说题课件-浙江嘉兴第一中学

C
(a 2) 2 4(a 1) a 2 0 ，则 a 0 .
因此点 C 在线段 AB 的中垂线上，故 | AC || BC | .
A P
P0
B
x
点评：坐标法是解决平面向量问题中常用的一种方法，易入手，起点低， 但计算较繁琐，同时还需对所得函数分类讨论。
二、解法分析 ，碰撞火花
透视数学本质，彰显数学魅力
－－从2013年浙江省高考数学理科一道向量题说起
高二数学组
曲文瑞
一、试题呈现 ，立意分析
1 （2013 浙江高考理科第 7 题）设 ABC ， P0 是边 AB 上一定点，满足 P0 B AB ， 4
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB PC P0 B P0 C ，则（ ）
1 AB ， 4
A 、 ABC 90
B 、 BAC 90
C 、 AB AC
D 、 AC BC
本题表述简洁，选项对称优美，符合浙江卷特色。
此题的难点和切入点就是如何对已知条件PB PC P0 B P0C 进行转化与表征。
uu u r uuu r uuu r uuu r
则等基本知识的综合运用能力，以及对试题提供的信息进
行整合并加以转化，重组的能力；也体现了向量在三角形
中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性，体现了 “化归与转化”，“数形结合”等思想方法。
二、解法分析 ，碰撞火花
（2013 浙江高考理科第 7 题）设 ABC ， P0 是边 AB 上一定点，满足 P0 B 且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB PC P0 B P0 C ，则（ ）
A 、 ABC 90
B 、 BAC 90
C 、 AB AC
D 、 AC BC
来源于2013年浙江卷（理科）第7题.
命题立意：
本题以平面向量在三角形中的应用为载体，考查平面向量 的内容，包括平面向量的坐标运算，数量积的定义以及数 量积的几何意义,不等式恒成立问题等基本知识。
考查了学生对平面向量坐标运算，数量积，平行四边形法
析题
条件
数量积的运算转化为向量模的运算
P 0B 1 AB 4
结论
uur uuu r uuu r uuu r 恒有PB PC P0 B PC 0
数量积的运算转化为坐标运算 恒成立问题转化为最值问题，最 值问题转化为函数或不等式处理
三角形边角之 间的关系
学生的障碍分析：
1．处理平面向量问题的核心方法是将所涉及的向量问题代数化或几何 化，通过代数运算，解决几何问题，其中很重要的一点是加强对问题 uuu r uuu r uuu r uuur 的代数转化能力， PB PC P0 B P0C 这个式子内容丰富，可利用角度多， 怎么使用？学生很难把握和准确选用. 2．在解决本题的过程中，选择不同的解题撞火花
法1：从选项入手（排除法）
对比 A 、 B 、C 选项，只要利用数量积的几何意义即可排除。
A P P0 B
P0
C
B
A
P
C
P A
P0
C
B
此法看似难登大雅之堂，实则韵味无穷
C
A
P P0
B
实际上本题是用了一个直角三角形，在一直角边上取中点后发 现这是一个极值点，通过计算确定。不妨我们来看。 设 C(0，b),B(2a，0),P(x，0)， x 0 则 PB PC (2a x, 0) ( x, b) x 2ax ( x a ) a ，
法3：直接利用数量积的几何意义（投影）
过 C 作 CE AB ， PB PC PB PC cos CPB ，
C
当 CPB 时， PB PC 0 ， 2 当 CPB 时， PB PC 0 2 A P 故只需考虑 CPB 的情形，设 BE m ， PB t ， 2 m 1 PB PC t (t m) t 2 mt ，当 t 时最小，即 BP0 BE ， 2 2 1 1 又 P0 B AB ，故 BE BA ，由 CE AB 得 AC BC . 4 2
P0 B (1,0) ， P0 C (a 1, b) ， PB (2 x,0) ， PC (a x, b) ，
由 PB PC P0 B P0 C 恒成立，
2
y
讨论
得 ( 2 x )(a x ) a 1 ，即 x (a 2) x a 1 0 . 令 f ( x) x 2 (a 2) x a 1, x 2,2
何在解题的过程中，多角度的获取信息，运用信息，进而选择恰当的
解题路径，是学生的最大障碍. 3.对基础差的学生没有解题思路，只知道套用公式，无法将题目中的条 件进行代数转化，而使解题无法再继续下去． 本题对学生的运算能力有相当的要求，思维量较大，虽是第7 小 题，但我个人认为此题是2013年浙江卷选择题中最难的一题。
2 2 2
当且仅当 x= a 时有最小值－a2。 即当 P 为 OB 中点时， PB PC 有最小值。 满足题设恒有 PB PC P 0B P 0C .
点评：要让学生在短时间内能想到这样去思考是很困难的。学生只能去猜想。
二、解法分析 ，碰撞火花
法2：向量问题代数化（坐标法）
设 AB 4 ，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建立坐标系， 则 A(2,0) ， B( 2,0) ， P0 (1,0) ，如图 4 设点 C (a , b) ，动点 P ( x ,0) ，
D E P0 B
点评：这种数形结合的方法显然比坐标法简单很多，通过图形可 以直观感知，能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来，使问 题变得简单。
二、解法分析 ，碰撞火花
法4：选取恰当的基底（基向量）
设 PB t AB (0 t 1) ， ∴ PC PB BC t AB BC ， PC P 0 B BC 0