初一上学期数学期中试卷带答案完整

初一上学期数学期中试卷带答案完整
一、选择题
1．4的算术平方根是（）
A ．2-
B ．2±
C ．2
D ．12
- 2．下列图案中，是通过下图平移得到的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．在平面直角坐标系中，点()1,0所在的位置是（ ）
A ．x 轴
B ．y 轴
C ．第一象限
D ．第四象限 4．下列说法中，真命题的个数为（ ）
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5．如图所示，12l l //，三角板ABC 如图放置，其中90B ∠=︒，若140∠=︒，则2∠的度数是
（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．30
6．下列说法正确的是（ ）
A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．任何一个数都有平方根和立方根
D ．任何数的立方根都只有一个
7．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC 、AC 分别交于点D 、点E ，直尺的另一边过A 点且与三角尺的直角边BC 交于点F ，若∠CAF ＝42°，则∠CDE 度数为（ ）
A ．62°
B ．48°
C ．58°
D ．72°
8．如图，在平面直角坐标系中，()11,2A ，()22,0A ，()33,2A -，()44,0A ……根据这个规律，探究可得点2021A 的坐标是（ ）
A ．()2020,0
B ．()2021,2
C ．()2020,2-
D ．()2021,2-
二、填空题
9．若8x -+2y -=0，则xy =__________．
10．若点()3,P m 与(),6Q n -关于x 轴对称,则2m n -=____________________________． 11．如图，在ABC 中，70A ∠=︒，ABC ∠的角平分线与ABC 的外角角平分线交于点E ，则E ∠=__________度．
12．如图，已知a ∥b ，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝_____度．
13．如图，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使点C 落在边AB 上的点F 处，若44EFB ∠=︒，则EDC ∠=___º．
14．若1m ，2m ，…，2019m 是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，
1220191525m m m ++⋅⋅⋅+=，()()()222
1220191111510m m m -+-+⋅⋅⋅+-=，则在1m ，2m ，…，2019m 中，取值为2的个数为___________．
15．在平面直角坐标系中，已知线段3,AB =且//AB x 轴，且点A 的坐标是()1,2,则点B 的坐标是____．
16．如图所示的平面直角坐标系中，有一系列规律点，它们分别是以O 为顶点，边长为正整数的正方形的顶点，A 1(0，1)，A 2(1，1)，A 3(1，0)，A 4(2，0)，A 5(2，2)，A 6(0，2)，A 7(0，3)，A 8(3，3)……依此规律A 100坐标为________．
三、解答题
17．计算：
（1）|﹣2|+（﹣3）24
（223252
（3）220183|3|27(4)(1)-+---．
18．求下列各式中x 的值：
（1）()2
125x -=；
（2）381250x -=．
19．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图1，探索这两个角之间的关系．
（1）如图1，已知ABC ∠与DEF ∠中，//AB FE ，//BC DE ，AB 与DE 相交于点G ．问：ABC ∠与DEF ∠有何关系？
①请完成下面的推理过程．
理由：//AB FE ，
AGE DEF ∴∠+∠= ( )．
//BC DE ，
AGE ABC ∴∠=∠( )．
ABC DEF ∴∠+∠= ．
②结论：ABC ∠与DEF ∠关系是 ．
（2）如图2，已知//AB FE ，//BC ED ，则ABC ∠与DEF ∠有何关系？请直接写出你的结论．
（3）由（1）、（2）你得出的结论是：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 ．
20．在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （﹣2，2）、B （2，0），C （﹣4，﹣2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC ；
（2）若将（1）中的△ABC 平移，使点B 的对应点B ′坐标为（6，2），画出平移后的△A ′B ′C ′；
（3）求△A ′B ′C ′的面积．
21．已知a 10b 10的小数部分，求代数式(1b 10a -的平方根．
22．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-+ 的点，并比较它们的大小．
23．如图，已知AM //BN ，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点,C D ．
（1）当60A ∠=︒时，ABN ∠的度数是_______；
（2）当A x ∠=︒，求CBD ∠的度数（用x 的代数式表示）；
（3）当点P 运动时，ADB ∠与APB ∠的度数之比是否随点P 的运动而发生变化?若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．
（4）当点P 运动到使ACB ABD =∠∠时，请直接写出14DBN A +∠∠的度数．
24．已知：三角形ABC 和三角形DEF 位于直线MN 的两侧中，直线MN 经过点C ，且BC MN ⊥，其中A ABC CB =∠∠，DEF DFE ∠=∠，90∠+∠=︒ABC DFE ，点E 、F 均落在直线MN 上．
（1）如图1，当点C 与点E 重合时，求证：//DF AB ；聪明的小丽过点C 作//CG DF ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，如图2，求证：//DE AC ；
