18-19版：一 第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程（步步高）

一 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程
学习目标 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题．
知识点一 参数方程的概念
思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x ，y )，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为x ，y 联系的桥梁． 梳理 参数方程的概念 (1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝f (t )，y ＝g (t )，
①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程． (2)参数的意义
参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化．
知识点二 圆的参数方程
思考 如图，角θ的终边与单位圆交于一点P ，P 的坐标如何表示？
答案 P (cos θ，sin θ)，由任意角的三角函数的定义即x ＝cos θ，y ＝sin θ. 梳理 圆的参数方程
圆心和半径 圆的普通方程 圆的参数方程
圆心O (0,0)，半径r
x 2＋y 2＝r 2
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 圆心C (a ，b )，半径r
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos θ＋a ，y ＝r sin θ＋b (θ为参数)
类型一 参数方程及应用
例1 已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值． 解 (1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
0＝3t ，1＝2t 2＋1.解得t ＝0. ∴点M 1在曲线C 上．
同理可知，点M 2不在曲线C 上． (2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得t ＝2，a ＝9.∴a ＝9. 反思与感悟 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的．
跟踪训练1 在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(θ为参数)．
(1)求曲线C 上的点Q (－3，－3)对应的参数θ的值； (2)若点P (m ，－1)在曲线C 上，求m 的值． 解 (1)把点Q 的坐标(－3，－3)代入参数方程，
得⎩⎨
⎧
－3＝2cos θ，－3＝－2＋2sin θ，
即⎩⎨⎧
cos θ＝－32，sin θ＝－1
2
，
解得θ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，故曲线上的点Q 对应的参数θ的值是7π
6＋2k π(k ∈Z )．
(2)把点P 的坐标(m ，－1)代入参数方程，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2cos θ，
－1＝－2＋2sin θ， 解得sin θ＝12，故cos θ＝±3
2，即m ＝±3，
即所求m 的值是±3. 类型二 求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B ，A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．
解 方法一 设点P (x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于点Q .如图所示，则
Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数(0<t <a )． ∵|OA |＝a 2－t 2， ∴|BQ |＝a 2－t 2. 又∵|PQ |＝|OB |＝t ，
∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝t ＋a 2－t 2，
y ＝t
(0<t <a )．
方法二 设点P (x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．
取∠QBP ＝θ，θ为参数⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 则∠ABO ＝π
2
－θ，
在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝⎛⎭⎫
π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ
(θ为参数，0<θ<π2)．
反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤
(1)画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标． (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点
①曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x ，y 的值可以由参数惟一确定．
(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
跟踪训练2 长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，AB →＝3AP →
，点P 的轨迹为曲线C .
(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值． 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得 x ＝2
3|AB |cos(π－α)＝－2cos α， y ＝1
3|AB |sin(π－α)＝sin α. 所以曲线C 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2cos α，y ＝sin α.(α为参数，π2<α<π)
(2)由(1)得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2 ＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8
＝－3⎝⎛⎭⎫sin α－232＋283
. 当sin α＝23时，|PD |取得最大值2213.
类型三 圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O 的半径为2，P 是圆O 上的动点，Q (4,0)在x 轴上．M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，
(1)求点M 的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形； (2)若(x ，y )是M 轨迹上的点，求x ＋2y 的取值范围． 解 (1)设点M (x ，y )，令∠xOP ＝θ，
则圆O 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)，
∴点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．又Q (4,0)， ∴x ＝2cos θ＋4
2＝cos θ＋2，
y ＝2sin θ＋02
＝sin θ.
∴点M 的轨迹的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ＋2，
y ＝sin θ(θ为参数)．
由参数方程知，点M 的轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的圆． (2)x ＋2y ＝cos θ＋2＋2sin θ＝5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝1
2.
∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－5＋2≤x ＋2y ≤5＋2.
即x ＋2y 的取值范围是[－5＋2，5＋2]．
反思与感悟 (1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数．
(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题． 跟踪训练3 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值． 解
由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9
上的点，设⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋3cos θ，
y ＝1＋3sin θ(θ为参数)．
则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2
＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4≤1， ∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.
∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2.
1．下列方程：
①⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；②⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)； ③⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2；④x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A
2．曲线⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2cos θ，
y ＝3＋2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π 答案 D
3．圆C ：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝3＋4cos θ，y ＝－2＋4sin θ(θ为参数)的圆心坐标为________，和圆C 关于直线x －y ＝0对
称的圆C ′的普通方程是________________________________________________________． 答案 (3，－2) (x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0) 解析 将参数方程化为标准方程，得 (x －3)2＋(y ＋2)2＝16， 故圆心坐标为(3，－2)．
点P (3，－2)关于直线y ＝x 的对称点为P ′(－2,3)， 则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆C ′的普通方程为 (x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0)．
4．已知⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________.
答案 0或2 解析 ∵y ＝t 2＝1，
∴t ＝±1.∴x ＝1＋1＝2或x ＝－1＋1＝0.
5．若P (2，－1)为圆O ′：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋5cos θ，
y ＝5sin θ(0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方
程为________． 答案 x －y －3＝0
解析 圆心O ′(1,0)，∴k O ′P ＝－1，即直线l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为x －y －3＝0.
1．参数方程
(1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x ，y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用．
(2)参数方程是通过变数反映坐标变量x 与y 之间的间接联系． 2．求曲线参数方程的步骤
第一步，建系，设M (x ，y )是轨迹上任意一点； 第二步，选参数，比如选参数t ；
第三步，建立x ，y 与参数间的关系，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t ).。