高考数学黄金考点精析精训考点18不等关系和基本不等式理(2021学年)

20１8届高考数学黄金考点精析精训考点18 不等关系和基本不等式理编辑整理:
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考点18 不等关系和基本不等式
【考点剖析】
1。

最新考试说明:
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式（组)的实际背景,会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
２。

命题方向预测:
预计2018年高考对本节内容的考查将与命题、充要条件相结合，题型延续选择题或填空题,分值为４分到5分,与数列、函数相结合，将不等关系隐含其中,要求学生区分“等"与“不等",在复习时应予以关注，利用不等式性质和分析法,综合法，放缩法等证明不等式的命题趋势较强.
3．课本结论总结：
对于不等式的性质，关键是正确理解和运用,要弄清每一个性质的条件和结论,注意条件的加强或减弱、条件与结论的相互关系；在变形时要根据已知和要求证的式子的结构特征适当拆分、添项、减项及符号的变化等，多个式子同时用基本不等式，要注意各式取等号的条件必须同时成立．
4．名师二级结论:
不等式的证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点,加之题型广泛,涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐,亦成为历届高考中的热点问题,但高考几何不可能出现单独考查不等式证明的试题，命题方向重在考查逻辑推理能力，在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列、三角综合．比较法是不等式证明的最基本方法，综合法的应用反映了学生对已知条件和所学知识的驾驭能力,这两种方法都是高考的重点考查内容．
5。

课本经典习题：
(１）新课标Ａ版必修5第75页,B组2．已知0
>>>
c d
a b
>>,0
【解析】考虑采用分析法来证明不等式:a b a b ac bd d c d c
>⇒>⇔>,根据不等式的性质6，可知这是显然成立的,故得证。

【经典理由】结合具体实例，给出了利用分析法证明不等式的一般步骤及不等式性质的运用。

(2)新课标A 版必修5 第１０0页,练习2 已知直角三角形的面积等于5０,两条直角边各为多
少时,两条直角边的和最小,最小值是多少? 【解析】设两条直角边为a ，b ，根据基本不等式2
a b
ab +≥，即250a b +≥,当且仅当50a b ==时,等号成立，即最小值是250。

【经典理由】结合具体实例,给出了利用基本不等式求最值的运用. ６.考点交汇展示： （1)不等式与函数相结合
1.【２01７江苏，１１】已知函数31()2e e
x x f x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数. 若
2(1)(2)0f a f a -+≤则实数a 的取值范围是 。

【答案】1[1,]2
-
（２)不等式与数列相结合
【20１8贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列中，若,且，则的最小值为
( ）
A 。

4 B. 6 Ｃ。

８ D 。

１6 【答案】A
【解析】由等差数列性质得：
= ，
等号成立的条件为 ，故选A.
【考点分类】
热点1 不等关系与不等式
1。

记方程①：2110x a x ++=,方程②：2220x a x ++=,方程③:2340x a x ++=，其中1a ，2a ,3a 是正实数.当1a ,2a ,3a 成等比数列时，下列选项中,能推出方程③无实根的是（ )
Ａ．方程①有实根,且②有实根 B ．方程①有实根,且②无实根 C ．方程①无实根,且②有实根 D.方程①无实根，且②无实根 【答案】Ｂ
【解析】当方程①有实根,且②无实根时，2
2124,8a a ≥<，从而42
223
21816,4
a a a =<=即方程
③:2340x a x ++=无实根，选B.而A,Ｄ由于不等式方向不一致，不可推；Ｃ推出③有实根 2.【２０17北京，理1３】能够说明“设ａ,b ，c 是任意实数．若a>b>c,则ａ＋b>c”是假命题的一组整数ａ,b ，c 的值依次为______＿＿__＿___＿__＿__＿___＿_____. 【答案】—１,-2,－3(答案不唯一)
【解题技巧】
（1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质,例如第4题，需综合三角函数与指数函数的单调性来加以判断.
（2）特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题 【方法规律】
应用不等式的性质解题的常见类型及方法:（1）注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的,这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件;(２）若比较大小的两式是指数或对数模型,注意联想单调性；(３)恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题,填空题. 热点2 基本不等式
１.【201７天津,文理】若,a b ∈R , 0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为＿＿＿___＿__＿_.
【答案】4
【解析】
44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ,(前一个等号成立条件是222a b =,后
一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得,则当且仅当2224
a b ==时取等号).
2。

【2０17江苏,10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ ． 【答案】３0 【解析】总费用600900
464()4240x x x x +⨯=+≥⨯,当且仅当900
x x
=
,即30x =时等号成立． 【方法规律】
基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能,创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键,满足取等条件是前提。

“和定积最大,积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀． 【解题技巧】
必须掌握的三个不等式:（1)a ,b R ∈,则222a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号).(2)a ,b R ∈,
则2
2
2
()2
a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号).（3)a ，b R +∈，则2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号)．
【热点预测】
１.【２0１６高考新课标1卷】若101a b c >><<，
,则（ ） （Ａ)c c a b < （B)c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < (D)log log a b c c < 【答案】C
2.【2017山东,理３】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0;命题q:若a ＞b ，则a b 22＞,下列命题为真命题的是
(Ａ) ∧p q （B ）⌝∧p q
（Ｃ） ⌝∧p
q
（D ）⌝⌝∧p
q
【答案】Ｂ
3.【2018河南林州市第一中学模拟】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且8425S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为( )
A 。

