车轮为什么做成圆形

Ⅰ．背景材料
用圆写格言
——芝诺的圆
古希腊哲学家芝诺关于学习知识是这样说的：“如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面，圆越大其圆周接触的无知面就越多．”
数学语言不仅用来表达和研究科学，而且可以精妙地表达人的思想、性格及追求等，而且是那么言简意赅．如前所述的一些格言，一方面折射出他们伟大的人生，一方面折射出数学之美．让我们喜欢数学、学好数学，用好数学；让我们也要那些数学写成的格言来描绘自己的人生轨迹，我们的人生价值和对人类的贡献将是无可限量的．
Ⅱ．课前准备
一、课标要求
经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．
二、预习提示
1．用集合的观点研究圆．
2．点与圆的三种位置关系：点在圆外、圆上、圆内．
3．预习方法提示：在小学数学中已经学过圆的概念，确定一个圆需要两个要素，它们缺一不可．要通过具体实例体会圆的本质．
三、预习效果反馈
1．确定一个圆的条件是和．
2．已知⊙O的半径r=2cm，平面上三点P、Q、R到点O的距离分别是38cm，πcm 和tan60°cm，则点P在，点Q在，点R在．
Ⅲ．课堂跟讲
一、背记知识随堂笔记
（一）必记概念
1．圆是平面上到的距离等于的所有点组成的图形．
2．圆心就是，半径是．
（二）必记关系
1．点和圆的位置关系有种：（1）点在圆内；（2）点在圆上；（3）点在圆外．
2．点在圆外，即这个点到圆心的距离半径；
点在圆上，即这个点到圆心的距离半径；
点在圆内，即这个点到圆心的距离半径．
（三）知识结构
二、教材中“？”解答
1．问题（P83）解答：车轮做成圆形运转起来最平稳．如果车轮做成正方形或长方形运转行走起来费力且不平稳，高低不平．
2．问题（P83）解答：用度题的方法或观察法判断这些点到圆心的距离相等．
3．问题（P83）解答：将这些特殊点推广到一般情况，圆上任意一点到圆心的距离是一个定值．
4．议一议（P83）解答：这样的队形对每个人都不公平．如果单纯考虑队形因素，那么排成圆形（成圆弧形）队形比较公平．
5．想一想（P84）解答：点A、点C到圆心的距离小于半径．点B到圆心的距离等于半径．点D、点E到圆心的距离大于半径．
设⊙O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有d＜r⇒点P在圆内；d=r⇒点P在圆上；d＞r⇒点P在圆外．
6．做一做（P85）解答：（1）如图3-1-1所求图形即P、Q两点．满足条件的点既在⊙A上，也在⊙B上，所以两圆公共点P、Q即为所求．
（2）如图3-4-2，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）．满足条件的点分别是⊙A和⊙B内部的公共部分．
三、重点难点易错点讲解
重点：圆及其有关概念，点与圆的位置关系．
难点：用集合的观念描述圆．
易错点：在理解圆的定义时，注意我们所定义的圆是指“圆周”，而不是指“圆面”．
四、经典例题精讲
（一）教材变型题
【例1】如图3-1-3，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．
思维入门指导：只需求出点D到圆心距离，分别与半径比较，就可以确定它与这三个
圆的位置关系．
解：∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，∴AB=
22BC AC +=5．由面积相等，得AC ·BC=AB ·CD ，∴CD=AB BC AC ⋅=5
12=2．4．∴d=CD=2．4． ∴d ＞r 1，d=r 2，d ＜r 3．
∴D 点与这三个圆的位置关系分别是在圆外、在圆上、在圆内．
点拨：此类问题关键是求出d 的值．
【例2】 如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．
思维入门指导：这是教材中本节随堂练习第1题的变型．
解：用一根很长的绳子可以在操场上画以绳子的长为半径的圆．具体操作如下：
将绳子的一端A 固定，然后拉紧绳子的另一端B ，并绕A 在地上转一圈，B 所经过的路径就是希望的圆．
点拨：此题利用了“圆”的定义．
（二）学科内综合题
【例3】 已知：如图3-1-4，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，∠AOC=∠BOC ，M 、N 分别为OA 、OB 的中点．求证：MC=NC ．
思维入门指导：利用全等三角形的对应边相等．
证明：∵OA 、OB 为⊙O 的半径，∴OA=OB ．
∵M 、N 分别为OA 、OB 的中点，∴OM=21OA ，ON=2
1OB ． ∴OM=ON ．
∵∠AOC=∠BOC ，OC=OC ，∴△MOC ≌△NOC ．∴MC=NC ．
点拨：“圆上各点到圆心的距离都等于半径”是解题的关键．
【例4】 设⊙O 的半径为2，点P 到圆心的距离OP=m ，且m 使关于x 的方程2x 2－22x ＋m －1=0有实数根，试确定点P 的位置．
思维入门指导：这是一道圆与方程的综合题，应由方程的条件确定m 的取值范围．进而确定点P 与圆的位置关系．
解：原方程有实根，∴△≥0，即（－22）2－4×2（m －1）≥0．解得m ≤2． ∵m ≥0，∴0≤m ≤2．∴点P 在⊙O 上或在⊙O 内．
点拨：由d 与r 的大小关系确定点的位置．
（三）学科间综合题
【例5】 城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？
思维入门指导：本题是物理学中爆破危险区域问题，我们可以利用点与圆的位置关系来
解决． 解：导火索的燃烧时间为9
.018=20（秒），人跑出的路程为20×6．5=130（米）． ∵130＞120，∴点导火索的人非常安全．
