山东省威海市2020年高二第二学期数学期末预测试题含解析

山东省威海市2020年高二第二学期数学期末预测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．设()1
1
2
2
031a 3,1,242
-
==-=⎰
b x dx
c ln ,则（ ）
A ．a<b 〈c
B ．b<a<c
C ．c 〈a 〈b
D ．c<b 〈a
【答案】D 【解析】
分析：先对a,b,c,进行化简，然后进行比较即可. 详解：31033111,()|,ln 234322
a b x x c =
=-==，又 22111
ln 2ln 1,,234e c a b a b
<=⇒<==
⇒>
故c b a <<， 故选D.
点睛：考查对指数幂的化简运算，定积分计算，比较大小则通常进行估算值的大小，属于中档题.
2．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，
满足0AF BF ⋅=u u u r u u u r
，且6
ABF π
∠=，则双曲线的离心率e 的值是( )
A ．
132
+ B ．13+
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
设'F 是双曲线的左焦点，由题可得'AF F ∆是一个直角三角形，由'6
ABF AF F π
∠==∠，可用c 表示
出'3AF c =，AF c =，利用双曲线定义列方程即可求解． 【详解】
依据题意作图，如下：其中'F 是双曲线的左焦点，
因为0AF BF ⋅=u u u r u u u r
，所以AF BF ⊥，
由双曲线的对称性可得：四边形'AFBF 是一个矩形，且'6
ABF AF F π
∠==∠，
在'Rt AF F ∆中，'2F F c =，AF c =,'AF =,
由双曲线定义得：'2AF AF a -=2c a -=，整理得：1
c e a ===， 故选B 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质及双曲线定义，考查计算能力，属于基础题．
3． “所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．结论错误 D ．正确
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．
详解：∵所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数， 大前提：所有9的倍数都是3的倍数， 小前提：某奇数是9的倍数， 结论：故某奇数是3的倍数， ∴这个推理是正确的， 故选D ．
点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果.
4．已知函数()f x '
是偶函数()f x （x ∈R 且0x ≠）的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，
则使不等式()0f x <成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-U B ．(2,0)(0,2)-U C ．(2,0)(2,)-+∞U D ．(,2)(2,)-∞-+∞U
【答案】D 【解析】
构造函数()
()f x g x x
=
，利用导数得到，()g x 在(0,)+∞是增函数，再根据()f x 为偶函数，根据(2)0f -=，解得()0f x <的解集． 【详解】 解：令()
()f x g x x
=， 2
()()
()xf x f x g x x '-∴'=
，
0x Q >时，()()0xf x f x '-<， 0x ∴>时，()0g x '<，
()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，()f x Q 是偶函数
(2)(2)0f f -==∴ g ∴（2）(2)02
f ==，
当02x <<，
()g x g >（2）0=，即()0f x >，
当2x >时，()g x g <（2）0=，即()0f x <，
()f x Q 是偶函数， ∴当2x <-，()0f x <，
故不等式()0f x <的解集是(,2)(2,)-∞-+∞U ， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决，属于中档题． 5．已知4cos()cos sin()sin 5αββαββ+++=
，α是第四象限角，则tan 4πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．7-
B ．17
-
C ．
1
7
D ．7
【答案】A 【解析】 【分析】
通过和差公式变形，然后可直接得到答案. 【详解】
根据题意4
cos cos sin sin cos αββαββα+++=
=，α是第四象限角，故
3tan 4
α=-，而tan 1
tan()741tan πααα--=
=-+，故答案为A. 【点睛】
本题主要考查和差公式的运用，难度不大.
6．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2sin sin sin B A C =+，3
cos 5
B =，且6AB
C S ∆=，则b =（ ） A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】
利用正弦定理可得:2b a c =+， ① 由余弦定理可得：()2
2
2
2
316255b a c ac a c ac =+-⨯=+-， ② 由cos 45B =
，得4
14
sin ,65
25
