泡点法

泡点法
一、概述
1）泡点法1958年由阿豪森（Amundson ）和瑙乔（Pontinen ）提出、由王和亨克（Wang and Henke ）实质性开发用于精馏模拟计算方法
2）适用、用途及特点 3）泡点法思路：
①将M 方程与E 方程结合，组成工作方程并建立三对角矩阵解出ij x ，并ij x 归一 ②利用S 方程校正温度； ③利用H 方程校正流率； 4）泡点法步骤
①根据已知条件进行简捷计算并得到初值； ②建立各组分矩阵方程，并对矩阵求解j i x ,； ③θ法对矩阵得到的ij x 归一；
④利用泡点方程确定各级温度及气相组成； ⑤利用H 方程确定各级气液流率； ⑥若[]
N T
T
N
j k j
k j
T 01.02
1
1≤-=
∑=-ε或01.01
11
≤-=∑
=--N
j k j
k j k j H V
V V ε即达到要求，结束迭代。

否则，
以得到的温度、气液流率为初值，重复“②~⑤”。

二、ME 方程组建立及三对角矩阵 1.M 及E 方程的建立
级示意图
设物系组分数为c ，包括冷凝器及再沸器在内的理论级数为N ，塔顶塔底产品量分别为D 、
W ，塔顶冷凝器和塔釜再沸器温度分别为D t 、W t 。

以冷凝器为第一块板、再沸器为第N 块板，
并设每块板上均有进料、侧线上均有气液相采出。

任意板j 上进料为j F 、气相采出速率为j G 、
液相采出速率为j U ，任意板j 上的气相流量为j V 、液相流量为j L 、热量交换量为j Q ，任 意板j 上的任意组分组分i 的气液相摩尔分数分别为j i y ,、j i x ,。

相平衡系数可表示为温度函数
)(,j j i T f K =，焓亦可表示为)(,j j i T f H =。

1）物料衡算（M ）方程 对任意塔板j 进行总物料衡算：
)()(11j j j j j j j U L G V F V L +++=+++- (2-233)
对任意板j 上任意组分i 进行物料衡算：
j i j j j i j j j i j j i j j i j x U L y G V z F y V x L ,,,1,11,1)()(+++=++++-- (2-234)
上式可变形为，即M 方程：
0)()(,,,1,11,1=+-+-++++--j i j j j i j j j i j j i j j i j x U L y G V z F y V x L (2-235)
2）气液平衡（E ）方程
对任意塔板j 上任一组分i ，有：
j i j i j i x K y ,,,= (2-236)
即M 方程：
0,,,=-j i j i j i x K y (2-237)
2．联立E M 、方程，建立三对角矩阵，
1）将i i i x K y =方程代入M 方程得任意塔板的ME 方程：
0)()(,,,,1,1,11,1=+-+-+++++--j i j j j i j i j j j i j j i j i j j i j x U L x K G V z F x K V x L （2-238）
2）作冷凝器和任意块板j 之间的物料衡算：
D G U L F V j
j j j j j j j j j j +++=+∑∑∑===+2
2
2
1 （12-≤≤N j ） （2-239）
D U G F V L j
j j j j j j ---+=∑=+)(2
1 （12-≤≤N j ） （2-240）
3）从冷凝器开始逐级列物料衡算方程 ①对于冷凝器（1=j 、01=F 、00=L ）： 总物料衡算：
1121U V V L --= （D V L -=21、11U V D += ） （2-241）
对i 组分衡算：
1,11,12,21,1i i i i x U y V y V x L --= （2-442）
即：
0)(2,2,21,11,11=+++-i i i i x K V x U K V L （2-243）
为简化方程形式，令：
1111,1)(B U L K V i =++-、12,2C K V i =、10D = （2-244）
则有：
12,11,1D x C x B i i =+ （2-245）
显然，只要有1V 、1L 、1U 、2V 、冷凝器塔顶温度等参数，即可确定1B 、1C ，下同。

