山西省大同市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

山西省大同市2021届新高考数学三月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）
A ．12
B ．2
C ．
2
3
D ．
163
【答案】C 【解析】 【分析】
过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知
18
33
P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点
F ，可得EF PC ⊥，再由2
112
PCE S PC EF PE =⋅=-V PE 的最大值即可.
【详解】
在BPD △和BCD V 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，所以BPD BCD V V ≌，则PBD CBD ∠=∠，
过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE V V ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE CE E =I ，所以BD ⊥平面PCE ， 所以18
33
P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=
⋅=V V ， 当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥， 所以21
12
PCE S PC EF PE =
⋅=-V 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，
所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 22543-=， 所以PCE S ∆最大值为2，故P BCD V -的最大值为8
223
⨯162
3
=
.
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
2．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒ B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】C 【解析】 【分析】
由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，
1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．
【详解】
连接1AC ，1BC ，如图：
又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.
因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，
又2AB BC ==，122CC =(
)
2
2122
223BC =+=，
∴1tan 3BAC ∠=160BAC ∠=︒. 故选C 【点睛】
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π
表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
计算3
1cos
sin 332π
ππ=+=i e
i ，得到答案. 【详解】
根据题意cos sin ix
e x i x =+
，故3
1cos
sin 3322
π
ππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
4．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅u u u r u u u r
的最小值为（ ） A ．-1
4
B ．-
12
C ．-l
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
设点2,4y P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则点()0,Q y ，()1,0F ，利用向量数量积的坐标运算可得()2211
2164PQ PF y =⋅--u u u r u u u r ，利用二次函数的性质可得最值. 【详解】
解：设点2,4y P y ⎛⎫
⎪⎝⎭，则点()0,Q y ，()1,0F ， 22,0,1,44PQ P y F y y ⎛⎫⎛⎫
∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r ，
()22422211,01,24416416
4PQ P y y y y y F y ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅u u u r u u u r ，
当2
2y =时，PQ PF ⋅u u u r u u u r 取最小值，最小值为14
-.
故选：A. 【点睛】
本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.
5．已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若
1
tan 2
PAF ∠=
，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．
14
B ．13
C ．12
D ．
2
3
【答案】C 【解析】 【分析】
不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据1
tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.
【详解】
不妨设P 在第一象限，故2
,b P c a ⎛⎫
⎪⎝⎭，21tan 2b a
PAF a c ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得1
2
e =，1e =-（舍去）.
故选：C . 【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.
6．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v
（） A ．4 B ．6
C
．D
．【答案】B 【解析】 【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD
=，且30BDC ∠=︒，
∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
7．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[
)4+∞，
B ．[]
06，
C ．[]04，
D ．[)6+∞，
【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】
实数,x y 满足的约束条件0
3020y x y x y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，
则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
8．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，求()2020f =（ ）
A ．2
B ．0
C ．1-
D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】
由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，
()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，
所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，
由于当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
9．已知集合(){}
lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，则A B =I （ ） A ．{}
2x x >- B ．{}
22x x -<<
C ．{}
22x x -≤<
D ．{}
2x x <
【答案】C 【解析】 【分析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】
解：∵{}
2A x x =<,{}
22B x x =-≤≤,
∴{}
22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.
10．直线1y kx =+与抛物线C ：2
4x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB
V 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．9
4
-
B ．274
-
C ．3227
-
D ．6427
-
【答案】D 【解析】 【分析】
设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到
AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y
=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=
则124x x k +=，()2
1212242y y k x x k +=++=+
则2
1244AB y y p k =++=+
由2
4x y =，得2
4
x y =
12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则
01
2
x k = 02x k ⇒=，20y k =
则点P 到直线1y kx =+的距离1d =≥
从而()
21
212
S AB d k =
⋅=+()()
()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．
令()3
2
24f x x x =- ()()2
681f x x x x ⇒-'=≥
当413
x ≤≤
时，()0f x '<；当4
3x >时，()0f x '>
故()min 464327f x f ⎛⎫==-
⎪⎝⎭
，即S AB -的最小值为64
27- 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值. 11．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内
都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
【答案】D 【解析】 【分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断
()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得
221
()x ax F x x
'
--=-
，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，
()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为21
1210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-， 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
12．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9
C ．
212
D ．214
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出
211a a +.
