数列--求前n项和的方法

一、教学目的与考点分析
1.教学目的：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

2.考点分析
（1）重点： 数列的前n 项和 （2）难点： 数列的前n 项和
二、教学内容及步骤
1、数列求和的方法 类型1、公式法
① 等差数列前n 项和()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=
.
② 等比数列前n 项和()
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--=--==1 ,1111 ,111q q q
a a q q a q na S n n n ③ ()()12161
212222
1
2++=+++==∑=n n n n n S i n
④ ()2
3
3
3
2
1
3
12121⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=+++==∑=n n n n S i n
例1-1设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足01565=+S S (1)若55=S ，求6S 及1a 。

（2)求d 的取值范围。

在数列{}n a 中，已知11-=a ，且()
*1432N n n a a n n ∈-+=+. （1）求证：数列{}31+-+n n a a 是等比数列。

（2）求数列{}n a 的通项公式以及前n 项和n S 。

类型二、分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
例2-2 ()()()
n n ---⨯-++⨯-+⨯-53253453221
解：()()()n
n ---⨯-++⨯-+⨯-5325345322
1
()()
n n ---+++-+++=555321221
()()1
1515153212-----⋅-+⋅=n n n ()()n n n ---+=5143
1
练：()()()
n a a a n -++-+- 212求和。

类型三、并项求和法
在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()n f a n
n 1-=类型，可采用
两项合并求解
例1-3 求 179cos 178cos 3cos 2cos 1cos +++++的值.
解：设
179cos 178cos 3cos 2cos 1cos +++++=n S
因为(
)
n n --=180cos cos （找特殊性质）
所以(
)(
)()
cos9097cos 89cos 178cos 2cos 179cos 1cos +++++++=n S
=0
练：在各项均为正数的等比数列中，若965=a a ，求1032313log log log a a a +++ 的值.(10)
类型四、倒序相加法
如果一个数列{}n a 中，与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和，求和时可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就和得到一个常数列的和。

如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．
例2-4 设()2
21
+=x x f ，求()()()()()65045f f f f f +++++-+- 的值.
解: 因为()2
21+=x x f ,()x x x x
x x f 22221222222111+⋅=⋅+=+=-- 所以()()2
2
1=
-+x f x f ， 即()()x f x f -+1正好是一个定值.
所以2362
2
=⨯=n S . 练：求 89 sin 3 sin 2 sin 1 sin 2222++++的值。

（44.5）
类型五、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，只需用n n qS S -便可转化为等比数列的求和，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的。

例1-5 求和：n n n S 21
2815413211-++⨯+⨯+⨯= . ①
解：由题可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n 212的通项是等差数列{}12-n 的通项与等比数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 21的通项之积
设12
1
2161581341121+-++⨯+⨯+⨯=n n n S ②
①-②得：121
221281*********+--⨯++⨯+⨯+⨯=n n n n S
()n n n n S 2122
1
221211-+---=+
n
n n S 23
23++=.
练：已知数列{}n a 是首项、公比都为()10≠>q q q 且的等比数列，()
*4log N n a a b n n n ∈=
(1)当5=q 时，求数列{}n b 的前n 项和n S
(2)当1514
=q 时，若1+<n n b b ，求n 的最小值．
类型六、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的列项公式： 若{}n a 为等差数列，则
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++1111111n n n a a d a a ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=++21211211n n n a a d a a ； ()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+⇒+-=+k n n k k n n n n n n 111111111；
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-1211212112121n n n n ；
n k n k k n n n n n n -+=++⇒-+=++1
1111；
()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+=++211
1121211n n n n n n n ； 例2-6 （1）已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S ①求n a 及n S .
②令()*21
1
N n a b n n ∈-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
解：(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
因为73=a 。

2675=+a a 所以721=+d a ，261021=+d a 解得31=a ，2=d
所以12+=n a n ，()2+=n n S n . (2)因为12+=n a n ，所以()⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+=-=
11141141112
n n n n a b n n 故()
1411141 11131312121141 21+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫
⎝⎛+-+++-+-=+++=n n n n n b b b T n
n
所以数列{}n b 的前n 项和()14+=
n n
T n
练：已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622
39a a a =
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设n n a a a b 32313log log log +++= ，求数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1的前n 项和．
三、课后作业
1.已知等差数列{}n a ，92=a ，215=a (1)求{}n a 的通项公式；
(2)设n a n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
2.已知数列{}n a 的通项公式是()()()3ln 13ln 2ln 1321n a n
n
n n -+--+⋅=-，求其前n 项和n S .
3.已知数列()n
n n a ⎪⎭⎫
⎝⎛⨯+=1091，求{}n a 的前n 项和n S .
4.已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设()()
*1N n 0,q 4∈≠-=-n n n q a b ，求{}n b 的前n 项和n S .
5.在数列{}n a 中，121211++++++=n n n a n ，又12+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
6.等差数列{}n a 的各项均为正数，31=a ，前n 项和n S ，{}n b 为等比数列，11=b ， 且6422=S b ，96033=S b . (1)求n a 和n b ；
(2)求n
S S S 1
1121+++ .。