安徽省舒城中学高三数学寒假作业 第三天 文

安徽省舒城中学2017届高三数学寒假作业 第三天 文
本试卷分为第卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若3
2
()1f x x x x =-+-，则()f i =
（ ）
（A ）2i
（B ）0 （C ）2i - （D ）2-
2.若集合{}
2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的
（ ）
A ．充分不必要条件.
B ．必要不充分条件.
C ．充要条件.
D ．既不充分也不必要条件.
3. 已知,2
1
tan =α则α2cos 的值为
（ ） A ．51-
B ．53-
C ．53
D ．
54
4．如图，程序框图所进行的求和运算是（ ） (A) 12 + 14 + 16 + … + 120
(B) 1 + 13 + 15 + … + 119
(C) 1 + 12 + 14 + … + 1
18
(D) 12 + 12 2 + 12 3 + … + 1
2 10
5．如图一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图是全等的等腰直角三角形，且直角边的边
长为1，则这个几何体的体积为 （ ）
A ．24
1
B ．
12
1
C ．
6
1
D ．
3
1 6．
曲线
处的切
在e x x
x
x f ==
ln )(
（ ）
A ．x y =
B ．e y =
C ．ex y =
D ．1+=ex y
7．在平面直角坐标系中, 不等式组0
40x y x y x a +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
(a 为常数)表示的平面区域面积是9, 那么
实数a 的值为
（ ）
＋2
B. －
＋2
C. －5
D.1
8.一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是2.1，方差是4.4，则
原
来
一
组
数
的
方
差
为
（ ） A. 3.2
B.4.4
C.4.8
D.5.6
9. 已知5,4,120a b a b θ===与
夹角,则向量b 在向量a 上的投影为
（ ）
A ．2-
B ．2
C ．
5
2
D ．52-
10．直线210x a y +-=与01)1(=+--ay x a 平行，则a 的值为
（ ） A ．
12 B ．1
2
或0 C ．0 D ．－2或0 11.已知双曲线122
22=-b
y a x 的左焦点为F 1，左、右顶点为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则
分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为
（ ） A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上情况都
有可能
12.三位同学合作学习，对问题“已知不等式2
2
2xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,
求a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”. 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”. 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”.
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是
（ ） .A [1,)+∞
.B ),1[+∞-
.C [1,4)-
.D []1,6-
第II 卷（非选择题，共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.若函数'
2
'
()ln (1)32,(1)f x x f x x f =-++=则 ．
14. 等比数列}{n a 中，若121=+a a ，943=+a a ，那么54a a +等于________. 15.如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BC=DC=AB=AD=
，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，
点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP=CQ ，则三棱锥P ﹣QCO 体积的最大值为 ．
16.在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：
1
(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得
1
12(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯
1
23(234123),3
⨯=⨯⨯-⨯⨯
…
1
(1)[(1)(2)(1)(1)].3
n n n n n n n n +=++--+
相加，得1
1223(1)(1)(2).3
n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=
++ 类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设有关于x 的一元二次方程2
2
20x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
18. (本小题满分12分) 已知(3sin ,cos )a x x =，)cos ,(cos x x b =
．
（Ⅰ）若1a b ⋅=，且,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，求x 的值； (Ⅱ)设()f x a b =⋅，求)(x f 的周期及单调减区间．
19 . (本小题满分12分)如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F
C
D
为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.
20.(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点O ，焦点在x 轴上，直线:0l x -=与Γ交于A B 、两点，2AB =，且2
AOB π
∠=
.
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）若M N 、是椭圆Γ上两点，满足0OM ON ∙=，求MN 的最小值．
21. (本小题满分12分)给定实数a （2
1≠
a ），设函数)ln()21(2)(a x a x x f +-+=（x ＞a -，R x ∈），)(x f 的导数)(x f '的图像为1C ，1C 关于直线x y =对称的图像记为2C ．
(Ⅰ)求函数)(x f y '=的单调区间；
(Ⅱ)对于所有整数a （2-≠a ），1C 与2C 是否存在纵坐标和横坐标都是整数的公共点？若存在，请求出公共点的坐标；若不若存在，请说明理由．
选做题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系中，已知曲线C
的参数方程为2cos (x y θ
θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，直线l
过极坐标系内的两点)4A π
和(3,)2
B π
.