【详解】
∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或58
3
6a a =⎧⎨
=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则
当58
63a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222
a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当58
36a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()3
521183
3216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面区域321047020y x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
的外接圆的方程是____________.
【答案】2
2
11912
0555
x y x y +---= 【解析】 【分析】
作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出D 、E 、F 的值，即可得出所
求圆的方程. 【详解】
作出不等式组321047020y x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
所表示的平面区域如下图所示：
由图可知，平面区域为ABC V ，联立20470y x y x --=⎧⎨+-=⎩，解得1
3x y =⎧⎨=⎩
，则点()1,3A ，
同理可得点()2,1B -、()1,1C -，
设ABC V 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，
由题意可得3100
25020
D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-+++=⎩
，解得113D =-，95E =-，12
5F =-，
因此，所求圆的方程为2
2
11912
0555
x y x y +-
--=.
故答案为：22
11912
0555
x y x y +---=. 【点睛】
本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.
14．已知ABC ∆中,AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是__________.
【答案】)
+∞ 【解析】 【分析】
设,===AB BC t AD m ，利用正弦定理，根据2
1sin 22
ABC S t B =
=V ，得到2sin 4t B =①，再利用余弦定理得222
5cos 4t B t m =-②，①②平方相加得：2
4225164t t m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，转化为
4224940162560t m t m -++= 有解问题求解.
【详解】
设,===AB BC t AD m ，
所以2
1sin 22
ABC S t B =
=V ， 即2sin 4t B =① 由余弦定理得2
2
22cos 22t t
m t t B ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭
，
即 2
2
25cos 4
t B t m =
-②， ①②平方相加得：2
4
225164t t m ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
， 即4224940162560t m t m -++= ， 令20t x =>，设 ()
22494016256g x
x m x m =-++，在()0,∞+上有解，
所以 2
2222
4202020940162560999m m m g m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯
++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得49m ≥，即 m ≥ ，
故答案为：)
+∞
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题. 15．(
)()
10
2
x y
x y --展开式中56
x y 的系数为_________.（用数字做答）
【答案】210 【解析】 【分析】 转化(
)2
10
10210()
()()x y x y x x y y x y --=---，只有10()x x y -中含有46x y ，即得解.
【详解】
()2
10
10210()
)()x y x y x x y y x y --=---（
只有
10)x y -（中含有46x y ， 其中46
x y 的系数为610210C =
故答案为:210 【点睛】
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
16．已知*n N ∈，满足0122222243n n
n n n n C C C C ++++=L ，则()
2n
x x y
++的展开式中52
x y 的系数为
______. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据二项式定理求出n ，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得x 系数． 【详解】
由题意0122222243(12)n n n n n n
n C C C C ++++==+L ，5n =． ∴()
5
2x x y ++的展开式中52x y 的系数为22
5330C C =．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知()0,2P -，点,A B 分别为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一
点,Q ABP ∆为等腰直角三角形，且:3:2PQ QB =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过点P 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，总使得MON ∠为锐角，求直线l 斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）2
14x y +=；
（Ⅱ）2,,222⎛⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可知：由32
PQ QB =u u u r u u u r
，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设直线2y kx =-，代入椭圆方程，由韦达定理，由>0∆，由MON ∠为锐角，则0OM ON >u u u u r u u u r
g ，
由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围． 【详解】
解：（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形 2a ∴=，
()20B ∴,，
设()
,Q Q Q x y 由:3:2PQ QB =
得32PQ QB =u u u r u u u r
则65
45Q Q x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
代入椭圆方程得21b =
∴椭圆E 的方程为2
14
x y +=
（Ⅱ）根据题意，直线l 的斜率存在，可设方程为2y kx =- 设()()1122,,M x y N x y
由22
214
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
22
1416120k x kx +-+= 由直线l 与椭圆E 有两个不同的交点则>0∆ 即()(
)2
2
16412140k k --⨯⨯+>
得2
34
k >
又122
12216141214k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨
⎪=
⎪+⎩
∠Q MON 为锐角则cos 0MON ∠> 121200OM ON x x y y ∴⋅> ∴+>u u u u r u u u r
()()()()2121212121212221240x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++>Q
即(
)2
2
2
12
1612401414k
k
k
k
k +-+>++
24k ∴< ②
由①②得
22k <<
或22
k -<<-
故直线l
斜率可取值范围是2,222⎛⎛⎫
--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
18．联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表：
（1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份—2014”为横坐标x ，“需求量257-”为纵坐标y ，请完成如下数据处理表格：
（2）根据回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该地区的粮食需求？
参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 12
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y
nx y b
x
nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 【答案】（1）见解析；（2）能够满足.
