体的平面 运动， 运动，这一原理使一些力学问题的分析简 单化，而且为分析力学的创立打下了基础。 单化，而且为分析力学的创立打下了基础。
Fi + FNi + Fgi = 0
(i = 1，....n) 2
即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 质点系中每个质点上作用的主动力、 质点系中每个质点上作用的主动力 它的惯性力在形式上组成平衡力系。 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理。
把作用在第i个质点上的所有力分为外 把作用在第 个质点上的所有力分为外 (e) (i) 力为F 内力为F 力为 i , 内力为 i ，则有
ω
r O
M
θ
α
解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力如图。 以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象 受力如图。 钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 其加速度为 aτ = 0
a n = rω 2 FI = mrω 2
FI M F
惯性力F 惯性力 I的大小为 假想地加上惯性力
MIO O
由于FIin 通过O点, 则有 ΣMO( FIin )= 0
ω α
ri i FIit FIin
M IIO = ∑ M O ( FIitt ) = ∑i FIitit ri MO M O ( Ii Ii ) = I FI ri O = ∑ i α = mr = ∑(mriααri = ∑(∑i i 2 )α α ) α
二、
质点系的达朗贝尔原理
个质点组成, 其中任一质点i的质 设质点系由 n 个质点组成 其中任一质点 的质 量为m 其加速度为a 把作用在此质点上的力分为 量为 i, 其加速度为 i, 把作用在此质点上的力分为 主动力F 约束力为F 主动力 i、约束力为 Ni，对这个质点上假想地加上 它的惯性力F 则由质点的达朗贝尔原理, 它的惯性力 gi＝-miai , 则由质点的达朗贝尔原理 有
第22章 达朗贝尔原理 (动静法）
前面介绍的动力学普遍定理, 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决质点系动力学问题提供了另 一种新的普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的问题, 因此这种方法又叫动静法。由于静力 学研究平衡问题的方法比较简单, 也容易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
达朗贝尔(1717-1783)是法国著名的物 达朗贝尔(1717-1783)是法国著名的物 (1717 理学家、数学家和天文学家， 理学家、数学家和天文学家，一生研 究了大量课题， 究了大量课题，完成了涉及多个科学 领域的论文和专著. 领域的论文和专著. 达朗贝尔的科学成就: 达朗贝尔的科学成就: 数学是达朗贝尔研究的主要课题， 数学是达朗贝尔研究的主要课题， 他是数学分析的主要开拓者和奠 基人。 基人。 达朗贝尔为极限作了较好的定义， 达朗贝尔为极限作了较好的定义， 但他没有把这种表达公式化。 但他没有把这种表达公式化。但 他是当时几乎唯一一位把微分看 成是函数极限的数学家。 成是函数极限的数学家。
1. 刚体作平移 1 刚体平移时，刚体内任一质 点i的加速度ai 与质心的加速 度aC相同，有ai ＝ aC，任选 一点O为简化中心，主矩用 MgO表示，有 FI1 rC O C a1 aC i FIi ai
M gOO = ∑ ri × Fgii = ∑ r i × ( mi ai ) = ( M F
Frii F i r × r mi ami ai ( ∑ mi m)ri a CaC = mmrC × aC ( ri i × × = rC × a C i) =
mi ri ) a
若选质心C为简化中心，主矩以MgC 表示，则rC＝0，有 1 向质心 简化： 简化：
a1 aC Fgi i ai
∑
O
Fi ( e ) + ∑ Fi ( i ) + ∑ Fgi = 0
(e) i
∑M (F
) + ∑MO(Fi ) + ∑MO(Fgi) = 0
(i)
∑
Fi (e) + ∑ Fi (i ) + ∑ Fgi = 0
(e) i
∑M (F
O
) + ∑MO(Fi ) + ∑MO(Fgi) = 0
(i)
因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共 线, 因此有ΣFi(i) = 0和ΣMO(Fi(i)) = 0, 于是的有
达朗贝尔在天文学上的另 一个主要研究是关于地球 形状和自传的理论。 形状和自传的理论。达朗 贝尔发现了流体自转时平 衡形式的一般结果， 衡形式的一般结果，1749 年，达朗贝尔发表了关于 春分点、 春分点、岁差和章动的论 文，为天体力学的形成和 发展奠定了基础。 发展奠定了基础
§22-1 惯性力的概念
B l D 30° A
h＝1m a
解：以杆为研究对象, 受力如图。 以杆为研究对象 受力如图。
B
杆作平移
l D 30°
FIR = mac = ma = 600 N
∑ M A (F ) = 0 l l l l l l mg cos 30 FD FI sin 30 = 0 2 2 2
h＝1m a
A
M IC = 0
FgR
Fg1 rC O
C
F IR = maC
平移刚体的惯性力系可以简化为 通过质心的合力, 其大小等于刚 体的质量与加速度的乘积,合力 的方向与加速度方向相反。
2. 刚体定轴转动 具有质量对称面且绕垂直于质量 对称面的轴转动的刚体。 其上任一点的惯性力的分量的 大小为
n Ii n i i
F + FN + FI = 0
注：（1) 惯性力不是一个真实的力 ：（1) 惯性力只是一个工具
Fg = ma
(2)质点并非处于平衡状态 ， 这样做 质点并非处于平衡状态， 质点并非处于平衡状态 的目的是将动力学问题转化为静力学问 题求解。 题求解。