(Ⅰ)写出曲线C 和直线l 的直角坐标系中的普通方程； (Ⅱ)若P 是曲线C 上任意一点，求ABP ∆面积的最小值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b -≤的解集为{13}x x -≤≤. (Ⅰ)求a ，b 的值；
(Ⅱ)若()()0y a y b --<，求11
z y a b y
=
+--的最小值.
（三）
1-12: BACA CBDC ABBB
13. 4
.3
14. -27 15.
16.
1
(1)(2)(3)4
n n n n +++ 17.解：（Ⅰ） 93()124P A ==．（Ⅱ）所求的概率为2
132222323
⨯-⨯==⨯． 18. 解：（1）∵1a b ⋅=，
2
cos cos 1x x x ⋅+=，
112cos 2222
x x += ， ∴1sin 262x π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭． ∵ ≤≤-x 4π4π， ∴22363
x πππ-≤+≤， ∴266x ππ+=，∴ 0x =．
（2）由1
()sin 262f x a b x π⎛
⎫=⋅=++ ⎪⎝
⎭，∴22
T π
π==． ∴ 原函数单调减区间为2[,]6
3
k k π
π
ππ+
+
()Z k ∈． 19.（Ⅰ）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //； ∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥．
又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥； ∴BCE AE 平面⊥．
（Ⅱ）证明：依题意可知G 是AC 中点；
ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而BE BC =，
∴F 是EC 中点．在AEC ∆中，AE FG //，∴BFD AE 平面//． （Ⅲ） ∴3
1
31=⋅⋅=
=∆--FG S V V CFB BCF G BFG C ． 20. （Ⅰ）椭圆方程为2
213
x y +=，
（Ⅱ） M N 、是椭圆2
213
x y +=上的点，且OM ON ⊥，
B
C
故设
1
1
2
(c
o s
,s i n ),
M r r N r r θθθθ- .于是22
21
cos (sin )13r θθ+=2
222sin (cos )13r θθ+=， 从而22121114133r r +=+=.又2222
12122222122111()()24r r r r r r r r ++=++≥，从而2443
MN ⋅≥
即
MN ≥
故所求MN
. 21. 解：(Ⅰ) 设)(x g =)(x f '=a
x x a x a ++=+-+
12212，)(x g '=2
)(12a x a +-．当a ＞21
时，函数)(x f y '=在区间),(∞-a 、),(a --∞上单调递增；当a ＜
2
1
时，函数)(x f y '=在区间),(∞-a 、),(a --∞上单调递减．∴函数)(x f y '=的单调区间是),(∞-a 、),(a --∞．
(Ⅱ)易知2C 对应的函数为21--=
x ax y ． 由=++a
x x 1221--x ax
有[]
01)2()2(2=--++x a x a ，
∵2-≠a ，∴依题意知01)2(2
=--+x a x 的两根均为整数．
又由01)2(2
=--+x a x 有x x x x a -+=+-=12212，∴Z x
∈1
，1±=x ． 此时2=a ，纵坐标和横坐标都是整数的公共点是)1,1(与)1,1(--．
. 22（1）曲线C 的普通方程为22143
x y +=， ∵(2,2)A ，(0,3)B ∴直线l 的方程为260x y +-=．
（2
）由题意可设(2cos )P θθ，则点P 到直线AB 的距离
d =
=≥，
当sin()16
π
θ+
=时取得最小值，
∵AB ，∴ABP ∆面积的最小值为
1
1
2=． 23.（1）显然0b >，∵x a b -≤，∴b x a b -≤-≤，∴a b x a b -≤≤+，
∴13a b a b -=-⎧⎨+=⎩
，解得1,2a b ==. （2）由（1）知(1)(2)0y y --<，∴12y <<.
1112z y y =
+--11
()[(1)(2)]12y y y y
=+-+---21212y y y y --=++--，
∵12y <<，∴10,20y y ->->，∴24z ≥+=， 当且仅当
2112y y y y --=--，即32y =时，等号成立，∴当3
2
y =时，z 取得最小值4.。