（3）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，使得点E 移动到点E '，画出平移后的三角形DEF ，并回答问题，若DFE α∠=，则∠=CAB ________．（用含α的代数式表示）
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据算术平方根的计算方法求解即可；
【详解】 ∵4=2，
∴4的算术平方根是2．
故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
2．C
【分析】
根据平移的性质，即可解答．
【详解】
由平移的性质可知C 选项符合题意，A 、B 、D 选项需要通过旋转才能实现． 故选C
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变
解析：C
【分析】
根据平移的性质，即可解答．
【详解】
由平移的性质可知C 选项符合题意，A 、B 、D 选项需要通过旋转才能实现．
故选C
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，掌握平移的性质是解题的关键．
3．A
【分析】
1,0的纵坐标为0，则可判断点(1,0)在x轴上．
由于点()
【详解】
1,0的纵坐标为0，
解：点()
故在x轴上，
故选：A．
【点睛】
本题考查了点的坐标，解题的关键是记住各象限内的点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特点．
4．B
【分析】
根据平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义逐项分析判断即可
【详解】
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①是真命题；
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题；
③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③不是真命题，
④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，故④不是真命题，
故真命题是①②，
故选B
【点睛】
本题考查了判断真假命题，平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义，掌握相关性质定理是解题的关键．
5．B
【分析】
作BD∥l1，根据平行线的性质得∠1=∠ABD=40°，∠CBD=∠2，利用角的和差即可求解．【详解】
解：作BD∥l1，如图所示：
∵BD∥l1，∠1=40°，
∴∠1=∠ABD=40°，
又∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∴∠CBD=∠2，
又∵∠CBA=∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠CBD=50°，
∴∠2=50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是作辅线构建平行线．
6．D
【分析】
根据负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数，一个数的立方根只有一个，结合选项即可作出判断．
【详解】
A、一个数的立方根只有1个，故本选项错误；
B、负数有立方根，故本选项错误；
C、负数只有立方根，没有平方根，故本选项错误；
D、任何数的立方根都只有一个，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的概念．
7．B
【分析】
先根据平行线的性质求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠CDE．
【详解】
解：∵DE∥AF，∠CAF=42°，
∴∠CED=∠CAF=42°，
∵∠DCE=90°，∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，
∴∠CDE=180°-∠CED-∠DCE=180°-42°-90°=48°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于180°，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．
8．B
【分析】
根据图形，找到点的坐标变换规律：横坐标依次为1、2、3、4、…、n，纵坐标
依次为2、0、﹣2、0、…四个一循环，进而求解即可．
【详解】
解：观察图形可知，点的横坐标依次为1、2、3、
解析：B
【分析】
根据图形，找到点的坐标变换规律：横坐标依次为1、2、3、4、…、n，纵坐标依次为2、0、﹣2、0、…四个一循环，进而求解即可．
【详解】
解：观察图形可知，点的横坐标依次为1、2、3、4、…、n，纵坐标依次为2、0、﹣2、0、…四个一循环，且2021÷4=505…1，
∴点
A的坐标是（2021，2），
2021
故选：B．
【点睛】
本题考查点坐标规律探究，找到点的坐标变换规律是解答的关键．
二、填空题
9．16
【分析】
根据算术平方根的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】
∵+=0，
∴x−8=0，y−2=0，
∴x=8，y=2，
∴xy=.
故答案为16.
【点睛】
解析：16
【分析】
根据算术平方根的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】
∵，
∴x−8=0，y−2=0，
∴x=8，y=2，
⨯=.
∴xy=8216
故答案为16.
【点睛】
性：（1）被开方数a 是非负数，即a ≥0；（2． 10．0
【分析】
根据平面直角坐标系中关于轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等的特点进行解题即可.
【详解】
∵点与关于轴对称
∴
∴，
故答案为：0．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系内点
解析：0
【分析】
根据平面直角坐标系中关于x 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等的特点进行解题即可.