ABC B S ac ∆=∴=⨯=， ③ 由① ② ③得，4b =，故选C.
7．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 2sin 0b A B b +==，，则
c
a
的值为（ ）
A ．1
B
C
D 【答案】C 【解析】 【分析】
在sin 2sin 0b A B +=中利用正弦定理和二倍角公式能求出角A ，再依据余弦定理列出关于角A 的关系式，化简即得． 【详解】
∵sin 2sin 0b A B +=，
∴由正弦定理可得sin sin 2sin 0B A A B =，即2sin sin cos sin 0B A A A B =.
由于sin sin 0B A ≠，∴cos 2
A =-.∵0A π<<，
∴34
A π
=
.又b =，
由余弦定理可得22222222cos 225a b c bc A c c c c =+-=++=，∴c a =
故选C.
本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换． 8．用数学归纳法证明不等式“1112
12322
n n ++
++>L （2n ≥，n *∈N ）
”的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．
1
1
2
k + B ．
1
21
k
+ C ．111
21222k k k k
+++
+++L D ．
1
111
21222k k k L ++++++ 【答案】D 【解析】 【分析】
把n 用1n +替换后两者比较可知增加的式子． 【详解】
当n k =时，左边111
1232
k =+
++L ， 当1n k =+时，左边1111111
123221222
k k k k +=+
++++++++L L ， 所以由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是1
111
21222k k k L ++++++， 故选：D. 【点睛】
本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从n k =到1n k =+时，式子的变化是数学归纳法的关键．
9．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温（℃） 18 13 10 -1 用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为（ ）
A ．68度
B ．52度
C ．12度
D ．28度
【答案】A 【解析】 由表格可知
，
，根据回归直线方程必过
得
，因此当
时，
，
故选择A.
10．已知点P 在直径为2的球面上，过点P 作球的两两相互垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，若PA PB =，则PA PB PC ++的最大值为
A ．
B ．4
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意得出22222222PA PB PC PA PC ++=+=，设PA θ=
，2sin PC θ=02πθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，利
用三角函数辅助角公式可得出2PA PB PC PA PC ++=+的最大值. 【详解】
由于PA 、PB 、PC 是直径为2的球的三条两两相互垂直的弦，
则2
2
2
2
2
2
22PA PB PC PA PC ++=+=，所以22
124
PA PC +=，
设PA θ=
，2sin 02PC πθθ⎛
⎫
=<<
⎪⎝
⎭
， ()
22sin PA PB PC PA PC θθθϕ∴++=+=+=+，
其中ϕ为锐角且tan ϕ=PA PB PC ++的最大值为 A.
【点睛】
本题考查多面体的外接球，考查棱长之和的最值，在直棱柱或直棱锥的外接球中，若其底面外接圆直径为
2r ，高为h ，其外接球的直径为2R ，则2R =
，充分利用这个模型去解题，可简化计算，
另外在求最值时，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角换元的思想来求解． 11．已知0,0,2,a b a b >>+=则14
y a b
=
+的最小值是 ( ) A ．
72
B ．4
C ．
92
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合均值不等式的结论即可求得14
y a b
=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 由题意可得：
14y a b =
+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
152⎛≥⨯+ ⎝9
2=， 当且仅当24
,33
a b ==时等号成立. 即14
y a b =
+的最小值是92
. 故选：C. 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
12．设函数()f x 是(,0)-∞上的可导函数其导函数为()f x ',且有2()()0f x xf x '+>,则不等式
2(2016)(2016)x f x ++9(3)0f -->的解集为( )
A ．(,2013)-∞-
B ．(2016,0)-
C ．(,2019)-∞-
D ．(2019,0)-
【答案】C 【解析】
分析：先求()()()2
'
x 2[]0f x xf x x f x ⎡⎤=⎣⎦'+<，所以()()2
g x x f x =单调递减。

