1.4+用一元二次方程解决问题(第1课时+面积问题与平均增长率问题)(课件)-2023-2024学年

铁围栏(通道门也用铁围栏制作)，请你来设计，如何搭建较合适(即自
行车棚的长、宽各是多少) ？
解：设自行车棚的长是xm，则宽是
x
−
·

=12
化简得 x2-10x+24=0
(x-6)(x-4)=0
−
m.

−

m
−
当x=6时，
=2m

−
当x=4时，
=3m

答：自行车棚长是6m，宽是2m或自行车棚长是4m，宽是3m.
则450（1＋x）2＝648，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）.
答：该化肥厂6、7月平均每月的增长率为20%
新知归纳
1. 两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2
若原来为a, 平均增长率是x, 增长后的量为b
则 第1次增长后的量是 a(1+x)1=b
第2次增长后的量是 a(1+x)2=b
解：设金属丝折成的矩形框子的长是xcm，则宽是(50-x)cm.
①如果矩形框子的面积是600cm2，那么x(50-x)=600，
解得x1=20， x2=30.
②如果矩形框子的面积是800cm2，那么x(50-x)=800，
此方程无解.
答：能制成面积是600cm2的矩形框子， 不能制成800cm2的矩形框子.
找
找出一个能表示问题中全部意义的相等关系.
设
设未知数(一般求什么就设什么）,有直接设和间接设,写好单位名称.
列
把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.
解
解方程,求出未知数的值(x=a).
验
未知数的值既要代入原方程检验，又要检验所求解是否符合题意.
答
写出完整的答案.
用一元一次方程解决问题的关键是什么？
5
5
根据题意得: 5(x-10)(2x-10)=500
5
5
2x
整理，得:
x2-15x=0
解这个方程，得:
x1=15 x2=0 (不合题意，舍去)
∴x=15
2x=30
答:这块铁皮的宽是15cm，长是30cm.
课堂检测
9.学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为12m2 的矩形自行车棚
（即矩形ABCD），一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为10m的
5.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次
降价，每盒零售价由16元降为9元.设平均每次降价的百分率是x，则可
列方程为 16(1－x)2＝9
.
当堂检测
6.把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积和等于200cm2，应该怎样剪？
(2) 这两个正方形的面积和可能等于488cm2吗？
当 x1=5 时， 11-x1=6;
当 x2=6 时， 11-x2=5.
当矩形的边长未知时，所设矩形
的长和宽不再要求长≥宽
答：用一根长22cm 的铁丝能围成面积是30cm2的矩形.
验
答
新知探究
问题1 用一根长22cm的铁丝:
(2) 能否围成面积是32cm2的矩形?
根据题意，得 x(11-x)=32，
若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为( D )
A．25(1＋x)2＝82.75
B．25＋50x＝82.75
C．25＋25(1＋x)2＝82.75
D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
当堂检测
4.一根长64cm的铁丝被剪成两段，每段均围成正方形.若两个正方形的
面积和为160cm2，则这两个正方形的边长分别为 4cm和12cm .
新知巩固
1.如图，一块长方形菜地的面积是150m2.如果它的长减少5m，那么它
就成为正方形菜地.求这个长方形菜地的长和宽.
解：设原菜地的宽是xm.
根据题意，得x(x+5)=150，
解得x1=10， x2=-15(舍去).
10+5=15m.
答：这个长方形菜地的长是15m、宽是10m.
新知巩固
2.如图，用长6m的铝合金条制成“日“字形窗框，请问宽和高各是多
12m2
xm
课堂检测
9.学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为 y m2 的矩形自行车棚
（即矩形ABCD），一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为10m的
铁围栏(通道门也用铁围栏制作)，请你来设计，如何搭建能使所围矩形
面积最大？
解：设自行车棚的长是xm，则宽( −
)m.y=x ·( −
)
解： (1)设这两个正方形其中一个的边长为xcm，则另外一个正方形的边长为
(80−4x)÷4=(20−x)cm；
由题意，得x2+(20−x)2=200，
解得
x1=x2=10.
所以应把绳பைடு நூலகம்剪成相等的两段.
(2)设这两个正方形其中一个的边长为xcm.
由题意，得x2+(20−x)2=488，
解得
x1=22＞20，x2=-2＜0(不合题意，舍去)
平均增长率问题
增长(降低两次率)公式：a(1±x)2=b
当堂检测
1. 某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m.
设花圃的宽为xm，则可列方程为( C )
A. x(x－10)＝200
B.2x＋2(x－10)＝200
C. x(x＋10)＝200
D.2x＋2(x＋10)＝200
2. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，
新知探究
问题2 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，
平均每月利润增长的百分率是多少？
1.如何设未知数？
如果设平均每月利润增长的百分率为x,
那么：7月份的利润是 2500(1＋x) 元，
8月份的利润是 ［2500(1＋x)］(1＋ x)
元．
2.如何找出表达实际问题的相等关系？
(1+x)2=1.44
x1=0.2=20％
答:平均每个月增长的百分率是20％.
用直接开平方法做简单，
不要将括号打开
x2=-2.2 (不合题意, 舍去)
新知巩固
1.某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件51.2元，求该种服
装平均每次降价的百分率.
分析：设每次降价的百分数为x.
第一次降价后，每件为600-600x=600(1-x)（元）.
已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的
百分率为x，下面所列的方程中正确的是( B )
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
当堂检测
3. 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，
少时，窗户的透光面积为1.5m2(铝合金条的宽度不计)?
x
−
解：设宽为xm,则高为
m.

x
−
由题意，得x·
=1.5，

x
解得：x1=x2=1，
−×
高是

=1.5(米).
答：宽为1米，高为1.5米.
新知巩固
3.用一根长100cm的金属丝能否制成面积是600cm2的矩形框子？能否
制成面积是800cm2的矩形框子？
(10-2x)m

=-( − ) +



∵-2( − ) ≤0，



∴-( − ) + ≤ . 即y≤ .




