2019年广东省汕头市贵屿中学高二数学文上学期期末试题含解析

2019年广东省汕头市贵屿中学高二数学文上学期期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）
A．f （﹣）=f（）B．f （﹣）＞f（）C．f （﹣）＜f（）D．不确定
参考答案：
C
【考点】H5：正弦函数的单调性．
【分析】利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f（﹣）与f（）的大小．
【解答】解：函数f（x）=cosx+2xf′（），
所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，f（x）=cosx+x，
则f（﹣）=cos﹣；f（）=cos+，
所以f （﹣）＜f（）．
故选C．
2. 设a，b∈R+，且a≠b，a+b=2，则必有（）
A．1≤ab≤B．＜ab＜1
C．ab＜＜1 D．1＜ab＜
参考答案：
D
【考点】基本不等式．
【分析】由a≠b，a+b=2，则必有a2+b2＞2ab，，化简即可得出．
【解答】解：∵a≠b，a+b=2，则必有a2+b2＞2ab，，∴1＜ab＜．
故选：D．
3. 已知抛物线的焦点坐标是（0，-3），则该抛物线的标准方程为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
4. 曲线与所围图形的面积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式进行运算即可．
【详解】作出两个曲线的图象，
由，解得或，
则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为
S（x2）dx＝（x3）（）﹣0，
故选：C．
【点睛】本题考查了曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．
5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）
A．10+4+4B．10+2+4C．14+2+4D．14+4+4
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图画出几何体的直观图，再根据面积公式求解．
【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为四棱锥，直观图如图：
底面是上、下底边长分别为2、4，高为2的梯形，
S梯形=（2+4）×2=6；
S侧面=×2×2+×2×2+×4×2+×2×=4+4+2，
S全=10+4+2．
故选B
【点评】本题考查几何体的三视图及几何体的面积．
6. p：m＞﹣3，q：方程+=1表示的曲线是椭圆，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出方程+=1表示的曲线是椭圆充要条件，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：若方程+=1表示的曲线是椭圆，
则，解得：m＞1，
故q：m＞1，
则p是q的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查椭圆的定义，是一道基础题．
7. 命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数。

用反证法证明该命题时，应反设的是（）
A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数
C．假设至多有一个偶数 D．假设至多有两个偶数
参考答案：
B
8. 从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（）
A． 96 B． 98 C． 108 D． 120
参考答案：
A
考点：排列、组合的实际应用．
专题：计算题．
分析：根据题意，首先计算从6个人中选取5人的情况数目，进而按照选出5人的身高与所站位置的不同分2种情况讨论：1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在4号第二高在5号，第三高在2号，分别求出每一种情况的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．
解答：解：根据题意，先从6个人中选取5人，有C65=6种取法，
进而分2种情况讨论：
1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，
则这5个人的排法有A22×A33=12种，
则此时有6×12=72种方法；
2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在4号第二高在5号，第三高在2号，
则此时有2×C65+2×C65=24种方法；
则一共有72+24=96种排法；
故选：A．
点评：本题考查排列、组合的运用，注意要分情况讨论选出5个人所站位置与其身高的情况．
9. 右边茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为（）
A. 3，5
B. 5，5
C. 3，7
D. 5，7
参考答案：
A
10. 将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为( )
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等腰梯形ABCD中，上底CD=1，腰AD=CB=，下底AB=3，以下底所在直线为轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为：___________
12. 若在R上可导,,则____________.
参考答案：
-18
13. 在平面直角坐标系中，椭圆内接矩形面积的最大值
为 .
参考答案：
略
14. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是,若,,=45°,则角A=_____________.
参考答案：
略
15. 在平面直角坐标系中, 二元一次方程 (不同时为)表示过原点的直线. 类似地: 在空间直角坐标系中, 三元一次方程
(不同时为)表示 .
参考答案：
过原点的平面；
略
16. 正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）
18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第个等式中．
6
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2
（1+3+5），…，即可得出结论．
解答：解：①2+4=6；
②8+10+12=14+16；
③18+20+22+24=26+28+30，…
其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，
所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2×=2n2，
当n=6时，等式的首项为2×36=72，
所以72在第6个等式中，
故答案为：6．
点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．
17. 已知双曲线的渐近线方程为，抛物线C：
的焦点F与双曲线E的右焦点重合，过F的直线交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，若向量与的夹角为120°，则的面积为_____.