【分析】
（1）根据表中数据，结合以“年份—2014”为横坐标x ，“需求量257-”为纵坐标y 的要求即可完成表格； （2）根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测2020年的粮食需求量，即可作出判断. 【详解】
（1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下：
（2）由题意可知，变量y 与x 之间具有线性相关关系， 由（1）中表格可得，0=x ， 3.2y =，
()()()()()222222
4212110021942950 3.2260ˆ 6.5404202450b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-+-+++-⨯，ˆˆ 3.2b a y x =-=.由上述计算结果可知，所求回归直线方程为ˆ 6.5 3.2y
x =+， 利用回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为：
()6.520202014 3.2257299.2⨯-++=（万吨），
因为299.2300<，故能够满足该地区的粮食需求. 【点睛】
本题考查了线性回归直线的求法及预测应用，属于基础题.
19．已知函数3()3,()1ln f x x ax e g x x =-+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）用max{,}m n 表示,m n 中较大者，记函数()max{(),()},(0)h x f x g x x =>.若函数()h x 在()0,∞+上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(；（2）
21
3
e a +>. 【解析】 【分析】
（1）由题可得()2
33f x x a '=-,结合a 的范围判断()f x '的正负,即可求解；
（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解
（1）()2
33f x x a '=-,
①当0a ≤时,0f
x （）≥, ∴函数()f x 在∞∞（-，+）
内单调递增； ②当0a >时,令()3()()0f x x a x a '=+-=,解得x a =-或x a =,
当x a <-或x a >时,()0f x '>,则()f x 单调递增, 当a x a -<<
时,()0f x '<,则()f x 单调递减,
∴函数()f x 的单调递增区间为(,)a -∞-和(,)a +∞,单调递减区间为(,)a a -
（2）（Ⅰ）当(0,e)x ∈时,()0,()()0,g x h x g x >>…
所以()h x 在(0,)e 上无零点； （Ⅱ）当x e =时,3
()0,()3g e f e e ae e ==-+,
①若3
()30f e e ae e =-+„,即213
e a +…,则e
是()h x 的一个零点；
②若3
()30f e e ae e =-+>,即2e 13
a +<,则e
不是()h x 的零点
（Ⅲ）当(,)x e ∈+∞时,()0<g x ,所以此时只需考虑函数()f x 在(,)e +∞上零点的情况,因为
22()333e 3f x x a a '=->-,所以
①当2a e „时,()0,()f x f x '>在(,)e +∞上单调递增。

又3()3f e e ae e =-+，所以
（ⅰ）当2e 1
3
a +≤时,()0,()f e f x …
在(,)e +∞上无零点； （ⅱ）当22e 1
e 3
a +<≤时,()0f e <,又332(2)86860f e e ae e e e e =-+-+>…
,所以此时()f x 在
(,)e +∞上恰有一个零点；
②当2a e >时,令()0f x '=,得x a =由()0f x '<,得e x a <<
()0f x '>,得x a 所以()f x 在
()e a 上单调递减,在,)a +∞上单调递增,
因为3
3
3
()330f e e ae e e e e =-+<-+<,3
2
2
2
2
(2)868620f a a a e a a e a e =-+>-+=+>,所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一个零点,
综上,21
3
e a +>
本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想 20．已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1
n
a 的等差中项． （1）求证：数列{}2
n
S 为等差数列；
（2）设(1)n
n n
b a -=，求{}n b 的前100项和100T ．
【答案】（1）证明见解析； （2）10. 【解析】 【分析】
（1）利用已知条件化简出2
21n n n S a a -=，当1n =时，11S =，当2n ≥时，再利用1n n n a S S -=-进行化简，得出22
11,(2)n n S S n --=≥，即可证明出{}2
n
S 为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列{}n a 的通项公式=n a (1)
(1)
n n
n n n b a -===-，可直接求出{}n b 的前100项和100T ．
【详解】
解：（1）由题意知12n n n
S a a =+
，即2
21n n n S a a -=，① 当1n =时，由①式可得11S =； 又2n ≥时，有1n n n a S S -=-，
代入①式得()()2
1121n n n n n S S S S S -----=， 整理得2
2
11,(2)n n S S n --=≥， ∴{}2
n
S 是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得2
11n S n n =+-=，
∵{}n a 是各项都为正数，∴=n S ，
∴12)n n n a S S n -=-=≥， 又111a S ==，
∴=n a
则(1)(1)(1)1
n n
n n n b n n a n n -===-+---， 1001(21)(32)(10011002)(1001001)T ∴=-++-++⋅⋅⋅--+-++-
10010==，
即：10010T =.