【详解】
∵点(3,)P m 与(,6)Q n -关于x 轴对称
∴36n m =-=-，
∴262(3)0m n -=--⨯-=，
故答案为：0．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系内点的轴对称，熟练掌握相关点的轴对称特征是解决本题的关键．
11．35
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠EBC 表示出∠ECD ，再利用∠E 与∠EBC 表示出∠ECD ，然后整理即可得到∠A 与∠E 的关系，进而可求出∠E ．
【详解】
解
解析：35
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠EBC 表示出∠ECD ，再利用∠E 与∠EBC 表示出∠ECD ，然后整理即可得到∠A 与∠E 的关系，进而可求出∠E ．
【详解】
解：∵BE 和CE 分别是∠ABC 和∠ACD 的角平分线，
∴∠EBC=1
2∠ABC，∠ECD=1
2
∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=1
2（∠A+∠ABC）=1
2
∠A+∠ECD，
∵∠ECD是△BEC的一外角，∴∠ECD=∠EBC+∠E，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=1
2∠A+∠EBC-∠EBC=1
2
∠A=1
2
×70°=35°，
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，角平分线的定义，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．75
【分析】
根据平行线的性质和的度数得到，再利用平角的性质可得的度数．
【详解】
解：如图：
，，
．
，
．
故答案为：75．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平
解析：75
【分析】
根据平行线的性质和1
∠的度数得到4
∠，再利用平角的性质可得3
∠的度数．
【详解】
解：如图：
//
a b，170
∠=︒，
4170
∴∠=∠=︒．
235
∠=︒，
3180703575
∴∠=︒-︒-︒=︒．
故答案为：75．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．13．23
【分析】
根据∠EFB求出∠BEF，根据翻折的性质，可得到∠DEC=∠DEF，从而求出∠DEC 的度数，即可得到∠EDC．
【详解】
解：∵△DFE是由△DCE折叠得到的，
∴∠DEC=∠FED
解析：23
【分析】
根据∠EFB求出∠BEF，根据翻折的性质，可得到∠DEC=∠DEF，从而求出∠DEC的度数，即可得到∠ED C．
【详解】
解：∵△DFE是由△DCE折叠得到的，
∴∠DEC=∠FED，
又∵∠EFB=44°，∠B=90°，
∴∠BEF=46°，
∴∠DEC=1
（180°-46°）=67°，
2
∴∠EDC=90°-∠DEC=23°，
故答案为：23．
【点睛】
本题考查角的计算，熟练掌握翻折的性质，找到相等的角是解决本题的关键．
14．508
【分析】
通过，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，，从而得到1的个数，再由得到2的个数．
【详解】
解：∵，
又∵，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，
∴，，…，中为
解析：508
【分析】
m是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，
通过1m，2m，…，2019
()()
()2221220191111510m m m -+-+⋅⋅⋅=-+，从而得到1的个数，再由1220191525m m m ++⋅⋅⋅+=得到2的个数．
【详解】 解：∵()()()2221220191111510m m m -+-+⋅⋅⋅=-+，
又∵1m ，2m ，…，2019m 是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，
∴1m ，2m ，…，2019m 中为1的个数是2019−1510＝509，
∵1220191525m m m ++⋅⋅⋅+=，
∴2的个数为（1525−509）÷2＝508个．
故答案为：508．
【点睛】
此题考查完全平方的性质，找出1m ，2m ，…，2019m 中为1的个数是解决问题的关键． 15．或
【分析】
设点B 的坐标为，然后根据轴得出B 点的纵坐标，再根据即可得出B 点的横坐标．
【详解】
设点B 的坐标为，
∵轴，点A （1，2）
∴B 点的纵坐标也是2，即 ．
∵，
或 ，
解得或 ，
∴点
解析：()4,2或()2,2-
【分析】
设点B 的坐标为(,)a b ，然后根据//AB x 轴得出B 点的纵坐标，再根据3,AB =即可得出B 点的横坐标．
【详解】
设点B 的坐标为(,)a b ，
∵//AB x 轴，点A （1，2）
∴B 点的纵坐标也是2，即2b = ．
∵3AB =，
13a ∴-=或13a -= ，
解得4a =或2a =- ，
∴点B 的坐标为()4,2或()2,2-．
故答案为：()4,2或()2,2-．
【点睛】
本题主要考查平行于x 轴的线段上的点的特点，掌握平行于x 轴的线段上的点的特点是解题的关键．
16．(34，0)
【分析】
本题是一道关于数字猜想的问题，根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第100个所在位置即可得出答案．
【详解】
解：∵A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A
解析：(34，0)
【分析】
本题是一道关于数字猜想的问题，根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第100个所在位置即可得出答案．
【详解】
解：∵A 1（0，1）、A 2（1，1）、A 3（1，0）、A 4（2，0）、A 5（2，2）、A 6（0，2）、A 7（0，3）、A 8（3，3）…，
∴数据每隔三个增加一次，100÷3得33余1，则点A 在x 轴上，
故A 100坐标为（34，0），
故答案为：（34，0）
【点睛】
本题考查了规律型-点的坐标：通过特殊到一般解决此类问题，利用前面正方形的边长与字母A 的脚标数之间的联系寻找规律．
三、解答题
17．(1)9;(2)-;(3)-3.
