九龙坡区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

九龙坡区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线
段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B
C
D
2． 实数x ，y 满足不等式组
，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）
A ．（1，1）
B ．（0，3）
C ．（，2）
D ．（，0）
3． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ）
A ．x ＞1
B ．x ＜1
C ．x ＞3
D ．x ＜3
4． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 5． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）
6． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可
知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，
则r=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 以过椭圆+
=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
8． 复数i i -+3)1(2
的值是（ ）
A ．i 4341+-
B ．i 4341-
C ．i 5351+-
D ．i 5
351-
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．
9． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
10．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且
1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，
3
4
125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）. A. ]210,1( B. ]537,1( C. ]2
10,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
11．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111] 14．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}2
2sin
cos []1x x +=的实数解为6π-；
③若3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为2
3
1
22n n -；
④当0100x ≤≤时，函数{}22
()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13
x
g x x x =⋅-
-的 零点个数为n ，则100m n +=.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问
题转化为已知去解决，属于中档题。

15．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2
）a n +sin
2
，则该数列的前16项和为 ．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•
=24，
则△ABC 的面积是 ．
17．已知函数()()31
,ln 4
f x x mx
g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数
()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
18．若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。

三、解答题
19．已知数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=（n ∈N *
）．
（1）求a 2，a 3，a 4；
（2）猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．
20．已知函数f （x ）=log 2（m+）（m ∈R ，且m ＞0）．
（1）求函数f （x ）的定义域；
（2）若函数f （x ）在（4，+∞）上单调递增，求m 的取值范围．
21．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，
.若
,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为
A[] B[] C[]
D[
]
22．（本题满分15分）
如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；
（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
23．（本题满分15分）
如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．
（1）求证：BM AD ⊥；
（2）若)10(<<=λλDB DE ，当二面角D AM E --大小为
3
π
时，求λ的值．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
24．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=10．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
九龙坡区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

