2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用质量评估新人教A版选择性

第五章质量评估
(时间:120分钟分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.下列求导正确的是()
A.'=
B.(e x x2)'=e x x2·(1+2x2)
C.(6cos x)'=6sin x
D.(+ln x)'=
答案:D
2.设f(x)在x=x0处可导,则=()
A.f'(x0)
B.f'(x0)
C.f'(x0)
D.2f'(x0)
解析:==f'(x0).
答案:A
3.曲线y=x在点(1,1)处的切线的斜率等于 ()
A.2e
B.e
C.2
D.1
解析:y'=e x1+x e x1=(x+1)e x1,故曲线在点(1,1)处的切线的斜率为y'|x=1=2.
答案:C
4.函数f(x)=的大致图象是()
解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠0},f(x)===f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B,D.
因为当x∈(0,+∞)时,f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=e,
所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以选A.
答案:A
5.函数f(x)=x2ln(2x)的单调递减区间是() A.B.,
C.,
D.
答案:A
6.某底面为正方形的长方体箱子的容积V与底面边长x之间的关系为
V(x)=x2·(0<x<60),则当箱子的容积V最大时,箱子底面边长x为 (
解析:V(x)=x3+30x2,
所以V'(x)=x2+60x=x(x40).
令V'(x)=0,得x=0或x=40,
所以当0<x<40时,V'(x)>0,
当40<x<60时,V'(x)<0.
所以V(x)在区间(0,40)内单调递增,在区间(40,60)内单调递减,
所以x=40是V(x)的极大值点,也是最大值点.
答案:B
7.设函数f(x)的导函数是f'(x),若f(x)=f'cos x sin x,则f'=()
A. B. C. D.
解析:f(x)=f'cos x sin x,
则f'(x)=f'sin x cos x,
所以f'=f'sin cos,
所以f'=0,所以f(x)=sin x,
所以f'(x)=cos x,所以f'=,故选A.
答案:A
8.已知f(x)为定义在区间(0,+∞)上的可导函数,若f(x)>xf'(x)恒成立,则不等式
x2f f(x)>0的解集为() A.(0,1) B.(1,2)C.(1,+∞) D.(2,+∞) 解析:令F(x)=(x>0),则F'(x)=.因为f(x)>xf'(x),所以F'(x)<0,即F(x)在区间(0,+∞)上为减函数.由不等式x2f f(x)>0,得>,所以<x,所以x>1.
答案:C
二、多项选择题:本题共4小题,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)的定义域为R,且导数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是()
A.函数f(x)的单调递增区间是(2,0),(2,+∞)
B.函数f(x)的单调递增区间是(∞,2),(2,+∞)
D.2是函数f(x)的极小值点
解析:由题图可知,当x<2时,xf'(x)<0,即f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当2<x<0时,xf'(x)>0,即f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当0<x<2时,xf'(x)<0,即f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>2时,xf'(x)>0,即f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间是(∞,2),(2,+∞),则B项正确,A项错误;2是函数f(x)的极大值点,2是函数f(x)的极小值点,则D项正确,C项错误.
答案:BD
10.若函数f(x)的导数f'(x)的图象关于y轴对称,则函数f(x)的解析式可能为()
A.f(x)=3cos x
B.f(x)=x3+x
C.f(x)=x+
D.f(x)=e x+x
解析:根据题意,依次分析各选项.
对于选项A,f(x)=3cos x,其导数f'(x)=3sin x为奇函数,图象不关于y轴对称,不符合题意;
对于选项B,f(x)=x3+x,其导数f'(x)=3x2+1为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;
对于选项C,f(x)=x+,其导数f'(x)=1为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;
对于选项D,f(x)=e x+x,其导数f'(x)=e x+1不是偶函数,图象不关于y轴对称,不符合题意.
答案:BC
11.直线y=x+b能作为下列函数图象的切线的有() A.f(x)=B.f(x)=x4
C.f(x)=sin x
D.f(x)=e x
解析:直线y=x+b的斜率为,对于f(x)=,f'(x)==不成立,所以选项A不符合题意;
对于f(x)=x4,f'(x)=4x3=可以成立,所以选项B符合题意;
对于f(x)=sin x,f'(x)=cos x=可以成立,所以选项C符合题意;
对于f(x)=e x,f'(x)=e x=可以成立,所以选项D符合题意.