【解析】
【分析】
根据运算法则和运算顺序，依次计算即可.
【详解】
解：（1）原式＝2+9﹣2＝9，
（2）原式＝（1+3﹣5） ＝﹣ ，
（3）原式＝3﹣3﹣4
解析：
【解析】
【分析】
根据运算法则和运算顺序，依次计算即可.
【详解】
解：（1）原式＝2+9﹣2＝9，
（2）原式＝（1+3﹣5，
（3）原式＝3﹣3﹣4+1＝﹣3．
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.
18．（1）或；（2）
【分析】
（1）直接根据求平方根的方法解方程即可；
（2）直接根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主
解析：（1）6x =或4x =-；（2）52x =
【分析】
（1）直接根据求平方根的方法解方程即可；
（2）直接根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】
解：（1）∵()2125x -=，
∴15x -=±，
∴15x =±，
∴6x =或4x =-；
（2）∵381250x -=， ∴31258
x =， ∴52
x =． 【点睛】
本题主要考查了利用求平方根和求立方根的方法解方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．（1）①180°；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等；180°；②互补；（2）（相等）；（3）这两个角相等或互补．
【分析】
（1）如图1，根据，，即可得与的关系；
（2）如图2，根据
解析：（1）①180°；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等；180°；②互补；（2）ABC DEF ∠=∠（相等）；（3）这两个角相等或互补．
【分析】
（1）如图1，根据//AB FE ，//BC ED ，即可得ABC ∠与DEF ∠的关系；
（2）如图2，根据//AB FE ，//BC ED ，即可得ABC ∠与DEF ∠的关系；
（3）由（1）（2）即可得出结论．
【详解】
解：（1）①理由：//AB FE ，
180AGE DEF ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），
//BC DE ，
AGE ABC ∴∠=∠ （两直线平行，同位角相等），
180ABC DEF ∴∠+∠=︒．
②结论：ABC ∠与DEF ∠关系是互补．
故答案为：①180︒；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等；180︒；②相等．
（2）ABC DEF ∠=∠，理由如下：
//AB FE ，
DGA DEF ∴∠=∠，
//BC DE ，
DGA ABC ∴∠=∠，
ABC DEF ∴∠=∠．
（3）由（1）、（2）你得出的结论是：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角互补或相等，
故答案为：这两个角互补或相等．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）根据点A 、B 、C 的坐标描点，从而可得到△ABC ；
（2）利用点B 和B′的坐标关系可判断△ABC 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）根据点A、B、C的坐标描点，从而可得到△ABC；
（2）利用点B和B′的坐标关系可判断△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，利用此平移规律写出A′、C′的坐标，然后描点即可得到△A′B′C′；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A′B′C′的面积．
【详解】
解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△A′B′C′为所作；
（3）△A′B′C′的面积=
111 6426244210 222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．．
【分析】
根据可得，即可得到的整数部分是3，小数部分是，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，则，的小数部分是，则，
∴，
∴9的平方根为．
【点睛】
本题考查实数的估算、实数
解析：3±．
【分析】
根据22
3104
<<可得3104
<<103103，即可求解．
【详解】
解：∵223104<<， ∴3104<<， ∴10的整数部分是3，则3a =，10的小数部分是103-，则103b =-， ∴()()()1312
101031039a b ---=--=-=， ∴9的平方根为3±．
【点睛】
本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键． 22．（1）；（2）①见解析；②见解析，
【分析】
（1）设正方形边长为a ，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a 值，则知结果；
（2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形； ②
解析：（1）2,2-；（2）①见解析；②见解析， 350.5-+<-
【分析】
（1）设正方形边长为a ，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a 值，则知结果； （2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；
