2014-2015学年海南省海口市龙华区海南中学高一(上)数学期末试卷 及解析

2014-2015学年海南省海口市龙华区海南中学高一（上）期末数
学试卷
一.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分.在每题所给的四个选项中有且只有一个是正确的）
1．（5.00分）tan300°的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
2．（5.00分）已知向量=（﹣1，2），=（2，x），若⊥，则实数x等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
3．（5.00分）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα+2cosα的值等于（）A．B．C．1 D．
4．（5.00分）下面的函数中，周期为π的奇函数是（）
A．y=tan2x B．y=cos2x C．y=sin2x D．
5．（5.00分）在△ABC中，=，设=，=，则向量=（）A．+ B．+ C．﹣D．﹣+
6．（5.00分）已知向量，则向量与的夹角为（）
A．30o B．60o C．120o D．150o
7．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A、ω＞0）的图象如图所示，则其解析式可以是（）
A．B．C． D．
8．（5.00分）若函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，则它的
图象的一个对称中心为（）
A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
9．（5.00分）函数的单调递增区间是（）
A．[2kπ+π，2kπ+π]（k∈Z）B．[4kπ+π，4kπ+π]（k∈Z）
C．[2kπ﹣π，2kπ+π]（k∈Z）D．[4kπ﹣π，4kπ+π]（k∈Z）10．（5.00分）已知△ABC中，P为边BC上的一点，且•（﹣）=0，=（+），则△ABC的形状为（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
11．（5.00分）由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，可将f（x）的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
12．（5.00分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P 是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB=（）
A．10 B．8 C．D．
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．（5.00分）扇形的圆心角为弧度，半径为4cm，则扇形的面积是cm2．
14．（5.00分）已知A（2，3），B（3，0），且=﹣2，则点C的坐标为．15．（5.00分）△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，，
则∠B=．
16．（5.00分）给出下列说法，其中说法正确的序号是．
①小于90°的角是第Ⅰ象限角；②若α是第Ⅰ象限角，则t anα＞sinα；
③若f（x）=cos2x，|x2﹣x1|=π，则f（x1）=f（x2）；
④若f（x）=sin2x，g（x）=cos2x，x1、x2是方程f（x）=g（x）的两个根，则|x2﹣x1|的最小值是π．
三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（12.00分）已知函数．
（1）化简函数f（x）的解析式；
（2）若α为第三象限角且，求sinα的值．
18．（10.00分）已知、、是同一平面内的三个向量，其中，，
（1）若，求m的值；
（2）若与共线，求k的值．
19．（12.00分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最小值，并求取得最小值时x的值．20．（12.00分）已知向量，．
（1）若，，求sin（α+2β）的值；
（2）若，求的取值范围．
21．（12.00分）已知f（x）=Asin（x+）（A≠0）．
（1）若A=1，将f（x）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式及对称轴方程．
（2）若α∈[0，π]，f（α）=cos2α，sin2α=﹣，求A的值．
22．（12.00分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA，sinA+cosA）与=（sinA﹣cosA，1+sinA）共线，且•＞0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin2+cos的值域．
2014-2015学年海南省海口市龙华区海南中学高一（上）
期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分.在每题所给的四个选项中有且只有一个是正确的）
1．（5.00分）tan300°的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：tan300°=tan（300°﹣360°）=tan（﹣60°）=﹣tan60°=﹣
故选：B．
2．（5.00分）已知向量=（﹣1，2），=（2，x），若⊥，则实数x等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
【解答】解：；
∴；
∴﹣2+2x=0，解得x=1．
故选：A．
3．（5.00分）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα+2cosα的值等于（）A．B．C．1 D．
【解答】解：利用任意角三角函数的定义，sinα=﹣，cosα=，
∴sinα+2cosα=﹣+2×=1，
故选：C．
4．（5.00分）下面的函数中，周期为π的奇函数是（）
A．y=tan2x B．y=cos2x C．y=sin2x D．
【解答】解：对于A，y=tan2x的周期为T=，不合题意；
对于B，y=cos2x是偶函数，不合题意；
对于C，y=sin2x的周期为T=π，且是奇函数，满足题意；
对于D，y=sin的周期为T=4π，不合题意．
故选：C．
5．（5.00分）在△ABC中，=，设=，=，则向量=（）A．+ B．+ C．﹣D．﹣+
【解答】解：=；
故选：A．
6．（5.00分）已知向量，则向量与的夹角为（）
A．30o B．60o C．120o D．150o
【解答】解：设向量与的夹角为θ，∵向量，∴﹣4+4=12，即4﹣4×2×1×cosθ+4=12，∴cosθ=﹣，
∴θ=120°，
故选：C．
7．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A、ω＞0）的图象如图所示，则其解析式可以是（）
A．B．C． D．
【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A、ω＞0）的图象，可得A=1，
=•=+，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），
故选：D．
8．（5.00分）若函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为（）
A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
