2018届甘肃省甘谷县第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试卷(含答案)

甘谷县第一中学高三上学期第三次月考
数学（理）试题
一、选择题（每题5分，12小题，共60分）
1.已知全集U =R , 集合{}
2
|20N A x x x =∈-≤, {}2,3B =, 则=)(B C A U I
(A)∅ (B){}0 (C){}1 (D){}0,1 2.已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域为（ ） A ．[0,1)(1,2]U B ．[0,1)(1,4]U C ．[0,1) D ．(1,4] 3. 根据下列条件,能确定ABC ∆有两解的是
(A)︒===120,20,18A b a (B)︒===60,48,3B c a (C)︒===30,6,3A b a (D)︒===45,16,14A b a 4. 设,,x y ∈R 则“2
2
2x y +≥”是“1x ≥，且1y ≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
5.若12,e e u r u u r 是两个单位向量，且()()
1212223e e e e +⊥-+u r u u r u r u u r ，则122e e +=u r u u r
( )
B. 6 D. 2
6．把函数())4
f x x π
=
-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，
再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为 (A)57[,]66ππ-
(B)719[,]66
ππ
(C)24[,]33
ππ
-
(D)175[,]66
ππ
-
- 7.已知数列{}n a 为等差数列，若
11
10
1a a <-，且其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大值n 为（ ）
A.11
B.19
C.20
D.21
8．下列四个结论：
①若0>x ，则x x sin >恒成立；
②命题“若0sin =-x x ，则0=x ”的逆否命题为“若0≠x ，则0sin ≠-x x ”； ③在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件.；
④命题“R x ∈∀， 0ln >-x x ”的否定是“0ln ,000<-∈∃x x R x ”． 其中正确结论的个数是 A ．1个
B ． 2个
C ．3个
D ．4个
9. 已知命题“R ∈∃x ，使02
1
)1(22≤+
-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是 （A ）)1,(--∞ （B ）)3,1(- （C ）),3(+∞- （D ）)1,3(- 10..函数233lg
)(2017++-+=x x
x
x f ,则f (2log 4)+(2)f -的值为 （ ） A ．-4 B ． 4 C ．2017 D ．0
11．已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r
，AD t AC =u u u
r u u u r ，若,,B O D 三点共线，则t 的
值为（ ）
A.3
2
B. 3
C. 2
D. 31
12已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ，若函数))((x f f 恰有4个零点，则m 的取值范围是（ ）.
A.)3,1(
B.)1,0(
C.],1(+∞
D.[]∞+，
3 .二、填空题（每题5分，4小题，共20分） 13设x ，y 满足约束条件
2330
233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是 .
14.已知实数成公差为1的等差数列，
成等比数列，
的取值范围是 .
15. 已知0a >，0b >且21a b +=，则2
1a b
+的最小值为 .
16. ABC ∆中，60,B AC =︒=
，则AB+2BC 的最大值为_________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17、（本小题满分10分） 若:p ：实数x 满足x 2
-4ax+3a 2＜0(a ＞0)，:q 实数x 满足11
(),(1,2)2
m x m -=∈。