再解不等式。

详解：因为()x ,0∈-∞，所以()()()2
'
x 2[]0f x xf x x f x ⎡⎤=⎣⎦'+<，设()()2
g x x f x =故()g x 单调递
减，那么()()()2
201620162016g x x f x +=++，()()393g f -=-，所以
()
()()2
20162016930x f x f ++-->的解集，
也即是()()2016?3g x g +>-的解集，由()g x 单调递减，可得20163,20160x x +<-+<，所以2019x <-，故选C 。

点睛：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解。

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P Q 、分别在线段AD CB 、上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，B 则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为________秒（精确到0.1）．
【答案】1.1 【解析】 【分析】
以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，求得P ，Q 的坐标和直线PQ 的方程，圆O 方程，运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的条件，解不等式即可得到所求时长． 【详解】
以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 可设(10,10 1.5)P t --+，(10,10)Q t -， 可得直线PQ 的方程为20 2.510(
10)20
t
y t x --+=-， 圆O 的方程为2
2
1x y +=， 由直线PQ 与圆O 有交点，可得
2
2.520
|
10|2120 2.51()
20
t t t --+-+„， 化为23161280t t +-„， 解得878
0t
-剟， 即有点Q 在点P 的盲区中的时长约为1.1秒． 故答案为1.1．
【点睛】
本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线和圆的位置关系，考查坐标法和二次不等式的解法，属于
14．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】 【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】
根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选
3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名
女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 15．若9
2()a x x
+的二项展开式中的6x 的系数为9，则a =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】
993992(
)r r r r r r a C x C a x x
--=，所以9-3r=6, r=1,1
9
C a =9,1a =,故填1. 16．现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是_____．（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】
对6个位置进行16～编号，第一步，两端排男生；第二步，2，3或4，5排两名女生，则剩下位置的排法是固定的. 【详解】
第一步：两端排男生共2
36A =，
第二步：2，3或4，5排两名女生共22
32212C A ⨯=， 由乘法分步原理得：不同的排法种数是61272⨯=.
本题若没有注意2位相邻女生的顺序，易出现错误答案36. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为
，被甲或乙解出的概率为
，（1）求该题被乙独立解出的概率； （2）求解出该题的人数的数学期望和方差 【答案】（1）
；（2）
【解析】
试题分析：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为.
设甲独立解出此题的概率为，乙为.
则
考点：本题主要考查离散型随机变量的概率计算。