答案:BCD
12.已知函数f(x)=x32x24x7,其导数为f'(x),下列命题中真命题为()
A.函数f(x)的单调递减区间是
C.当a>2时,对任意的x>2,且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f'(a)(xa)
D.函数f(x)有且只有一个零点
解析:f(x)=x32x24x7的导数为f'(x)=3x24x4.
令f'(x)=0,解得x=或x=2.
当f'(x)>0,即x<或x>2时,函数f(x)单调递增;
当f'(x)<0,即<x<2时,函数f(x)单调递减.
故当x=2时,函数有极小值,极小值为f(2)=15,当x=时,函数有极大值,极大值为
f=,
故函数f(x)只有一个零点.
故选项A错误,选项B,D正确.
当a>2时,要证明对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f'(a)(xa),即证明
f(x)f(a)f'(a)(xa)=x3+2a32x22a23a2x+4ax>0在x>2,a>2,且x≠a时恒成立, 令g(x)=f(x)f(a)f'(a)(xa),
则g'(x)=3x24x3a2+4a,
令h(x)=g'(x),h'(x)=6x4.
因为当x>2时,h'(x)>0,所以g'(x)在区间(2,+∞)上单调递增.
又因为g'(a)=0,所以当2<x<a时,g'(x)<0,当x>a时,g'(x)>0,
所以g(x)在区间(2,a)内单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.
因为x≠a,所以g(x)>g(a)=0恒成立,
所以恒有f(x)>f(a)+f'(a)·(xa).
故选项C正确.
答案:BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
解析:y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=e x(3x2+9x+3),所以所给曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=e0×3=3,所以切线方程为y=3x.
14.已知函数f(x)=ax ln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导数,若f'(1)=3,则a的值为3.
15.设某工厂生产x件产品的成本(单位:元)为C=25 000+200x+x2,则当平均每件产品
的成本最低时,x=1 000,此时平均最低成本为250元.(本题第一空2分,第二空3分) 解析:设平均成本为y元,
则y==+200+(x>0),y'=+.
令y'=0,得x=1 000或x=1 000(舍去).
当0<x<1 000时,y'<0,当x>1 000时,y'>0,
故当x=1 000时,y取得最小值,最小值为250,即平均最低成本为250元.
16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是(1,0].
解析:f'(x)=.由f'(x)>0,解得1<x<1,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,1).又因为函数f(x)在区间(m,2m+1)内单调递增,
所以解得1<m≤0,所以实数m的取值范围是(1,0].
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17.(10分)设函数f(x)=2x33(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
解:(1)f'(x)=6x26(a+1)x+6a.
因为f(x)在x=3处取得极值,
所以f'(3)=6×96(a+1)×3+6a=0,解得a=3.
所以f(x)=2x312x2+18x+8.
(2)易知点A在f(x)的图象上,
由(1),可知f'(x)=6x224x+18,
所以f'(1)=624+18=0,
所以切线方程为y=16.
18.(12分)设函数f(x)=ln x+ln(2x)+ax(a>0).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间(0,1]上的最大值为,求a的值.
解:函数f(x)的定义域为(0,2),f'(x)=+a.
(1)当a=1时,f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=(负值舍去),
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2).
(2)当x∈(0,1]时,由a>0,得f'(x)=+a>0,
即函数f(x)在区间(0,1]上单调递增,故函数f(x)在区间(0,1]上的最大值为f(1)=a,因此a=.
19.(12分)某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果处理池的外周壁每米的建造价格为400元,中间两条隔墙每米的建造价格为248元,池底每平方米的建造价格为80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖),那么当污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.
解:设矩形污水处理池的长为x m,则宽为 m.
根据题意,得解得10≤x≤16,总造价
f(x)=×400+×2×248+200×80=800x++16 000(10≤x≤16).