2．【答案】D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距，
故由图象可知，
使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内，
故（1，1），（0，3），（，2）成立，
而点（，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，
故不成立；
故选D．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．
3．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
4． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 5． 【答案】D 【解析】
考
点：平面的基本公理与推论．
6． 【答案】 C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R= 故选C ．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
7． 【答案】C
【解析】解：设过右焦点F 的弦为AB ，右准线为l ，A 、B 在l 上的射影分别为C 、D
连接AC 、BD ，设AB 的中点为M ，作MN ⊥l 于N
根据圆锥曲线的统一定义，可得
=
=e ，可得
∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，
∵以AB 为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|） ∴圆M 到l 的距离|MN|＞r ，可得直线l 与以AB 为直径的圆相离
故选：C
【点评】本题给出椭圆的右焦点F ，求以经过F 的弦AB 为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
8． 【答案】C
【解析】i i i i i i i i i i 5
3
511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+．
9． 【答案】C
解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．
则体积为=，解得x=．
故选：C ． 10．【答案】C
【解析】如图，由双曲线的定义知，a PF PF
2||||21=-，a QF QF 2||||21=-，两式相加得 a PQ QF PF
4||||||11=-+，又||||1PF PQ λ=，1PF PQ ⊥， ||1||121PF QF λ+=∴， a PF PQ QF PF 4||)11(||||||12
11=-++=-+∴
λλ，λλ-++=
21114||a
PF ①，
λ
λλλ-+++-+=
∴22211)11(2||a PF ②，在12PF F ∆中，2212221||||||F F PF PF =+，将①②代入得
+-++2
2
)114(λ
λa
2
2224)11)
11(2(
c a =-+++-+λλλλ，化简得：+
-++2
2
)
11(4
λλ
2
2
2
2
2)
11()11(e =-+++-+λλλλ，令t =-++λλ2
11，易知λλ-++=2
11y 在]34
,125[
上单调递减，故
]35,34[∈t ，2
22222
84)2(4t t t t t t e +-=-+=∴]25,2537[21)411(82∈+-=t ，
]210,537[∈e ，故答案 选C.
11．【答案】C
【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱， 底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是
，
∴三棱柱的面积是3××2=6+
，
故选C ．
【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．
12．【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为
，
故选C ．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
二、填空题
13．【答案】[]1,1- 【解析】
考
点：函数的定义域. 14．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然1[]x x x -<≤，①是真命题；对于②，由{}2
2sin
cos []1x x +=得，
{}22sin 1cos []x x =-，即{}22sin sin []x x =.当12x << 时，011x <-<，0sin(1)sin1x <-<，此时
{}22sin sin []x x =化为22sin (1)sin 1x -=，方程无解；当23x ≤< 时，021x ≤-<，0sin(2)sin1x ≤-<，此时{}2
2sin
sin []x x =化为sin(2)sin 2x -=，所以22x -=或22x π-+=，即4x =或x π=，所以原方
程无解.故②是假命题；对于③，∵3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），∴1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，
4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，…，31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦，33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
，所以数列{}n a 的前3n 项之和为3[12(1)]n n +++-+=231
22
n n -，故③是真命题；对于④，由
15．【答案】546．
【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，．
∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16）
=（1+2+...+8）+（2+22+ (28)
=
+
=36+29﹣2 =546．
故答案为：546．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【答案】 4 ．
【解析】解：∵sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，
∴sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2
=ac ，
∵c=2a ，可得：b=a ，
∴cosB==
=，可得：sinB=
=
，
∵
•
=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC =acsinB==4
．
故答案为：4．
17．【答案】()
53
,44
--
【解析】
试题分析：()2
3f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足
()10,0,0f f m ><<，解得51534244
m m >-⇒-<<- 考点：函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 18．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=，可得a2==，
a3===，
a4===．
（2）猜测a n=（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边==a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即a k=．
则当n=k+1时，a k+1==
==
．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．20．【答案】
【解析】解：（1）由m+＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，
∵m＞0，
∴（x﹣1）（x﹣）＞0，
若＞1，即0＜m＜1时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；
若=1，即m=1时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
若＜1，即m ＞1时，x ∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．
（2）若函数f （x ）在（4，+∞）上单调递增，则函数g （x ）=m+在（4，+∞）上单调递增且恒正．
所以， 解得：
．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档． 21．【答案】B 【解析】
当x ≥0时，
f （x ）=，
由f （x ）=x ﹣3a 2，x ＞2a 2，得f （x ）＞﹣a 2； 当a 2＜x ＜2a 2时，f （x ）=﹣a 2；
由f （x ）=﹣x ，0≤x ≤a 2，得f （x ）≥﹣a 2。

∴当x ＞0时，。

∵函数f （x ）为奇函数， ∴当x ＜0时，。

∵对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）≤f （x ）， ∴2a 2﹣（﹣4a 2）≤1，解得：。

故实数a 的取值范围是。

22．【答案】（1）详见解析；（2）
3146
146
. 【解析】（1）∵D ，E 分别为VA ，VC 的中点，∴//DE AC ，…………2分 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥，…………4分
又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分 ∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VC
BC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分
（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得11
33
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯，解得
32
2
d =
，…………12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ，∵228BC AB AC =-=， 2273BE BC CE =+=，则3146
sin 146
d BE θ=
=.…………15分 23．【答案】（1）详见解析；（2）233λ=-. 【解析】（1）由于2AB =，2AM BM ==，则AM BM ⊥，
又∵平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ， ∴⊥BM 平面ADM ，…………3分
又∵⊂AD 平面ADM ，∴有BM AD ⊥；……………6分
24．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=10．
∴，解得，
∴a n﹣1+（n﹣1）=n﹣2．
（2）=．
∴数列{}的前n项和S n=﹣1+0+++…+，
=+0++…++，
∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，
∴S n=．。