10
B 。

15
C 。

20
D 。

25 【答案】C
综上可得，则9101112a a a a +++的最小值为20。

本题选择C 选项。

4.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，
在区间122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）
(Ａ)16 （B ）18 (Ｃ）25 （Ｄ)81
2
【答案】B
【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=-
-。

据题意，当2m >时,8
22
n m --
≥-即212m n +≤。

226,182
m n
m n mn +⋅≤∴≤。

由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下，据题意得,81
22
n m --
≤-即218m n +≤.281
29,22
n m n m mn +⋅≤
≤∴≤。

由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>。

所以
(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=,所以最大值为18。

选B 。

．
5.若,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ） A 。

ab b a b a >+>
>2 B 。

b ab b
a a >>+>2
Ｃ。

ab b b a a >>+>
2 D 。

b b a ab a >+>>2
【答案】B
6．【百强校】2017届湖南益阳市高三9月调研】已知0a >,0b >.若3是3a 与3b 的等比中项，则1
1a b
+的最小值为( )
Ａ.８ B ．４ C ．1 Ｄ．２ 【答案】B
【解析】由题意233(3)a b ⋅=，所以1a b +=，则1
111()()2a b a b a
b a b b a +
=++=++224a b b a
≥+⋅=（当且仅当a b =时等号成立），即最小值为4.故选B ．
7。

【【百强校】２017届山东枣庄三中高三9月质检】若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+,则11a
b
+的值为（ ）
A ．36 B.72 C.108 D ．216 【答案】Ｃ
【解析】设()2362log 3log log a b a b t +=+=+=,则42,273,6t t t a b a b ==+=,因此
116108.
23427
t t t a b a b ab
++===⋅ 选Ｃ。

8。

【2018黑龙江大庆实验中学模拟】若直线m ｘ+ny ＋2=0(m>0，ｎ＞0）截得圆()()2
2
311x y +++=的弦长为2，则
13
m n
+的最小值为( ） A 。

4 Ｂ. ６ Ｃ。

1２ Ｄ. 16 【答案】Ｂ
【解析】圆心坐标为()3,1--,半径为１，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即
320m n --+=,
32m n +=，所以
()1311332m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
1962n m m n ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
19622n m m n ⎛⎫
≥
+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
6=,当且仅当9n m m n =时取等号,因此最小值为６，故选B ． ９。

【2017山东，文】若直线1(00)x
y
a b a
b
+=＞，＞ 过点（1，2），则2a +ｂ的最小值为 。

【答案】8 【解析】
１0.若一次函数()f x 满足[()]1f f x x =+,则2()
()(0)f x g x x x
=>的值域为 . 【答案】),2[+∞。

【解析】由已知可设)0()(≠+=a b ax x f ，则b ab x a b b ax a x f f ++=++=2)()]([,又因为,[()]1f f x x =+,所以有⎪⎩
⎪⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧=+=21
1112b a b ab a ，故有21)(+=x x f ；从而21412141)21
()(2
=+⋅≥++=+=
x x x x x x x g ,当且仅当)0(41>=x x x 即2
1=x 时等号成立．故)(x g 的值域为),2[+∞.
11。

【201７浙江，1７】已知α∈R ，函数a a x
x x f +-+=|4
|)(在区间［１，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是____＿__＿＿__. 【答案】9
(,]2
-∞ 【解析】
12.关于的不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立,则实数m 的取值范围是__＿__＿_。

【答案】3-≤m .
【解析】∵22()4(2)4f x x x m x m =--=---在[]1,1-上为减函数,且不等式240x x m --≥对任意
[]1,1x ∈-恒成立,则只需03)1()(min ≥--==m f x f ，即3-≤m 。

１3.【百强校】2017届新疆兵团农二师华山中学高三上学前考】给出下列四个命题： （１)若,a b c d >>，则a d b c ->-； (２）若22a x a y >,则x y >； (３）a b >，则11
a b a
>-; （４)若
11
0a b
<<,则2ab b <. 其中正确命题的是 .(填所有正确命题的序号) 【答案】(1)(2)(4）
【解析】(３)中0a =时不等式不成立,故正确的只有（1)（２)(４）.
14。

【百强校】2015—2016内蒙古集宁一中】已知0a >,设命题P:函数x y a =在R 上单调递增，命题q ：不等式210ax ax -+>对任意实数都成立，若P 且q 为假，P 或q 为真,求a 的取值范围。

【答案】(][)0,14,+∞． 【解析】
x y a =在R 上单调递增
1a ∴>
又因为不等式210ax ax -+>对任意实数恒成立
20,40a a ∴∆<-<
04
:0 4..∴<<∴<<a q a 而命题P 且q 为假，P 或q 为真
那么p ，q 中一真一假
① ｐ真 q 假,则4a ≥;
② ｑ真ｐ假,则01<≤a .
所以a 的取值范围是(][)0,14,⋃+∞。

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