②对第二级作i 组分物料衡算，根据M 方程，有：
2,222,222,23,31,1)()(i i i i i x U L y G V z F y V x L +++=++ （2=j ） （2-246）
将i i i x K y =代入并变形为：
[]2,23,3,32,222,221,1)()(i i i i i i z F x K V x U L K G V x L -=++++- (2-247)
将D V L -=11代入，得：
[]2,23,3,32,222,221,1)()()(i i i i i i z F x K V x U L K G V x D V -=++++-- (2-248)
为简化方程组形式，令：
D V A -=12、2222,22)(B U L K G V i =+++-、23,3C K V i =、22,2D z F i =- (2-249)
23,22,21,2D x C x B x A i i i =++ (2-250)
③对第j 块板作i 组分物料衡算，根据M 方程，有：
0)()(,,,1,11,1=+-+-++++--j i j j j i j j j i j j i j j i j x U L y G V z F y V x L （j j =） (2-251)
将i i i x K y =代入并变形为：
j
i j j i j j j i j i j j j i j j i j i j j i j z F x U L x K G V z F x K V x L ,,,,,1,1,11,1)()(-=+-+-+++++--
(2-252)
消去液相流率，将D U G F
V L j j j j j
j j ---+=∑-=-)(1
2
1及D U G F V L j
j j j j j j ---+=∑=+)(2
1代
入，有：
-+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---++++--=∑1,1,11,1
2)(j i j i j j i j j j j j j x K V x D U G F V
j
i j j i j j
j j j j j j i j j z F x U D U G F V K v V ,,21,)()(-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+---+++∑=+
(2-253)
上式可整理为：
-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+--=∑1,1
2)(j i j j j
j j j x D U G F V j i j j
j j j j j j i j j x U D U G F V K G V ,21,)()(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+---+++∑=+
j i j j i j i j z F x K V ,1,1,1-=++++ (2-254)
同样，为简化方程组形式，令：
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
=-==+---+++=---+++=+-=∑∑j
j i j j j j j j j j j j j j j i j j
j j j
j j j j D z F C K V B U D U G F V K G V A D U G F V ,112
1,1
2
)()()( （2-255） 上式可变成：
j j i j j i j j i j D x C x B x A =+++-1,,1, （2-256）
④塔底再沸器
0)(,,1,1=-+---N i N i N N N i N Wx y G V x L （N j =） (2-257)
将i i i x K y =代入并变形为：
0)(,,,1,1=-+---N i j i N i N N N i N Wx x K G V x L (2-258)
消去液相流率，将D U G F
V L N j j j j
N N ---+
=∑-=-)(1
2
1代入，有：
[]0)()(,,1,12=++-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---+--=∑N i N i N N N i N j j j j N x W K G V x D U G F V (2-259)
上式可整理为：
-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---+--=∑1,12)(N i N j j j j N x D U G F V []N i N N i N N x W V K G V ,1,)(++++
j i j j i j i j z F x K V ,1,1,1-=++++ (2-260)
同样，为简化方程组形式，令：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
=-===+++=---++++-=∑N
N i N N
N N N N N i N N
N j N
j j j N D z F C K V B
W V K G V A D U G F V ,111,12
)()( (2-261) 上式可变成：
N N i N N i N D x B x A =+-,1, （2-262）
⑤ME 方程组及三对角矩阵
从塔顶冷凝器到塔底再沸器，组分i 的ME 方程组为：
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧
=+=++=++=++=+-------+-N N i N N i N N N i N N i N N i N j j i j j i j j i j i i i i D x B x A D x C x B x A D x C x B x A D x C x B x A D x C x B ,1,1,11,12,11,,1,2322,21,212,11,1 （2-263） 写成三对角矩阵形式：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎬⎫
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-----N N j N i N i j i i i N N
N N N j j j
D D D D D x x x x x B A C B A C B A C B A C B A C B 121,1,,2,1,111
333
22211
（2-264） 4）说明：
①该矩阵为各级任意组分i 的摩尔分数i x 矩阵，可解得N 个i x ；
②对于c 个组分的N 个理论级的精馏塔，需解c 个矩阵，即得到精馏过程所有i x 。

