高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数、导数及其应用

第14讲 定积分与微积分基本定理
1．求曲线y ＝x 2
与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )
A ．S ＝∫10(x 2－x)dx
B ．S ＝∫10(x －x 2
)dx
C ．S ＝∫10(y 2－y)dy
D ．S ＝∫10(y －y)dy
解析：选B .两函数图像的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故积分上限是1，下限是0.由于在
[0，1]上，x ≥x 2，故曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝∫10(x －x 2
)d x.
2．(2016·开封诊断考试)若⎠⎛0
1(x 2
＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )
A ．－13
B ．－23
C ．－1
D ．－2
解析：选B.由题意知，⎠
⎛0
1(x 2
＋mx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3
3＋mx 2
2⎪⎪⎪1
＝13＋m 2＝0，得m ＝－2
3
. 3．(2016·太原八校联考)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1
e ln x d x ＝( )
A ．1
B ．e
C ．e －1
D ．e ＋1
解析：选A .由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x)′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1
e ln
x d x ＝(x ln x －x)⎪⎪⎪
e
1
＝(eln e －e )－(1×ln 1－1)＝1.
4．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32
g D ．2g
解析：选C .由题意知电视塔高为∫2
1gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32
g.
5．(2016·金华十校联考)设f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
，x ∈[0，1]，
2－x ，x ∈（1，2]，
则⎠⎛0
2f(x)d x 等于( )
A.3
4 B.45
C.56 D ．不存在
解析：选C .
如图，⎠⎛0
2f(x)d x
＝⎠⎛01x 2
d x ＋⎠⎛1
2(2－x)d x
＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪2
1
＝13＋⎝
⎛
⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.
6．如图，由曲线y ＝x 2
和直线y ＝t 2
(0<t<1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积
的最小值是( )
A.14
B.12 C ．1
D ．2
解析：选A .设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t 0(t 2－x 2)d x ＋∫1t (x 2－t 2
)d x ＝43t 3－
t 2
＋13，由S ′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝12
为S(t)在区间(0，1)上的最小值
点，此时S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14
.
7．(2016·江西省八校联考)计算⎠⎛－3
3(x 3
cos x)d x ＝________．
解析：令f(x)＝x 3cos x ，则f(x)是奇函数，所以，由定积分的几何意义知∫3－3(x 3
cos x)d x ＝0. 答案：0
8．若m>1，则f(m)＝⎠⎛1
m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f(m)＝⎠⎛1
m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ⎪⎪⎪m
1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．
答案：－1
9．(2016·南昌调研测试卷)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2
所围图形的面积等于________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或2
3
，所以所求面积为
∫230⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
3x －x 2d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪2
30
＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－0＝481.
答案：4
81
10.⎠⎛－1
1(1－x 2
＋x)d x ＝________．
解析：⎠⎛－11(1－x 2
＋x)d x ＝⎠⎛
－1
1
1－x 2
d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－1
1
1－x 2
d x
等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－1
11－x 2
d x ＝π
2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2⎪⎪⎪1
－1
＝0，所以⎠
⎛－1
1(1－x 2
＋
x)d x ＝π2.
答案：π
2
11．求下列定积分： (1)⎠⎛1
2⎝
⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π
0(cos x ＋e x
)d x.
解：(1)⎠⎛1
2⎝
⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛1
2x d x －⎠⎛1
2x 2
d x ＋⎠⎛1
21x
d x ＝x 22|21－x 3
3|21＋ln x|2
1＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x
)d x ＝⎠⎛－π
0cos x d x ＋⎠⎛－π
0e x
d x
＝sin x|0－π＋e x |0
－π＝1－
1
e π
.
12．求曲线y ＝x 2
，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．
解：作出曲线
y ＝x 2
，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2
，
y ＝x ，得交点(1，1)，(0，0)，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x 2
，
y ＝3x ，
得交点(3，9)，(0，0)，
因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01(3x －x)d x ＋⎠⎛1
3(3x －x 2
)d x
＝⎠⎛0
12x d x ＋⎠⎛1
3(3x －x 2
)d x
＝x 2
⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32
x 2－13x 3⎪⎪⎪3
1＝
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝13
3
.。