2019版高中数学 第一章 导数及其应用章末检测试卷 新人教A版选修2-2

第一章 导数及其应用
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．由曲线y ＝x 2
，直线y ＝0和x ＝1所围成的图形的面积是( ) A.18 B.16 C.13
D.12
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 C
解析 由题意知，其围成的图形的面积为ʃ10x 2
d x ＝
⎪⎪⎪13x 310＝1
3
. 2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数
f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 A
解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a <x 1<x 2<x 3<b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上单调递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上单调递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．
3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s ＝13t 3
＋ln t ，则该物体在t ＝4时的速度为( )
A.649
B.645
C.657
D.654
考点 求瞬时速度
题点 用极限的思想求瞬时速度 答案 D
解析 s ′(t )＝t 2
＋1t
，则该物体在t ＝4时的速度为
s ′|t ＝4＝42＋14＝654
.
4．函数f (x )＝x 2
－ln 2x 的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，
22 B.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫
22，＋∞ C.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，22 D.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－
22，0，⎝
⎛⎦⎥⎤0，22 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A
解析 因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2
－1
x
，
所以f ′(x )≤0等价于⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，2x 2
－1≤0.
解得0<x ≤
2
2
. 5．已知曲线f (x )＝ln x 在点(2，f (2))处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0平行，则实数a 的值为( ) A.12 B ．－2 C ．2 D ．－12
答案 D
解析 f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1
x
，
可得曲线f (x )＝ln x 在点(2，f (2))处的切线斜率为1
2，由切线与直线ax ＋y ＋1＝0平行，可
得－a ＝1
2，
解得a ＝－1
2
.故选D.
6．若函数f (x )＝2xf ′(1)＋x 2
，则f ′(－1)
f (－1)
等于( )
A ．－34
B.34 C ．－65
D ．－56
考点 导数公式的应用 题点 导数公式的应用 答案 C
解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2， ∴f ′(1)＝－2，
∴f ′(x )＝－4＋2x ，f ′(－1)＝－6， 又f (－1)＝－2f ′(1)＋1＝5，∴
f ′(－1)f (－1)＝－6
5
.
7．下列定积分不大于0的是( ) A ．ʃ1
－1|x |d x B ．ʃ1
－1(1－|x |)d x C ．ʃ1－1|x －1|d x D ．ʃ1
－1(|x |－1)d x
考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 D
解析 A 项，ʃ1
－1|x |d x ＝2ʃ1
0x d x ＝1>0；
B 项，ʃ1
－1(1－|x |)d x ＝ʃ1
－11d x －ʃ1
－1|x |d x ＝2－1>0； C 项，ʃ1
－1|x －1|d x ＝ʃ1
－1(1－x )d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 21－1＝2>0； D 项，ʃ1
－1(|x |－1)d x ＝ʃ1
－1|x |d x －ʃ1
－11d x ＝1－2<0，故选D.
8．若函数y 1＝sin 2x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
的最小值为
( ) A.
212π＋52－6
4
B.
2π
12
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫52－642
D.(π－33＋15)
2
72
考点 导数的综合运用 题点 导数的综合运用 答案 D 解析
(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y 1上
与直线y 2平行的切线的切点到直线y 2的距离． ∵y ′1＝2cos 2x 1，令y ′1＝1， ∴cos 2x 1＝12，∵x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2
∴x 1＝π
6
，
∴y 1＝
1＋32，故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6
，1＋32，切点到直线y 2的距离为⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
π6－1＋32＋32
＝
π－33＋15
62
，
∴(x 1－x 2)2
＋(y 1－y 2)2
的最小值为(π－33＋15)
2
72
.故选D.
9．设函数f (x )＝1
3
x －ln x (x >0)，则f (x )( )
A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点
B ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 C
解析 由题意得f ′(x )＝
x －3
3x
. 令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；令f ′(x )＝0得x ＝3. 故函数f (x )在区间(0,3)内为减函数，在区间(3，＋∞)内为增函数， 在x ＝3处有极小值f (3)＝1－ln 3<0. 因为f (1)＝13>0，f (e)＝e
3
－1<0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ＝1
3e
＋1>0，
所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点． 10．函数f (x )在定义域R 上的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，
(x －1)f ′(x )<0.设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( ) A ．c <a <b B ．a >b >c C ．a <b <c
D ．a <c <b
考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A
解析 ∵当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0， ∴f ′(x )>0，
∴f (x )在区间(－∞，1)上为增函数．
又∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数．
∵a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)＝f (3)， ∴c <a <b .
11．如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝
f (n )－f (m )
n －m
，f ′(x 2)＝
f (n )－f (m )n －m ，则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”．已知函数f (x )＝x 3－x 2
＋a 是[0，
a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1 考点 数学思想方法在导数中的应用 题点 转化与化归思想在导数中的应用 答案 C
解析 ∵f (x )＝x 3
－x 2
＋a ，f ′(x )＝3x 2
－2x ， 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )， 满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝
f (a )－f (0)a
＝a 2
－a ， ∴方程3x 2
－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的解． 令g (x )＝3x 2
－2x －a 2
＋a (0<x <a )，
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－12(－a 2
＋a )>0，
g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2
－a >0，
0<13<a ，
解得1
2
<a <1.