∴{}n b 的前100项和10010T =． 【点睛】
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力. 21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且//CE AB .
（1）求证：CE ⊥平面PAD ； （2）若1==PA AB ，3AD =，2CD =，45CDA ∠=︒，求二面角P CE B --的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（25
【解析】 【分析】
（1）要证明CE ⊥平面PAD ，只需证明CE PA ⊥，CE AD ⊥，即可求得答案；
（2）先根据已知证明四边形ABCE 为矩形，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立坐标系A xyz -，求得平面PEC 的法向量为n r ，平面BEC 的法向量AP u u u r
，设二面角P CE B --的平面
角为θ，cos |cos ,|n AP θ=〈〉r u u u r
，即可求得答案.
【详解】
（1）Q PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，
∴PA CE ⊥.
Q AB AD ⊥，CE AB ∥，
∴CE AD ⊥.
又Q PA AD A ⋂=，
∴CE ⊥平面PAD .
（2）由（1）可知CE AD ⊥.
在Rt ECD △中，cos 451DE CD ︒=⋅=，
sin451CE CD =⋅︒=.
∴2AE AD ED =-=.
又Q 1AB CE ==，//AB CE ，
∴四边形ABCE 为矩形.
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立坐标系A xyz -， 如图：
则：(0,0,0)A ，(1,2,0)C ，(0,2,0)E ，(0,0,1)P ，
∴：(1,2,1)PC =-u u u r
，(0,2,1)PE =-u u u r
设平面PEC 的法向量为(,,)n x y z =r
，
00n PC n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即2020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩
，
令1y =，则2z =，0x =
(0,1,2)n ∴=r
由题PA ⊥平面ABCD ，即平面BEC 的法向量为(0,0,1)AP =u u u r
由二面角P CE B --的平面角为锐角， 设二面角P CE B --的平面角为θ
即225
cos |cos ,|55
n AP θ=〈〉=
=r u u u r ∴25sin 1cos 5
θθ=-=
∴二面角P CE B --
.
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
22．已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l
的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）已知点()1,0M ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求
||MA MB -‖‖. 【答案】 (1) ()2
224x y -+=
.33
y x =-
(2) 【解析】 【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；
（2）设,A B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解. 【详解】
（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，
又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，可得22
4x y x +=，即()2224x y -+=，
所以曲线C 的普通方程为()2
224x y -+=.
由直线l
的参数方程为1212x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，消去参数可得13y x =
-，即 直线l
的方程为1)y x =
-
，即y x =
-（2）设,A B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l
的参数方程1212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线
22:40C x y x +-=中，可得22114104t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
化简得：230t -=，则12t t +
所以1212||||||||||||MA MB t t t t -=-=+=【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23．已知a ＞0，证明：1a a +-1． 【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用分析法，证明a 132a +＞即可．
【详解】
证明：∵a ＞0，∴a 1a +
≥1， ∴a 1a
+-1≥0，
1a a +-1， 只要证明a 121a +＞（a 1a +）1﹣4（a 1a
+）+4， 只要证明：a 132
a +＞， ∵a 1a +≥132
＞， ∴原不等式成立．
【点睛】
本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．。