三、三对角矩阵求解
对式（2-264）矩阵可采用如下步骤求解：
①消元，用下述公式即可消元：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=--=
==-=-===---)
,2,1()1(/)1,,2,1()
1(/1111111
11N
j p A B q A D q j B D q N j p A B C p j B C p j j j j j j j j j j j j （2-265）
②消元结果
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎬⎫
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧---N N m N i N i m i i i N m q q q q q x x x x x p p p p 121,1,,2,1,12110
1000000000000000000000000
1000000000000000000000000
1000000001
（2-266） ③回代，回代解方程组可按下式:
⎩⎨
⎧-=-===+)
1,,21()
(1
,,N j x p q x N j q x j i j j j i N
N （2-267）
四、ij
x θ法归一
设由三对角矩阵解得组成为ca ij x )(，经过校正后的组成co ij x )(满足：
∑==c
i co
D i x
1
,1)( （2-268）
i co W i co D i Fz x W x D =+)()(,, (2-269)
显然，选择适当的参数θ，可满足：
ca D i W i co D i W i x x x x )/()/(,,,,θ= （2-270） 联立（2-269）和(2-270)，有： ca
D i W i i
co D i x x W D Fz x )/()(,,,θ+=
（2-271）
将（2-271）代入（2-268）并移项，得：
01)/()(1
,,=-+=∑
=c
i ca
D i W i i
x x W D Fz f θ （2-272）
（2-272）式用牛顿法即可解得θ。

解得θ后，利用（2-271），即可得到co D i x )(,。

各级校正后组成co ij x )(可按下式计算：
∑==
c
i i
ca
j i i
ca j i co j i p x
p x x 1
,,,)()()( （2-273）
ca
D i co
D i i x x p )()(,,=
（2-274） 综上所述，θ法步骤如下：①确定各组分ca D i W i x x )/(,,；②（2-272）式确定θ；③（2-271）式确定co D i x )(,；④（2-274）式确定i p ；⑤（2-273）式确定co j i x )(,。

五、利用方程对各级重新温度分布
任意块板j 上的汽液相组分之和均为1，即：
011
,=-∑c
j
i x
或011
,=-∑c
j i y (2-275)
将各板任意组分的相平衡常数ij K 表示为温度T 的函数形式：
2321j i j i i ij T a T a a K ++= （2-276）
将相平衡常数关系式代入S 方程：
()[]
01)(1
,2321=-++=∑=c
i j i j i j i i j j x T a T a a T S (2-277)
将各级的co j i x )(,代入上式，可解出各级温度j T ，同时，可解得各级的j i y ,。

六、利用热方程确定各级气液流率 任意板j 的热平衡,：
j L
j j j V j j j j F j V j j L j j Q h U L h G V h F h V h L ++++=++++--)()(,1111 （2-278）
即（H ）方程
0)()(,1111=-+-+-++++--j L j j j V j j j j F j V j j L j j Q h U L h G V h F h V h L （2-279）
将操作压力下各级单位流率的汽液焓表示为温度函数式：
)(23211j i j i i n
i ij V
j
T b T b b y h ++=∑= （N j ≤≤1） (2-280)
)(23211
j i j i i n
i ij
L j
T c T c c x
h ++=
∑= （N j ≤≤1） (2-281)
将输入输出热量、进料焓，根据温度得到的单位流率的汽液焓代入H 方程：
0)()(),,(,1111,=-+-+-++=++--j L
j j j V j j j j F j V j j L j j j j J i Q h U L h G V h F h V h L T V x H （2-282）
将j j j j j j j G V F V L U L --++=++-11代入上式，并化简为：
0)()())(()(),,(,1111,=--+---+--=--++Q F h h L h h h h G V h h V T V x H j L j j F j L j L j L j V j j j L j V j j j j J i
（2-283）
变形得：
L
j
V j L
j
L j j F j L j L j L j V j j j j h h F h h Q L h h h h G V V ---+-+-++--+1,111
)()())(( （12-≤≤N j ）
（2-284）
计算时，从塔顶冷凝器开始，由于12L D V +=，即RD D V +=2，故气相流率从3V 开始一直计算到1-N V ，根据D U G F
V L j
j j j j
j j ---+
=∑=+)(2
1，得到j L 。