绕水平轴O 例 球磨机的滚筒以匀角速度ω 绕水平轴 转动, 内装钢球和需要粉碎的物料, 转动 内装钢球和需要粉碎的物料 钢球被筒 壁带到一定高度脱离筒壁, 壁带到一定高度脱离筒壁 然后沿抛物线轨 迹自由落下, 从而击碎物料, 如图。 迹自由落下 从而击碎物料 如图。设滚筒内 壁半径为r, 试用动静法 动静法求钢球的脱离角 壁半径为 试用动静法求钢球的脱离角α。
θ
FN
F : : + + cos I F ∑ Fn =n0= 0FN FNmgmg cos θF = I0= 0
rω 2 FN = mg ( cos θ ) g
显然当钢球脱离筒壁时, 显然当钢球脱离筒壁时 FN＝0 , 由此可求出其脱离角α为
rω 2 α = arccos( ) g
现在讨论三种特殊情况： 1. 当转轴通过质心C时
F IR = maC = 0 M IO = J Oα
2. 当刚体作匀速转动时, α＝0, 若转轴不过质心
M IO
F IR
F IR = maC
M IO = J Oα = 0
3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时。
F IR = maC = 0
FgR = ∑ Fgi = ∑ mi a i
= mac
此式表明：无论刚体作什么运动, 惯性力系的 主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速度的方向相反。
由静力学中任意力系简化理论知，主矢的 大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般 与简化中心的位置有关。下面就刚体平移、定 轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。
FIR = maC MIC = JCα
如图所示, 均质杆AB的质量 的质量m＝ 例 如图所示 均质杆 的质量 ＝40 kg, 长l 点以铰链连接于小车上。 ＝4 m, A点以铰链连接于小车上。不计摩擦 点以铰链连接于小车上 不计摩擦, 当小车以加速度a＝ 15 m/s2 向左运动时， 用 当小车以加速度 ＝ 向左运动时 ， 动静法求D处和铰 处的约束反力。 处和铰A处的约束反力 动静法求 处和铰 处的约束反力。
MIO = JOα
点简化： 向O点简化： 点简化
MIO O
F IR = maC
M IO = J Oα
ω α
ri i FIR
定轴转动刚体的惯性力系, 可以简化为通 过转轴O的一个惯性力FIR 和一个惯性力 O F 偶MIO。力FIR的大小等于刚体的质量与其 质心加速度大小的乘积, 方向与质心加速 度的方向相反，作用线通过转轴；力偶 MIO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其 角加速度大小的乘积, 转向与角加速度的 转向相反。
M IO = J Oα = 0
3. 刚体作平面运动 平面运动的刚体有质量对称平面， 且平行于此平面运动。当刚体作平 面运动时，其上各质点的惯性力组 成的空间力系，可简化为在质量对 称平面内的平面力系。
MIC FIR
ω α
C aC
设质心的加速度为aC，绕质心转动的角速度为ω，角 加速度为α，此时惯性力系向质心C简化
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束力为FN 。由牛顿第二定律，有
ma = F + FN
将上式改写成
FI M F FN a
F + FN ma = 0
Fg = ma
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为 质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加 速度的乘积, 方向与质点加速度的方向相反。
∑
∑M
O
Fi (e) + ∑ Fgi = 0
(Fi ) + ∑ M O ( Fgi ) = 0
(e)
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
§22－3
刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题， 需要对质点系内每个质点加上各自的惯性力，这些 惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。 用静力学力系简化理论，求惯性力系的主矢和主矩。 以FgR表示惯性力系的主矢。
t Ii t i i
F = m a = mi riω
F = m a = mi riα
2
O
ω α
ri i FIit FIin
该惯性力系对转轴O的主矩为
M IO = ∑ M O ( FIin ) + ∑ M O ( FIit )
M IO = ∑ M O ( F ) + ∑ M O ( F )
n Ii t Ii
§22-2
达朗贝尔原理
一、质点的达朗贝尔原理
F + FN ma = 0
Fg = ma
F + FN + FI = 0
FI M F FN a
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动 在质点运动的任一瞬时, 约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上 力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上 的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。 的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
Fi + Fi + Fgi = 0 (i =1 2.... ) ， n
(e) (i)
质点系中每个质点上作用的外力、 质点系中每个质点上作用的外力、内力和它的惯性力 在形式上组成平衡力系。 在形式上组成平衡力系。就是质点系的达朗贝尔原理 由静力学知， 由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件 是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零， 是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即