(湖北专用)高考数学一轮复习 第八章立体几何8.4直线、平面平行的判定及其性质教学案 理 新人教A版

8.4 直线、平面平行的判定及其性质
考纲要求
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．
1．直线和平面平行
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面．
(2)判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
用符号表示为：________________.
其他判定方法：如果两个平面平行，其中一个平面内的直线一定和另一个平面平行．用符号表示为：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
(3)性质定理：如果一条直线和一个平面平行，__________________________________.
用符号表示为：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
2．两个平面平行
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行．
(2)判定定理：如果______________________________________，那么这两个平面平行．
用符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.
推论：如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行．
用符号表示为：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.
(3)性质定理：如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
用符号表示为：__________________________.
1．下列条件中，能判断两个平面平行的是( )．
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )．
A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直
3．已知不重合的直线a，b和平面α，
①若a∥α，b⊂α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b⊂α，则a∥α；
④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，
上面命题中正确的是__________(填序号)．
一、直线与平面平行的判定与性质
【例1】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC 的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
方法提炼
1．判断或证明两直线平行的常用方法： (1)三角形中位线； (2)平行四边形； (3)分线段成比例；
(4)利用公理4(a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c )；
(5)利用线面平行的性质定理(a ⊂α，a ∥β，α∩β＝b ⇒a ∥b )；
(6)利用面面平行的性质定理(α∥β，γ∩α＝a ，γ∩β＝b ⇒a ∥b )； (7)利用线面垂直的性质定理(a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b )． 2．判断或证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 请做演练巩固提升2
二、平面与平面平行的判定与性质
【例2－1】 如图，AB ，CD 是夹在两个平行平面α，β间的线段，且直线AB ，CD 是异面直线，M ，P 分别是AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面α.
【例2－2】 (2012山东淄博模拟)如图，在三棱锥A ­BOC 中，AO ⊥平面COB ，∠OAB ＝∠OAC ＝π
6
，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D ，E 分别为AB ，OB 的中点．
(1)求证：CO ⊥平面AOB ；
(2)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，若存在，试确定F 的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．
方法提炼
证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么
这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
请做演练巩固提升3
立体几何主观题的规范解答
【典例】 (12分)(2012山东高考)如图，几何体E­ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
规范解答：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD.(2分)
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，(5分)
因此BD⊥EO.
又O为BD的中点，
所以BE＝DE.(6分)
(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN.
因为M是AE的中点，
所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以MN∥平面BEC.( 8分)
又因为△ABD为正三角形，
所以∠BDN＝30°.
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°，
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
所以DN∥平面BEC.(10分)
又MN∩DN＝N，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM⊂平面DMN，
所以DM∥平面BEC.(12分)
证法二：延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .
因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°. (8分) 因为△ABD 为正三角形，
所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°，
所以AB ＝1
2
AF .(9分)
又AB ＝AD ，
所以D 为线段AF 的中点．(10分) 连接DM ，由点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .
又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .(12分)
答题指导：从近几年的高考来看，对立体几何解答题的考查的难度逐步降低，一般以低中档题的形式考查，因此在备考时要高度关注基础知识，避免不必要的失分．以下几点还应注意：
1．重视知识间的相互转化，如能熟练地将空间中的线线、线面、面面间的问题相互转化，以达到解决问题的目的；
2．重视解题规范性的训练，强化解题步骤的完整性和严谨性，避免不必要的失分； 3．重视立体几何中通过构造模型解题的训练和计算能力的培养．
1．对于平面α，β，γ和直线a ，b ，m ，n ，下列命题中是真命题的是( )． A ．若a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则a ⊥α B ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α
C ．若a ⊂β，b ⊂β，a ∥α，b ∥α，则β∥α
D ．若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b
2．(2012长沙模拟)已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：
(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n (2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧
m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3．(2012山东潍坊模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )．
A ．m ∥β且l 1∥α
B ．m ∥β且n ∥β
C ．m ∥β且n ∥l 2
D ．m ∥l 1且n ∥l 2
4．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别为棱AD，AA1，AB的中点，求证：直线EE1∥平面FCC1.
参考答案
基础梳理自测 知识梳理
1．(2)a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α (3)那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
2．(2)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 (3)α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b
基础自测 1．D
2．A 解析：A 错误，a 与α内的直线平行或异面．
3．④ 解析：①中a 与b 可能异面；②中a 与b 可能相交、平行或异面；③中a 可能在平面α内，④正确．
考点探究突破
【例1】 证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .
∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴O 是AC 的中点．
又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM .
又AP ⊄平面BMD ，OM ⊂平面BMD ， ∴AP ∥平面BMD .
又AP ⊂平面PAHG ，平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， ∴AP ∥GH .
【例2－1】 证明：经过A ，C ，D 三点可确定一个平面γ，并且分别与平面β，平面α交于AC ，FD ，根据两个平面平行的性质，可知AC ∥DF .
过A 作AE ∥CD ，交DF 于点E ，取AE 的中点N ，连接MN ，根据三角形中位线定理，MN ∥BE ，又NP ∥ED .
根据平行平面判定定理，知平面MNP ∥平面α. 因为MP ⊂平面MNP ， 所以直线MP ∥平面α.
【例2－2】 解：(1)因为AO ⊥平面COB ， 所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO ，
即△AOC 与△AOB 为直角三角形．
又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π
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，AB ＝AC ＝2，
所以OB ＝OC ＝1.
由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2
，可知△BOC 为直角三角形． 所以CO ⊥BO ，
又因为AO ∩BO ＝O ， 所以CO ⊥平面AOB .
(2)在线段CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点． 证明过程：如图，连接DF ，EF ，因为D ，E 分别为AB ，OB 的中点，所以DE ∥OA .
又DE ⊄平面AOC 上， 所以DE ∥平面AOC .
因为E ，F 分别为OB ，BC 的中点， 所以EF ∥OC .
又EF ⊄平面AOC ，
所以EF ∥平面AOC ，又EF ∩DE ＝E ，EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以平面DEF ∥平面AOC . 演练巩固提升
1．D 解析：A 中只有当m 与n 相交时才有a ⊥α；B 中若a ⊂α，则结论不成立；C 中a 与b 平行时结论不成立；故D 正确．
2．C 解析：若⎩
⎪⎨⎪⎧
m ⊥α，
n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；
若⎩⎪⎨
⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，
则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确； 若⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ⊥α，
n ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；
综上可得，真命题共有2个．
3．D 解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.
4. 2 解析：由EF ∥平面AB 1C ，可知EF ∥AC .
所以EF ＝12AC ＝1
2
×22＝ 2.
5．证明：方法一：取A 1B 1的中点为F 1，连接FF 1，C 1F 1，由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1，
因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1.
连接A 1D ，F 1C ，由于A 1F 1D 1C 1CD ， 所以四边形A 1DCF 1为平行四边形， 因此A 1D ∥F 1C .
又EE 1∥A 1D ，得EE 1∥F 1C ，而EE 1⊄平面FCC 1，F 1C ⊂平面FCC 1， 故EE 1∥平面FCC 1.
方法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4， AB∥CD，所以CD AF.
因此四边形AFCD为平行四边形，
所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，
又EE1⊂平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.。