参考答案：
【分析】
根据双曲线的几何性质，求得抛物线的方程为，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入抛物线的方程，由根与系数的关系，求得，设，根据向量的数量积的运算，求得，即可求解的面积．
【详解】由题意，双曲线，可得双曲线的焦点在轴上，且，
又由渐近线方程为，所以，解得，即，
所以双曲线的右焦点，
又因为抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，即，
解得，所以抛物线的方程为，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
代入抛物线的方程消去，可得，
设，由根与系数的关系，求得，
设，则，
又因为，
则，解得，
所以的面积为．
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质求得抛物线的方程，再根据直线抛物线的位置关系，利用根与系数的关系，利用向量的数量积求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在直线方程为，AC 边上的高BH所在直线方程为.
（1）求的项点B、C的坐标
（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m、0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P 求：圆M的方程
参考答案：
（1）AC边上的高BH所在直线方程为y=0,所以AC: x=0
又CD: ，所以C(0, )…………………………2分
设B(b, 0)，则AB的中点D()，代入方程
解得b=2, 所以B(2, 0) ……………………………………………………4分
（2）由A(0, 1), B(2, 0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为
BP也是圆M的弦，所以圆心在直线上. 设圆心M
因为圆心M在直线上，所以①
又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以.
即，整理得：②
由①②可得：，所以，半径
所以所求圆的方程为………………………………12分
19. 已知椭圆的极坐标方程为,点,为其左右焦点.以极点为
原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数,).
(1)求直线的普通方程和椭圆的直角坐标方程;
(2)求点,到直线的距离之和.
参考答案：
(Ⅰ)由的参数方程消去,得, 故直线的普通方程为.
由,
而所以,即,
故椭圆的直角坐标方程为.
20. 直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；
（2）若点 P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．
参考答案：
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式．
【分析】（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线l1：x+y﹣6=0的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案；
（2）直接由点到直线的距离公式求得a的值．
【解答】解：（1）由，解得．
即两直线的交点为（1，6），
∵直线l1：x+y﹣6=0的斜率为﹣1，
∴直线l的斜率为﹣1，
∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣1），即x+y﹣7=0；
（2）由题意知，，
整理得：|a﹣6|=1．解得：a=7或a=5．
【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
21. 已知双曲线C：﹣y2=1，P是C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．
参考答案：
【考点】KC：双曲线的简单性质；IR：两点间的距离公式．
【分析】（1）设P（x0，y0），由点到直线距离公式，得P到两准线的距离之积满足
，再结合点P坐标满足双曲线方程，代入化简整理即可得到
，命题得证．
（2）由两点的距离公式结合点P坐标满足双曲线方程，化简整理得
|PA|2=，再根据二次函数的图象与性质，即可求出|PA|的最小值．
【解答】解：（1）设P（x0，y0），P到两准线的距离记为d1，d2
∵两准线为x﹣2y=0，x+2y=0…..2'
∴…..4’
又∵点P在曲线C上，
∴=，得（常数）
即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数….6’
（2）设P（x0，y0），由平面内两点距离公式得
|PA|2=…8’
∵，可得=
∴|PA|2==…..9’
又∵点P在双曲线上，满足|x0|≥2，
∴当x0=4时，|PA|有最小值，|PA|min=2….12’
【点评】本题在双曲线中，证明动点到两条渐近线的距离之积为常数并求距离最小值，着重考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式和双曲线的简单性质等知识，属于中档题．
22. （本小题满分12分）某中学从参加高一年级上期期末考试的学生中抽出60名学生，
将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
(Ⅱ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一人，求选到第一名学生的概率（第一名学生只一人）.
参考答案：
（Ⅰ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为,
所以，抽样学生成绩的合格率是
% . .............6分
（Ⅱ），，”的人数是18,15,3. ―――9分
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一人，
选到第一名的概率. .............12分。