（1）若1
4
a =
，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

18. （本小题满分12分）已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=，其中),(2
0π
α∈，且n m ⊥．
（1）求α2cos 的值； （2）若10
10
=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值．
19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足122n
n n a a +=+ *(,)n N R λ∈∈，且11a =．
（I ）证明数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足等
式
()()cos 2cos b C a c B π=+-. （I ）求角B 的大小；
（II ）若b =，且ABC S ∆=
a c +.
21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1
4(1)2(n a
n n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，
都有n n b b >+1成立．
22. （本小题满分12分）已知函数2
1()ln 2
f x x ax =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式()(1)1f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．
甘谷一中2017——2018学年度高三级第三次检测考试
数学试题（理科）答案
1D 2C 3D 4B 5A 6B 7B 8C 9B 10B 11D 12B
13、15- 14.
15. 8 16.
17.解：()I ()03:><<a a x a p ，41=
a 时 ，4
3
41:<<x p …（1分） 12
1
:
<<x q …（2分）q p ∧Θ为真 p ∴真且q 真 …（3分） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<12
14341x x ，得
43
21<
<x ，即实数x 的取值范围为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<4321x x …（5分） ()II q 是p 的充分不必要条件，记⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<=12
1x x A ，{}0,3><<=a a x a x B
则A 是B 的真子集…（7分）1231a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩或⎪⎩⎪⎨
⎧≥<1
321a a …（9分） 得2
1
31
≤≤a ，即a 的取值范围为
1132⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， …（10分）
18、解：法一（1）由m ⊥n 得，2cos sin 0αα-=， sin 2cos αα=， …（2分）
代入22cos sin 1αα+=，25cos 1α=且π(0)2α∈，，π
(0)2
β∈，，
则cos α=
sin α=，
则223
cos22cos 1215
αα=-=⨯-=-. …（6分）
（2）由π(0)2α∈，，π
(0)2β∈，得，ππ()22
αβ-∈-，.
因sin()αβ-=
，则cos()αβ-=…（9分） 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---
因π(0)2
β∈，，则π
4
β=
. （12分） 法二（1）由m ⊥ n 得，2cos sin 0αα-=，tan 2α=，
故2222
2
222cos sin 1tan 143
cos2cos sin cos sin 1tan 145
ααααααααα---=-====-+++.
（2）由（1）知，2cos sin 0αα-=， 且22cos sin 1αα+=， π(0)2α∈，，π
(0)2β∈，，
则sin α
，cos α= 由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.
因sin()αβ-
，则cos()αβ-=则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---
=
=
因π(0)2β∈，，则π4β=. 19证明：（I ）由*122n
n n a a n N +=+∈（）,等式两端同时除以12n +得到
∴
111222n n n n a a ++=+，即111
222
n n n n a a ++-=， …（5分） （II ）∵11122a =，∴数列2n n
a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为12，公差为12的等差数列， ∴
11(1)2222
n n a n
n =+-=， ∴12n n a n -= …（8分） ∴数列{}n a 的前n 项和：
0121123122232221222322n n n n S n S n =⋅+⋅+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅L ﹣，①
，②
②﹣①，得：
0121(22222n n n S n ++=-++⋅L ﹣)+，即2n n S n =1+(-1). …（12分）
20. 解：(Ⅰ)由()()cos 2cos πb C a c B =+-，得()()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=+⋅-， 则
sin 2sin cos A A B =-⋅，因为sin 0A ≠，所以1cos 2
B =-，
因为0πB <<，所以2π
3
B =. …（6分）
（Ⅱ）由1sin 2ABC S ac B ac ∆=
=⋅⋅=， 得3ac =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()2
22cos a c ac ac B =+--
且b =，2π3B =
得()2113662a c ⎛⎫=+--⨯- ⎪⎝⎭
即()2
16a c +=，所以4a c +=. …（12分）
21、解：（1）由已知，
()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）
，
即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．
∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+． …（5分）
（2）∵1n a n =+，∴11
4(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，
∴()()1
12114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，
∴()1
1343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立，
∴()
1
112n n λ---<恒成立． …（8分）
（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立， 当且仅当1n =时，12n -有最小值为1， ∴1λ<．…（10分）
（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立， 当且仅当2n =时，12n --有最大值2-， ∴2λ>-．
即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．
综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +> …（12分） 22.解：（1）2
11'()ax f x ax x
x
-=-=，
函数()f x 的定义域为(0,)+∞．
当0a ≤时，'()0f x >，则()f x 在区间(0,)+∞内单调递增；…（2分）
当0a >时，令'()0f x =
，则x =
，
当0x <<'()0f x >，()f x 为增函数，
当x >'()0f x <，()f x 为减函数．
所以当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；
当0a >时，()f x
的单调递增区间为
，单调递减区间为)+∞ …（5分）． （2）由2
1ln (1)12
x ax a x -
≤--，得22(ln 1)(2)x x a x x ++≤+， 因为0x >，所以原命题等价于2
2(ln 1)
2x x a x x
++≥+在区间(0,)+∞内恒成立． …（7分） 令22(ln 1)
()2x x g x x x
++=
+，则222(1)(2ln )'()(2)x x x g x x x -++=+， …（8分）
令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间(0,)+∞内单调递增，
由(1)10h =>，11
()2ln 2022h =-+
<，
所以存在唯一01
(,1)2
x ∈，使0()0h x =，即002ln 0x x +=，
所以当00x x <<时，'()0g x >，()g x 为增函数， 当0x x >时，'()0g x <，()g x 为减函数， 所以0x x =时，00max 2002(ln 1)()2x x g x x x ++=
+0002(2)x x x +=+01x =，所以0
1
a x ≥，
又01
(,1)2
x ∈，则
1
(1,2)x ∈, 因为a Z ∈，所以2a ≥， …（12分）。