点拨：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120米为半径的圆的圆外部分．
（四）应用题
【例6】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400km 的B 处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km 的范围内将受到影响，问A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？
思维入门指导：求出A 市距沙尘暴中心的最近距离与300km 比较可得答案，本题实际考查与圆的位置关系和解直角三角形．
解：过A 作AC ⊥BD 于C ．
由题意，得AB=400km ，∠DBA=45°．在Rt △ACB 中，
∵sin ∠ABC=AB AC ，∴AC=AB ·sin ∠ABC=400×2
2=2002≈282．8（km ）． ∵2002＜300，∴A 市将受到沙尘暴的影响．
点拨：利用解直角三角形求出AC 即可．
Ⅳ．当堂练习（5分钟）
1．已知圆的半径等于5cm ，根据下列点P 到圆心的距离：（1）4cm ；（2）5cm ；（3）6cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由．
2．点A 在以O 为圆心，3cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是 ．
【同步达纲练习】
Ⅴ．课后巩固练习
（85分 60分钟）
一、基础题（14～16题每题5分，其余每题3分，共54分）
1．P 为⊙O 内与O 不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
A ．点P 到⊙O 上任一点的距离都小于⊙O 的半径
B ．⊙O 上有两点到点P 的距离等于⊙O 的半径
C ．⊙O 上有两点到点P 的距离最小
D ．⊙O 上有两点到点P 的距离最大
2．若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为（3，4），点P 的坐标为（5，8），则点P 的位置为（ ）
A ．在⊙A 内
B ．在⊙A 上
C ．在⊙A 外
D ．不确定
3．两个圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在（ ）
A ．甲圆内
B ．乙圆外
C ．甲圆外，乙圆内
D ．甲圆内，乙圆外
4．以已知点O 为圆心作圆，可以作（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
5．以已知点O 为圆心，已知线段a 为半径作圆，可以作（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
6．已知⊙O 的半径为3．6cm ，线段OA=7
25cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．A 点在圆外 B ．A 点在⊙O 上 C ．A 点在⊙O 内 D ． 不能确定
7．⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为（0，0），点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．点P 在⊙O 内
B ．点P 在⊙O 上
C ．点P 在⊙O 外
D ．点P 在⊙O 上或⊙O 外
8．在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图3-1-6，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2cm ，BC=4cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．
10．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为9cm ，则这圆的半径是 cm ．
11．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ．
12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15cm ，BC=10cm ，以A 为圆心，12cm 为半径作圆，则点C 与⊙A 的位置关系是 ．
13．⊙O 的半径是3cm ，P 是⊙O 内一点，PO=1cm ，则点P 到⊙O 上各点的最小距离是 ．
14．作图说明：到已知点A 的距离大于或等于1cm ，且小于或等于2cm 的所有点组成的图形．
15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．
16．在Rt △ABC 中，BC=3cm ，AC=4cm ，AB=5cm ，D 、E 分别是AB 和AC 的中点．以B 为圆心，以BC 为半径作⊙B ，点A 、C 、D 、E 分别与⊙B 有怎样的位置关系？
二、学科内综合题（8分）
17．已知：如图3-1-7，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ．若以A 为圆心作圆，使
B 、
C 、
D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A 的半径r 的取值范围．
三、应用题（10分）
18．如图3-1-8，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？
四、创新题（10分）
19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？
五、中考题（3分）