点评：注意事件的相互独立性及互斥事件，利用公式计算概率。

18．已知函数2
1()log 1x
f x x
+=-.
(1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论; (2)解不等式()1f x <-
【答案】 (1) ()f x 为奇函数；证明见解析；(2) 11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）求出函数定义域(1,1)-关于原点对称，再求得()()0f x f x -+=，从而得到原函数为奇函数； （2）利用对数式与指数式的互化，得到分式不等式111212
x x -+<=-，求得1
13x -<<-.
【详解】
（1）根据题意()f x 为奇函数； 证明：
10111x
x x
+>⇒-<<-，所以()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称． 任取(1,1)x ∈-， 则2
2221111()()log log log log 101111x x x x f x f x x x x x -+-+⎛⎫
-+=+=⋅== ⎪+-+-⎝⎭
． 则有()()f x f x -=-，()f x 为奇函数． （2）由（1）知11x -<<，2
1()1log 11x f x x
+<-⇒<--，即111
212x x -+<=-，
11(22)(1)31
0122(1)2(1)x x x x x x x ++--+-==<---，即3101
x x +>-， ∴1
3
x <-或1x >．
又由11x -<<，则有1
13
x -<<-，
综上不等式解集为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题以对数函数、分式函数复合的复合函数为背景，考查奇偶性和解不等式，求解时注意对数式与指数式互化.
19．已知a ，b
≥【答案】见证明 【解析】 【分析】
方法一：因为a ，b
≥+≥整理即可；方法二：利用作差法证明 【详解】 解：方法一：
因为a ，b
≥
+≥
≥方法二：
+=(a b =-=
0=≥.
≥【点睛】
本题考查不等式的证明，一般的思路是借助作差或作商法，条件满足的话也可借助基本不等式证明．
20．已知椭圆:C 22
142
x y +=的左右焦点分别为12,F F ，直线1l 经过椭圆的右焦点与椭圆交于,A B 两点，
且||3AB =.
（I ）求直线1l 的方程；
（II ）已知过右焦点2F 的动直线2l 与椭圆C 交于,P Q 不同两点，是否存在x 轴上一定点T ，使
OTP OTQ ∠=∠？（O 为坐标原点）若存在，求出点T 的坐标；若不存在说明理由.
【答案】（1）1y x =-或1y x =+；
（2）t = 【解析】 【分析】
（I ）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出．解法二：利用焦半径公式可得．
（II ） II ）设l 2
的方程为my x =(
)
2
2
120m y ++-=．假设存在点T （t ，0）符合要求，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．∠OTP=∠OTQ ()()1212211200y y
y x t y x t x t x t
⇔+=⇔-+-=--，再利用根与系数的关系即可得出． 【详解】
解：（I ）设1l
的方程为(y k x =与椭圆联立得(
)
2
222
21440k x x k +-+-=
直线经过椭圆内一点，故0∆>恒成立，设()()3344,,,A x y B x y
，则2
342
21x x k +=+，23424421k x x k -=+ ()(
)
(
)()()()
()
()
24
22
24
2
23434342
2
2
2
2
2
2
412121
16132||44
162121
2121k k k k
k k x x x x x x k k k k ---++-=+-=
-==++++
，
34x x -=
234244321k AB x k +=-==+
解得k =，1l
的方程为1y x =-
或1y x =+；
解2：由焦半径公式有(
)223422
4244322121k AB a e x x k k =-+=-=-=++
，解得2
k =±. （II ）设2l
的方程为my x =(
)
2
2
120m y ++-=，由于过椭圆内一点，0∆> 假设存在点(),0T t 符合要求，设()()1122,,,P x y Q x y
，韦达定理：121222
2
+22
y y y y m m --+=
=+， OTP OTQ ∠=∠ ()()1212211200y y
y x t y x t x t x t
⇔
+=⇔-+-=--
，点在直线my x =-
(
)()12210y my t y my t +=
，即)()121
2
20my y t
y y ++=，∴
)2
2
2
202
2
m t
m m --+=++，
解得t =. 【点睛】
解决解析几何中探索性问题的方法
存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 21．已知函数2()ln f x a x x =+．
（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若2
()()x g f x x
=+
在[1,)+∞上是单调函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞，极小值是()f 1 1.=（2）[)0,.+∞ 【解析】 【分析】 【详解】
() 1易知，函数()f x 的定义域为()0,.)∞+
当a 2=-时，()()()2x 1x 12f'x 2x .)x x
+-=-=
当x 变化时，()'f x 和()f x 的值的变化情况如下表：
由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞，极小值是()f 1 1.=
()2由()22g x x alnx x =++，得()2a 2g'x 2x .)x x
=+-
又函数()2
2g x x alnx x
=++为[)1,+∞上单调函数，
①若函数()g x 为[)1,+∞上的单调增函数，
则()'0g x ≥在[
)1,+∞上恒成立， 即不等式22a
2x 0x x
-+≥在[)1,+∞上恒成立． 也即22
a 2x x ≥
-在[)1,+∞上恒成立， 而()2
2φx 2x x
=-在[)1,+∞上的最大值为()φ10=，所以a 0.≥
②若函数()g x 为[)1,+∞上的单调减函数，
根据①，在[
)1,+∞上()max φ(x)φ10==，()φx 没有最小值.
所以()'0g x ≤在[
)1,+∞上是不可能恒成立的. 综上，a 的取值范围为[)0,.+∞ 【点睛】
本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题．
22．知数列{}n a 的前n 项和3352
n n n
S +=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设1
3
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.
【答案】（1）31n a n =+；（2）34(34)
n
n +。

【解析】 【分析】
（1）利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-，再验证14a =即可. （2）由（1）知()()
3
3134n b n n =++11
3134
n n =
-++. 利用裂项相消法可求数列{}n b 的前n 项和. 【详解】
（1）114a S ==.
当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()
2
2
3151352
2
n n n n -+-+=-
.
又14a =符合2n ≥时n a 的形式， 所以{}n a 的通项公式为31n a n =+. （2）由（1）知()()
3
3134n b n n =
++11
3134
n n =
-++. 数列{}n b 的前n 项和为
12111147710n b b b ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1
11132313134n n n n ⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭
11
434
n =
-+ ()
3434n
n =
+.
【点睛】
本题考查数列的通项的求法，利用裂项相消法求和，属于中档题．。