令f'(x)=800=0,解得x=18(负值舍去).
当x∈(0,18)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(18,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
因此在定义域内,函数f(x)为减函数,当且仅当长为16 m,宽为12.5 m时,总造价最低,最低总造价为45 000元.
20.(12分)已知函数f(x)=xa ln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1.
(1)当a=2时,f(x)=x2ln x,f'(x)=1(x>0),
所以f(1)=1,f'(1)=1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y1=(x1),即x+y2=0.
(2)由f'(x)=1=(x>0),知
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为区间(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.
则当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
故函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=aa ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值aa ln a,无极大值.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=2处都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[2,3],不等式f(x)+c<c2恒成立,求c的取值范围.
解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,
由题意,得即解得
所以f(x)=x3x26x+c,f'(x)=3x23x6.
令f'(x)<0,解得1<x<2;
令f'(x)>0,解得x<1或x>2.
所以函数f(x)的单调递减区间为(1,2),单调递增区间为(∞,1),(2,+∞).
(2)由(1),知函数f(x)在区间(∞,1)上单调递增,
在区间(1,2)内单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
当x∈[2,3]时,f(1)=+c,f(3)=+c,
所以当x=1时,函数f(x)取得最大值.
要使f(x)+c<c2恒成立,只需c2>f(1)+c,即2c2>7+5c,解得c<1或c>.
所以c的取值范围为(∞,1)∪.
22.(12分)(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=e x ax和g(x)=ax ln x有相同的最小值.
(1)求a;
(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
(1)解:f(x)的定义域为R.因为f(x)=e x ax,所以f'(x)=e x a.
若a≤0,则f'(x)>0.f(x)无最小值,故a>0.
令f'(x)=0,解得x=ln a.所以当x<ln a时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(∞,ln a)上单调递减;当x>ln a时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(ln a,+∞)上单调递增.故f(x)min=f(ln a)=aa ln a.
g(x)的定义域为(0,+∞).因为g(x)=ax ln x,所以g'(x)=a.
令g'(x)=0,解得x=.所以当0<x<时,g'(x)<0,函数g(x)在区间内单调递减;当x>时,g'(x)>0,函数g(x)在区间上单调递增.故g(x)min=g=1+ln a.
因为函数f(x)=e x ax和g(x)=ax ln x有相同的最小值,所以aa ln a=1+ln a.又a>0,所以aa ln a=1+ln a化为ln a=0.
令h(x)=ln x,x>0,则h'(x) ===,又x>0,所以h'(x)=>0恒成立,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,h(a)=0,且a>0,所
以a=1.
(2)证明:由(1)知a=1,函数f(x)=e x x在区间(∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=x ln x在区间(0,1)内单凋递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
设u(x)=f(x)g(x)=e x2x+ln x(x>0),则u'(x)=e x2+>e x2.当x≥1时,u'(x)≥e2>0,所以函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
因为u(1)=e2>0,所以当x≥1时,u(x)≥u(1)>0恒成立,即f(x)g(x)>0在x≥1时恒成立,所以x≥1时,f(x)>g(x).
因为f(0)=1,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,g(1)=1,函数g(x)在区间(0,1)内单调递减,所以函数f(x)与函数g(x)的图象在区间(0,1)内存在唯一交点,设该交点为M.此时可作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象,如图所示.
当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时,设这三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则由图象知,x1<0<x2<1<x3,此时直线y=b必经过点M,点M的横坐标为x2,则f(x2)=g(x2)=b.
又f(x1)=b=g(x2),则x1=x2ln x2,即x1=ln x2,f(x1)=f(ln x2).又x1,ln x2∈(∞,0),且f(x)在区间(∞,0)上单调递减,所以x1=ln x2.
又g(x3)=b=f(x2),则x3ln x3=x2,即ln x3=x2,f(ln x3)=f(x2).又ln x3,x2∈(0,+∞),且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以x2=ln x3.
因为x2x1=x2ln x2=g(x2)=b,x3x2=x3ln x3=g(x3)=b,所以x1,x2,x3成等差数列.
即存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.。