20．（2001，大连，3分）如图3-1-9，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
加试题：竞赛趣味题（15分）
1．如图3-1-10，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M 为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．
2．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．
参考答案
Ⅱ．三、1．半径；圆心
2．圆上；圆外；圆内点拨：首先计算38=2，π≈3．14，tan60°=3，再根据点到圆心的距离与半径的大小关系确定点与圆的位置关系。

Ⅲ．一、（一）1．定点；定长2．定点；定长
（二）1．3 2．大于；等于；小于
Ⅳ．一、1．解：（1）当d=4cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；
（2）当d=5cm时，∵d=r，∴点P在圆上；
（3）点d=6cm 时，∵d ＞r ，∴点P 在圆外．
点拨：利用点与圆的位置关系，由点到圆心距离与半径的大小比较．
2．0≤d ＜3
Ⅴ．一、1．B 点拨：点P 到圆心的距离小于半径，到点P 的距离等于⊙O 的半径的点都在以P 为圆心，以⊙O 的半径为半径的圆上．⊙O 和⊙P 有两个公共点，⊙O 上到点P 距离最小的点，只有一个；到点P 距离最大的点也只有一个．
2．A 点拨：本题两种方法，既可以画图，也可以计算AP 的长．
∵AP=()()224835-+-=2242+=20＜5，所以点P 在圆内．
3．C 点拨：点A 在两圆组成的圆环内．
4．D 点拨：确定一个圆需要两个条件，缺一不可．
5．A 点拨：圆心和半径是确定一个圆的必要条件．
6．C 点拨：用“点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系”来判定点与圆的位置关系．
7．A 解：OP=2224+=25，OP 2=20．∵r 2=25，∴OP ＜r ，∴点P 在⊙O 内． 点拨：比较OP 与半径r 的关系．
8．B 解；如答图3-1-1，连结CD ．∵D 为AB 的中点，∴CD=
21AB ． ∵AB=22BC AC +=42，∴CD=22＜4．
∵AC=BC=4，∴点C 和点D 在以C 为圆心，4cm 为半径的圆的内部．
9．点B ；点M ；点A 、C 点拨：AB=25cm ，CM=5cm ．
10．r=249+=6．5或r=2
49-=2．5 点拨：当点在圆外时，r=2．5；当点在圆内时，r=6．5．
11．半径；圆上
12．C 在⊙A 内 解：AC=22BC AB -=100225-=125＜144=12， ∴点C 在⊙A 的内部．
13．2 点拨：延长OP 与⊙O 相交于M 点，MP 为P 点到⊙O 上点的最近距离．同样延长PO 与⊙O 相交于N 点，NP 为P 点到⊙O 上点的最远距离．
14．解：如答图3-1-2所求图形为阴影部分（包括边界）．
15．解：菱形的四边中点在同一圆上，其圆心为菱形两对角线的交点，半径为菱形边长的一半．
点拨：如答图3-1-3，四边形ABCD 为菱形，E 、F 、G 、H 分别为四边中点，连结AC 、BD 、OE 、OF 、OG 、OH ．
可以证明OE=21AB ，OF=21BC ，OG=21CD ，OH=2
1AD ． 16．解：点A 在⊙B 外，点C 在⊙B 上，点D 在⊙B 内，点E 在⊙B 外． 二、17．解：在Rt △ABC 中，AC=
22BC AB +=2243+=5cm ．而AB=3cm ，AD=4cm ， ∴点B 在⊙A 内，r ＞3cm ；点C 在⊙A 外，r ＜5cm ．
∴3cm ＜r ＜5cm ．
点拨：本题关键是要求出A 与B 、C 、D 三点的距离，与点A 最近的即在圆内，与A 点最远的即在圆外，至于其他点并不涉及．
三、18．解：作AB ⊥MN 于B ．在Rt △ABP 中，∵∠APB=30°，∠ABP=90°，AP=160，∴AB=2
1AP=80． ∵点A 到直线MN 的距离小于100m ，∴这所学校会受到噪声的影响．
如答图3-1-4，若以点A 为圆心，100m 为半径画圆，那么⊙A 与直线MN 有两个交点．设交点分别是C 和D ，则AC=AD=100m ．
在Rt △ABC 中，CB=DB=
22AB AC -=2280100-=60（m ）， ∴CD=2BC=120（m ）， 因此学校受噪声影响的时间为18000120=150
1（时）=24（秒）．
四、19．解：如答图3-1-5，（1）∵点A 在⊙D 上，且AD 为中线，
∴AD ⊥BC ，BD=AD=DC ．∴∠5=∠ABD=∠1=∠ACD=45°．
∴当∠BAC=90°时，点A 在⊙D 上．
（2）∵点A 1在⊙D 内，∴∠3＞∠1,∠4＞∠5．
∴∠3＋∠4＞∠1＋∠5=90°，即∠BA 1C ∠BAC ．
∴顶角A 的度数大于90°且小于180°时，点A 在⊙D 的内部．
（3）与（2）同理，当顶角A 的度数大于0°且小于90°时，点A 在⊙D 的外部． 点拨：判断点与圆的位置关系，通常用比较点到圆心的距离与半径的大小来判断．本题讨论等腰三角形顶角的度数与顶点和圆的位置关系是一个创新．
五、20．C 解：∵OA=OC ，∴∠A=∠C ．∵∠BAC=20°，∴∠C=20°．
∵∠BOC=∠A ＋∠C ，∴∠BOC=20°＋20°=40°．
点拨：分析图形，灵活运用前面所学知识解题，体现了知识间的联系性．
加试题：1．解：点M 在⊙P 上．
点拨：取CD 中点P ，证明PM=21CD=2
BC AD =6．5，所以点M 在⊙P 上． 2．比如用相同材料制作容器，圆柱形的容器最大；耐压；搬动方便；比如大的油桶可在地面滚动；使用方便；比如圆柱形上的圆形盖子可以从任何一个角度盖上盖牢，其他形状就不便……。