答：当x= 时，所围矩形面积最大.

ym2
xm
课堂检测
10.“杂交水稻之父”—袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶
段实现水稻亩产量700kg的目标,第三阶段实现水稻亩产量1008kg的目标.
x(11-x)=30
3.如何解方程？方程的解都符合题意吗？
列
新知探究
问题1 一1 用一根长22cm的铁丝:
(1) 能否围成面积是30cm2的矩形?
解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是(11-x)cm.
解
根据题意，得 x(11-x)=30，
即
x2-11x+30=0.
解这个方程，得x1=5， x2=6.
第1章 · 一元二次方程
1.4
用一元二次方程解决问题
第1课时
面积问题与平均增长率问题
学习目标
1.能列出一元二次方程解决关于面积问题与平均增长率问题；
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
知识回顾
用一元一次方程解决问题的基本步骤是什么？
审
审题，分析题中已知量,未知量，明确他们之间的关系.
根据：8月份的利润=3600元，即可列出方程. 2500(1＋x)2 =3600
新知探究
问题2 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，
平均每月利润增长的百分率是多少？
解:设平均每月利润增长的百分率是x.
根据题意，得 2500(1+x)2 =3600
整理，得:
解这个方程， 得:
即
x2-11x+30=0.
∵b2-4ac=(-11)2-4×1×32=121-128=-7＜0
∴此方程没有实数根.
答：用一根长22cm 的铁丝不能围成面积是30cm2的矩形.
用一元二次方程解决问题的基本步骤与一元一次方程解决问题的步骤相同.
讨论交流
思考：用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？
解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是(11-x)cm.
第二次降价后，每件为600(1-x)-600(1-x)·x=600(1-x)2（元）.
解:设平均每次降价的百分率是x.
根据题意，得 80(1-x)2 =51.2
整理，得:
(1-x)2=0.64
解这个方程， 得: x1=0.2=20％
答:平均每次降价的百分率是20％.
x2=1.8 (不合题意, 舍去)
(1)若第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
解：(1)设亩产量的平均增长率为x.
根据题意，得700（1＋x）2＝1008，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）.
答：亩产量的平均增长率为20%
课堂检测
10.“杂交水稻之父”—袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶
x(11-x) =-x2+11x

2
=-[x -11x+( )
=-( −

∵-( − )


∴-( − )



) +



-( ) ]

≤0，

+ ≤ .



∴x(11-x)的最大值为 .


答：用这根铁丝围成的矩形最大面积是 .

所以这两个正方形的面积和不可能等于488cm2.
当堂检测
7.某公司某年销售一种产品，1月获得利润20万元，由于产品畅销，利
润逐月增加，3月的利润比2月的利润增加4.8万元.假设该种产品的利润
每月的增长率相同，求这个增长率.
解：设这个增长率为x.依题意，得
20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，
即25x2＋25x－6＝0，
新知巩固
2.某化肥厂某年4月生产化肥500t，因管理不善，5月的化肥产量减少了
10%，6月起加强管理，产量逐月上升，7月的产量达到648t.求：
（1）该化肥厂5月的化肥产量；
解：（1）5月的化肥产量为500×（1－10%）＝450（t）
（2）该化肥厂6、7月平均每月的增长率.
解：（2）设该化肥厂6、7月平均每月的增长率为x，
段实现水稻亩产量700kg的目标,第三阶段实现水稻亩产量1008kg的目标.
(2)按照(1)中的亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到
1200kg，请通过计算说明他们的目标能否实现.
解：(2)1008×（1＋20%）＝1209.6（kg）.
∵ 1209.6＞1200，
∴ 他们的目标能实现
新知探究
问题1 用一根长22cm的铁丝:
(1) 能否围成面积是30cm2的矩形?
(2) 能否围成面积是32cm2的矩形?
设
1.如何设未知数？
如果设围成的矩形的长为xcm,
审
−
那么宽就是
cm，即(11-x)cm.

2.如何找出表达实际问题的相等关系？
找
根据：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，即可列出方程.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.2（不合题意，舍去）.
答：这个增长率为20%
当堂检测
8.如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，
制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽.
5
x
解：设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容
5
5
5
器底面的宽是(x-10)cm，长是(2x-10)cm.
…
第n次增长后的量是 a(1+x)n=b
2. 反之，若为两次降低，则平均降低率公式为：a(1-x)2=b
3. 平均增长(降低两次率)公式：a(1±x)2=b
4. 注意：(1) 1与x的位置不要调换
(2) 解这类问题用直接开平方法
课堂小结
面积问题
矩形的周长为L，面积为S，设一边长为x，


则另一边长为(－x) ，矩形的面积S＝ x − .