利用二重积分的几何定义可求空间立体的体积

a cos
r
a2 r 2 dr
0
0
4

2
d


1

a cos
a2 r2
1
2d
a2 r2
0 2 0
4 2

2
d

2
0
3
a2 r2
3
2 a cos
0
4 3
2
0
d

a2

a2
cos2
面 x 2 y 2 ax
V。
的体积
所截得的那部分立体
解: 根据对称性，所求立 体既关于xy面对称，又 关于xz面对称。因此， 所求的立体体积是第一 卦限那部分体积的4倍， 即
V 4 a2 x2 y2 dxdy
R
其中R是曲线 x2 y2 ax与X轴所围成的半圆域
y 0。
y v

0
，
则结论依然成立。
K K

x, y u, v

J u,v
K J u, v K
同样 K ,K RK , 在RK 中对应唯一的一点
K，K
，而 K

x K,K

,
k

y K,K
于是，积分和
n
V e d x2 y2
R
e r2 rdrd
R
2 d a re r2 dr
0 0


2
0

1 er2 2

a 0
ea2 1
1 ea2
例4、求球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱
x r cos , y r sin
o
x
则双纽线方程为
r 2 cos2 r 2 sin2 2 2a2 r 2 cos2 r 2 sin2
即:
r 4 2a2r 2 cos2 sin2
r 2 2a2 cos 2 r 2a cos 2 (当 0，r 2a)
f K ,K K
K 1
n
f x K,K , y K,K
J


K
(1)
K 1
再根据隐函数组确定的反函数定理知函数组
x xu,v, y yu,v
在R上存在有连续偏导数的反函数组 u ux, y
v vx, y 且根据 f x, y, x xu,v, y yu,v
上区域 R变换成XY面上的区域R，且函数组:
x xu, v，y yu,v在 R上存在连续偏导数：
u,v R
，有
J

x, u,
y v

0
,则
f x, ydxdy f xu,v, yu,vJ u,vdudv
R
R
证：由于 f x, y 在R连续，可积。用任意分法
时，可考虑用极坐标变换 。
六、二重积分的一般变换
某些二重积分的积分区域比较复杂,如P340的 第5(1)、6(1)题、第7题。无论在直角坐标系中或用极坐 标变换都使计算很复杂，为此引入一般变换。
定理13. 若函数 f x, y 在有界闭域R连
续，函数组 x xu, v, y yu, v 将UV平面
0
0
rdr
R1
4

4
d

r
2
0
2
a 0
2cos 2

4
2 2a 2 cos 2d 0

4a 2
1 2
sin
2


2
小结:
一般情况下,当被积函数中含有:“x 2 y2”
或围成积分区域的边界曲线方程含有“: x 2 y 2”

3
2
a2
3 2
4

2 a3
1 sin3 d
30

4a 3 3


2 d
0
2
0
s
in
3
d

4 a3 2
3 2 3
例5、计算双纽线 x2 y2 2 2a2 x2 y2 所围成区 y 域的面积 S。 解: 作极坐标变换
且由双纽线的方程，知区域上的点必须满足:
x y , 且关于 X轴y轴对称 。因此所求面积
是第一象限面积的4倍，而双纽线围成的区域在
第一象限部分的区域 R1 的极坐标表示为:
0 r a 2cos 2 ，0
4

a 2cos2
故所求面积S 4 dxdy 4 4 d
因此所求的立体体积是第一卦限那部分体积的4倍其中r是ax所围成区域的面积sincossincossincoscos2a且由双纽线的方程知区域上的点必须满足
则:
x 2 y 2 a 2为r 2 a 2 , r a
因此R变换成极坐标 R : 0 r a,0 2
T将R分成 n 个小区域: R1，R2，..., Rn. 设其面积为
1, 2, ..., n, 于是，在R上有对应的分法 T 它将 R 对应的分成n个小区域 R1, ..., Rn ,
设其面积为

1， ...,


n
,
则根据函数行列式的
几何性质P224的定理3，知
u, v RK, 有
在R上的连续必为一致连续，因此，当 T 0时，
必有 T 0 而
n
lim
T 0 K 1
f
K ,K
K

R
f
x, y d
n
lim f
T 0 K 1
x K,K
, y K,K
J K , K K
f xu,v, yu,vJ u,vdudv R 于是，根据（1）式，知有
f x, yd f xu,v, yu,vJ dudv
R
R
说明:
若变换: x xu, v, y yu, v在 R
的个别点上或个别线段上有
x, u,
y 作极坐标变换:

x r cos , y r sin Ｏ
x2 y2 ax r 2 ar cos
r a cos
因此R为: 0 r a cos , 0
2
r
ax
于是:
V 4 a2 r 2 rdrd
R

4 2 d