【解答】解：由于函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）的最小正周期为=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+），令2x+=kπ，k∈z，
可得x=﹣，故函数的图象的对称中心为（﹣，0）．
结合所给的选项，
故选：B．
9．（5.00分）函数的单调递增区间是（）
A．[2kπ+π，2kπ+π]（k∈Z）B．[4kπ+π，4kπ+π]（k∈Z）
C．[2kπ﹣π，2kπ+π]（k∈Z）D．[4kπ﹣π，4kπ+π]（k∈Z）
【解答】解：=﹣sin（+），
令2kπ+＜+＜2kπ+，k∈Z，解得4kπ+π＜x＜4kπ+π，k∈Z
函数的递增区间是[4kπ+π，4kπ+π]（k∈Z）
故选：B．
10．（5.00分）已知△ABC中，P为边BC上的一点，且•（﹣）=0，=（+），则△ABC的形状为（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
【解答】解：根据条件，=
=
=0；
∴；
∴△ABC的形状为等腰三角形．
故选：D．
11．（5.00分）由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，可将f（x）的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
【解答】解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=g（x）的图象，
故选：D．
12．（5.00分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P 是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB=（）
A．10 B．8 C．D．
【解答】解：△OPB中，OB==2，点P（，1），点B（2，0），
∴OP==，PB==，由余弦定理可得
4=+﹣2××cos∠OPB，
∴cos∠OPB=．
∴sin∠OPB=，tan∠OPB==8，
故选：B．
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．（5.00分）扇形的圆心角为弧度，半径为4cm，则扇形的面积是12 cm2．
【解答】解：∵圆心角为弧度，半径r为4cm，
∴扇形的面积S=r2θ==12．
故答案为：12．
14．（5.00分）已知A（2，3），B（3，0），且=﹣2，则点C的坐标为（4，﹣3）．
【解答】解：∵=﹣2，∴，
∴=2（3，0）﹣（2，3）=（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
15．（5.00分）△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，，则∠B=45o或135o．
【解答】解：∵，可得：sinA==，
∴由正弦定理可得：sinB===，
∵B∈（0°，180°），
∴B=45°或135o．
故答案为：45o或135o．
16．（5.00分）给出下列说法，其中说法正确的序号是②③．
①小于90°的角是第Ⅰ象限角；②若α是第Ⅰ象限角，则tanα＞sinα；
③若f（x）=cos2x，|x 2﹣x1|=π，则f（x1）=f（x2）；
④若f（x）=sin2x，g（x）=cos2x，x1、x2是方程f（x）=g（x）的两个根，则|x2﹣x1|的最小值是π．
【解答】解：对于①：如﹣30°＜90°，在第四象限，故①错误；
对于②：tanα﹣sinα=﹣sinα=，
∵α是第Ⅰ象限角，∴1﹣cosα＞0，c osα＞0，
∴tanα﹣sinα＞0，即tanα＞sinα，故②正确；
对于③：由|x2﹣x1|=π，得：x2=x1±π，
∴f（x1）﹣f（x2）=cos2x1﹣cos2（x1±π）
=cos2x1﹣cos（2x1±2π）
=cos2x1﹣cos2x1=0，
故③正确；
对于④：令x1=，x2=，代入方程，满足方程，而|x2﹣x1|=．
故④错误；
故答案为：②③．
三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（12.00分）已知函数．
（1）化简函数f（x）的解析式；
（2）若α为第三象限角且，求sinα的值．
【解答】解：（1）函数==tanx．（2）∵，∴，∴，
又α为第三象限角，所以．
18．（10.00分）已知、、是同一平面内的三个向量，其中，，
（1）若，求m的值；
（2）若与共线，求k的值．
【解答】解：（1），（2分）
，
∵，
∴，（4分）
解得m=﹣1．（15分）
（2）由已知：，，（6分）
∵，
∴：k﹣2=4（2k+3），（9分）
∴k=﹣2．（10分）
19．（12.00分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最小值，并求取得最小值时x的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x
=sin2x﹣
=（sin2x﹣cos2x）﹣
=sin（2x﹣）﹣，…（4分）
由得，最小正周期T=π；…（6分）
（2）∵，∴，…（7分）
∴，…（9分）
∴…（10分）
当，即时，
f（x）=sin﹣=×（﹣）﹣=﹣1，取得最小值﹣1．…（12分）
20．（12.00分）已知向量，．
（1）若，，求sin（α+2β）的值；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）=；
∴；
∵0≤α+β≤π；
∴；
又，，；
∴sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]
=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ
=
=；
（2）由已知得：；
∴=；
令t=sinα，∵，∴t∈[0，1]；
=；
∴时，取最小值，t=0时，取最大值；
∴的范围是．
21．（12.00分）已知f（x）=Asin（x+）（A≠0）．
（1）若A=1，将f（x）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式及对称轴方程．
（2）若α∈[0，π]，f（α）=cos2α，sin2α=﹣，求A的值．
【解答】解：（1）∵A=1，∴f（x）=sin（x+），将f（x）的图象上各点的纵坐标不变，
横坐标缩短为原来的2倍，可得y=sin（x+）的图象；
再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，
得到g（x）=2sin（x+）的图象．
令x+=kπ+，求得x=2kπ+，k∈Z，可得g（x）的图象对称轴方程为x=2kπ+，k∈Z．
（2）若α∈[0，π]，f（α）=Asin（α+）=cos2α，sin2α=﹣，
再根据cos22α+sin22α=A2sin2（α+）+=1，求得Asin（α+）=，
即（sinα+cosα）=，平方可得A2（1+sin2α）=，∴A2=，∴A=．
22．（12.00分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA，sinA+cosA）与=（sinA﹣cosA，1+sinA）共线，且•＞0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin2+cos的值域．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知：（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）=0；
∴2（1﹣sin2A）﹣sin2A+cos2A=0；
∴；
又A为三角形内角，所以；
由知A为锐角；
∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知：；
所以：
=
；
又；
∴；
∴；
∴；
因此函数的值域为．。