12．已知函数f (x )＝ax 3
－3x 2
＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)
考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 B
解析 当a ＝0时，由f (x )＝－3x 2
＋1＝0， 解得x ＝±
3
3
，函数f (x )有两个零点，不符合题意． 当a >0时，令f ′(x )＝3ax 2
－6x ＝3ax ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －2a ＝0，
解得x ＝0或x ＝2
a
>0，
此时f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
∵当x →－∞时，f (x )→－∞，且f (0)＝1>0， ∴存在x 0<0，使得f (x 0)＝0，不符合题意．
当a <0时，令f ′(x )＝3ax 2
－6x ＝3ax ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －
2a ＝0，
解得x ＝0或x ＝2
a
<0，
此时f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
∵f (0)＝1>0，且当x →＋∞时，f (x )→－∞， ∴存在x 0>0，使得f (x 0)＝0. 又f (x )存在唯一的零点x 0，
∴极小值f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 3－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 2
＋1>0，
∴a >2或a <－2. ∵a <0，∴a <－2.
综上可知，a 的取值范围是(－∞，－2)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切线的斜率 答案 －1
解析 ∵y ′＝k ＋1
x
，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.
14．已知函数f (x )＝－x 3
＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [3，＋∞)
解析 由题意知f ′(x )＝－3x 2
＋a ≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2
在区间(－1,1)上恒成立，故a ≥3.
15.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：
①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性； ③函数f (x )在x ＝－1
2处取得极大值；
④函数f (x )在x ＝1处取得极小值． 其中正确的说法有________． 考点 函数极值的综合应用
题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 ①④
解析 由图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )>0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；
当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误； 当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，④正确．
16．若函数f (x )＝x 3
－3a 2
x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．
考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2
－3a 2
(a >0)， ∴当x <－a 或x >a 时，f ′(x )>0， 当－a <x <a 时，f ′(x )<0，
则当x ＝a 时，f (x )有极小值，当x ＝－a 时，f (x )有极大值，
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 3
－3a 3
＋a <0，－a 3＋3a 3
＋a >0，解得a >
2
2
. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b
x
，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满
足下列两个条件：
①f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数； ②f (x )的最小值是1.
若存在，求出a ，b ，若不存在，请说明理由． 考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数
解 设g (x )＝x 2＋ax ＋b x ，则g ′(x )＝x 2－b
x
2，
∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， 又∵f (x )的最小值为1，则g (x )的最小值为3， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
g ′(1)＝0，g (1)＝3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－b ＝0，a ＋b ＋1＝3，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1.
经检验，当a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件．
18．(12分)设函数f (x )＝a (x －5)2
＋6ln x ，其中a ∈R ，f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题
解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2
＋6ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝2a (x －5)＋6
x
(x >0)．
令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，
∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． ∵切线与y 轴相交于点(0,6)， ∴6－16a ＝8a －6，∴a ＝1
2
.
(2)由(1)知，f (x )＝12
(x －5)2
＋6ln x (x >0)，
f ′(x )＝(x －5)＋6
x
＝
(x －2)(x －3)
x
(x >0)．
令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝3.
当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，f (x )在区间(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在区间(2,3)上为减函数． 故f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝9
2＋6ln 2，
在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 19．(12分)已知函数f (x )＝x e x
－x －ax 2
. (1)当a ＝1
2
时，求f (x )的单调区间；
(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x (e x
－1)－12
x 2，
f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．
令f ′(x )＝0，则x ＝－1或0， 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；
当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.
故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． (2)f (x )＝x (e x
－1－ax )．
令g (x )＝e x
－1－ax ，则g ′(x )＝e x
－a .
若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数， 而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0.
若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0， 从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．
20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为
x 元时，产品一年的销售量为k
e
x (e 为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元
时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)设该产品一年的销售量为Q (x )＝k
e x ，
则
k
e
40
＝500，
所以k ＝500e 40
，则该产品一年的销售量Q (x )＝500e
40
e x ，
则该产品一年的利润L (x )＝(x －a －30)500e
40
e x
＝500e 40
·
x －a －30
e
x
(35≤x ≤41)．
(2)L ′(x )＝500e 40
·31＋a －x e x
. ①若2≤a ≤4，则33≤a ＋31≤35，
当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0，L (x )单调递减， 所以当x ＝35时，L (x )取得最大值为500(5－a )e 5
； ②若4<a ≤5，则35<a ＋31≤36，
令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知当x ＝a ＋31时，L (x )取得最大值为500e 9－a .
综上所述，当2≤a ≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5
万元；
当4<a ≤5，且每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e 9－a 万元．
21．(12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．
(1)求g (x )的最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 的大小关系． 考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
解 (1)由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x
， 即g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.
当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减．
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，
因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以最小值为g (1)＝1.
(2)g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝－ln x ＋x . 设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x
， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0， 即h (x )在(0，＋∞)上单调递减．
当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x . 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x . 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x . 22．(12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2
－x ＋a .
(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．
考点 函数极值的综合应用
题点 函数零点与方程的根
解 (1)由f (x )≥h (x )，
得m ≤x
ln x 在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2， 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；
当x ∈(e，＋∞)时，g ′(x )>0，
所以g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． 故当x ＝e 时，g (x )有最小值且最小值为g (e)＝e.
所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]．
(2)由题意，得k (x )＝x －2ln x －a .令φ(x )＝x －2ln x ， 又函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，
相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．
φ′(x )＝1－2x ＝x －2x
， 当x ∈(1,2)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，
当x ∈(2,3)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2<a <3－2ln 3.
即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。