【教育资料】 课时分层作业14 求曲线的方程学习专用

课时分层作业(十四) 求曲线的方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨
迹方程是________．
[解析] PB →＝(3－x ，－y )，P A →＝(－2－x ，－y )，
∴P A →·PB →＝(3－x )·(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x . [答案] y 2＝x
2．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的__________条件．
[解析] “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．
[答案] 必要不充分
3．平面内有两定点A ，B ，且AB ＝4，动点P 满足|P A →＋PB →|＝4，则点P 的轨迹方程是________．
[解析] 以AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设A (－2,0)，B (2,0)．∵|P A →＋PB
→|＝|2PO →|＝4， ∴|PO →|＝2.
设P (x ，y )，∴
x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝4，
∴点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4. [答案] x 2＋y 2＝4
4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________.
【导学号：71392132】
[解析] 设Q (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝4上任一点，PQ 中点M (x ，y )，
则由中点坐标公式得⎩⎨⎧
x ＝x 0＋42，
y ＝y 0
－2
2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.
∵Q (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2
＝4.
∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝1即为中点轨迹方程． [答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝1
5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是________．
[解析] 由两点式，得直线AB 的方程是
y －04－0
＝x ＋12＋1
，即4x －3y ＋4＝0，AB
＝
(2＋1)2
＋42
＝5.设C 点的坐标为(x ，y )，则1
2×5×|4x －3y ＋4|5
＝10，
即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0. [答案] 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0
6．已知AB ＝3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，OP
→＝23OA →
＋13OB →，则动点P 的轨迹方程是________．
[解析] 设P (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)．∵AB ＝3，∴x 20＋y 2
0＝9，OP →＝(x ，y )＝23OA →＋13OB →＝23(x 0,0)＋13(0，y 0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x 0，13y 0.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2
3x 0，y ＝1
3y 0，即⎩⎨
⎧
x 0＝3
2x ，
y 0＝3y ，
又
x 20＋y 20＝9，所以94
x 2＋9y 2
＝9，即x 24
＋y
2＝1.
[答案] x 24＋y 2
＝1
7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
[解析]如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，
所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实
轴长为6的双曲线的右支，方程为x2
9－
y2
16＝1(x>3)．
[答案]x2
9－
y2
16＝1(x>3)
8．在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)，(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是________．
[解析]由B，C的坐标分别为(－2,0)，(2,0)得D(0,0)．设A(x，y)，则由AD ＝3得x2＋y2＝9，又A为△ABC的顶点，故A、B、C三点不能共线，故点A的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)．
[答案]x2＋y2＝9(y≠0)
二、解答题
9．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8，求动圆圆心的轨迹C的方程.
【导学号：71392133】[解]如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意知，O1A＝O1M，
①当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN垂足为H，则H是MN的中点，∵MN＝8，∴O1M＝O1H2＋HM2＝x2＋16.
又O1A＝(x－4)2＋y2，
∴(x－4)2＋y2＝x2＋16，化简整理得y2＝8x(x≠0)．
②当O1在y轴上时，O1与原点O重合为一点，O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x.
综上，动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
10．如图2-6-5，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A 点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
图2-6-5
[解]法一：设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴P A⊥PB，k P A·k PB＝－1.
而k P A＝4－0
2－2x
(x≠1)，k PB＝
4－2y
2－0
，∴
2
1－x
·
2－y
1＝－1(x≠1)．
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.
∵l1⊥l2，∴2PM＝AB.
而PM＝(x－2)2＋(y－4)2，
AB＝(2x)2＋(2y)2，
∴2(x－2)2＋(y－4)2＝4x2＋4y2，
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．
法三：∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M，
∴MP ＝MO ，∴点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线．
∵k OP ＝4－02－0
＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，
∴点M 的轨迹方程是y －2＝－1
2(x －1)， 即x ＋2y －5＝0.
[能力提升练]
1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．
[解析] 设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形， ∴MP 2＋NP 2＝MN 2，
∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，
∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)． [答案] x 2＋y 2＝4(x ≠±2)
2．已知在△ABC 中，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程是________．
[解析] 设△ABC 的重心为G (x ，y )；顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标
公式得⎩⎨⎧
x ＝－2＋0＋x 13
，
y ＝0－2＋y
1
3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2.∵点C (x 1，y 1)在曲线y ＝3x 2－1上，
∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.
即y ＝9x 2＋12x ＋3为所求轨迹方程．
[答案] y ＝9x 2＋12x ＋3
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，点B 在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA
→，则点M 的轨迹方程是________．
[解析] 设M (x ，y )，由题意得B (x ，－3)，A (0，－1)， ∴MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．
由MA →·AB →＝MB →·BA →得(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，
∴(－x )x ＋(－4－2y )(－2)＝0，化简得y ＝1
4x 2－2，即为点M 的轨迹方程．
[答案] y ＝14x 2
－2
4．过点A (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2
＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程.
【导学号：71392134】
[解] 法一：设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y ，得
(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0，
Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)[(1－2k )2－1]>0，得－2k 2＋4k >0，
∴0<k <2，x ＝x 1＋x 22＝－2k (1－2k )
1＋2k 2
. ∵中点满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y －1＝k (x －2)，x ＝2k (2k －1)
1＋2k 2，消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，
所以弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．
法二：设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
12＋y 21＝1，
x 2
22＋y 22＝1，
得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2
)＝0，∴y 1－y 2x 2－x 1
＝－1
2×x 1＋x 2y 1＋y 2，又∵k PQ ＝k AM ，∴y －1x －2＝－12×x y ，∴2y (y －1)＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2
－
2x －2y ＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部).。