②由题（1）的原理得出大正方形的边长为5，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，再把N 点表示出来，即可比较它们的大小．
【详解】
解：设正方形边长为a ，
∵a 2=2，
∴a=2±，
故答案为：2，2-；
（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：
②设拼成的大正方形的边长为b ，
∴b 2=5，
∴5
在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，则M 表示的数为5-0.5的N 点在M 点的右方，
∴比较大小：350.5
-+<-．
【点睛】
本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．
23．（1）120°；（2）90°-x°；（3）不变，；（4）45°
【分析】
（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；
（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠
解析：（1）120°；（2）90°-1
2x°；（3）不变，1
2
；（4）45°
【分析】
（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；
（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-1
2
x°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知
∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1；
（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，得
∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据角平分线的定义可得
∠ABP=∠PBN=1
2∠ABN=2∠DBN，由平行线的性质可得1
2
∠A+1
2
∠ABN=90°，即可得出答
案．
【详解】
解：（1）∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=120°；
（2）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°-x°，
∴∠ABP+∠PBN=180°-x°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=1
2（180°-x°）=90°-1
2
x°；
（3）不变，∠ADB ：∠APB =12．
∵AM ∥BN ，
∴∠APB =∠PBN ，∠ADB =∠DBN ，
∵BD 平分∠PBN ，
∴∠PBN =2∠DBN ，
∴∠APB ：∠ADB =2：1，
∴∠ADB ：∠APB =12；
（4）∵AM ∥BN ，
∴∠ACB =∠CBN ，
当∠ACB =∠ABD 时，则有∠CBN =∠ABD ，
∴∠ABC +∠CBD =∠CBD +∠DBN ，
∴∠ABC =∠DBN ，
∵BC 平分∠ABP ，BD 平分∠PBN ，
∴∠ABP =2∠ABC ，∠PBN =2∠DBN ，
∴∠ABP =∠PBN =2∠DBN =12∠ABN ，
∵AM ∥BN ，
∴∠A +∠ABN =180°， ∴
12∠A +12∠ABN =90°， ∴
12∠A +2∠DBN =90°， ∴14
∠A +∠DBN =12（12∠A +2∠DBN ）=45°． 【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】
（1）过点C 作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠D
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2α．
【分析】
（1）过点C 作//CG DF ，得到DFE FCG ∠=∠，再根据90BCF ∠=︒，
90∠+∠=︒ABC DFE ，得到ABC BCG ∠=∠，进而得到//CG AB ，最后证明//DF AB ；
（2）先证明90ACB DEF ∠+∠=︒，再证明90ACB ACE ∠+∠=︒，得到DEF ACE ∠=∠，问题得证；
（3）根据题意得到DFE DEF α∠=∠=，根据（２）结论得到∠DEF =∠ECA =α，进而得到=90BC AC A B α=∠︒-∠，根据三角形内角和即可求解．
【详解】
解：（1）过点C 作//CG DF ，
DFE FCG ∴∠=∠，
BC MN ⊥，
90BCF ∴∠=︒，
90BCG FCG ∴∠+∠=︒，
90BCG DFE ∴∠+∠=︒，
90ABC DFE ∠+∠=︒，
ABC BCG ∴∠=∠，
//CG AB ∴，
//DF AB ∴；
（2）解：ABC ACB ∠=∠，DEF DFE ∠=∠，
又90ABC DFE ∠+∠=︒，
90ACB DEF ∴∠+∠=︒，
BC MN ⊥，
90BCM ∴∠=︒，
90ACB ACE ∴∠+∠=︒，
DEF ACE ∴∠=∠，
//DE AC ∴；
（3）如图三角形DEF 即为所求作三角形．
∵DFE α∠=，
∴DFE DEF α∠=∠=，
由（2）得，DE ∥AC ，
∴∠DEF =∠ECA =α，
∵90ACB ACE ∠+∠=︒，
∴∠ACB =90α︒-，
∴ =90BC AC A B α=∠︒-∠，
∴∠A =180°-A ABC CB -∠∠=2α．
故答案为为：2α．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．。