湘教版九年级上册教案 1 2.6实数0 教案 2

[文件] sxc2dja0018.doc
[科目] 数学
[年级] 初二
[章节]
[关键词] 无理数/实数/分类/圆周率/绝对值
[标题] 实数(1)
[内容]
实数(1)
教学目标
1.使学生了解无理数及实数的意义，并会对实数进行分类；
2.了解实数的相反数和绝对值的意义，并会求一个实数的相反数的绝对值；
3.通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率π的研究成果，对学生进行爱国主义教育.
教学重点和难点
重点：无理数及实数的概念.
难点：对无理数的意义的理解及无理数的绝对值的求法.
教学过程设计
一、复习
问：有理数都包括哪些数?怎样进行分类?
答：如果按整数和分数为标准，分类为
有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数
如果按正数和负数为标准，分类为
有理数正有理数正整数正分数零负有理数负整数负分数从算术中的数扩充到有理数之后，扩大了数学的应用范围，能够解决更多的问题.例如，在算术中，减法不能完全进行，甚至连一个最简单的一元一次方程，如x+1=0也不能解.在有理数范围内减法可以通行无阻了，任何一个一元一次方程都可以解.这是因为引入了负数.
我们在小学学过的圆周率π，它不是有理数π≈3.141 592 6…是一个无限不循环小数.
这节课我们就要讨论把有理数再继续扩充的问题.
二、新课
1.实数
3 2≈1.259 921 0…，3≈1.732 050 8…，－7≈－2.645 751 3…，π≈3.141 592 6…
这些数都是无限不循环小数，我们把无限不循环小数叫做无理数.
无理数可分为正无理数和负无理数.如32，π，3是正无理数；－2，－π，－3 3是负无理数。

有理数和无理数统称为实数.
实数有如下的分类方法：
如果按有理数和无理数分类，则有
实数有理数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数
由于有理数和无理数都有正负之分，如果按正负概念为标准，实数又可分类为
实数正实数正有理数正无理数零负实数负有理数负无理数这里应当注意：
(1)有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；
分数都可以化为有限小数或无限循环小数，例如12=0.5(有限小数)，13=0.3(无限循环小数).
(2)无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数.
(3)有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来
表示；而无限不循环小数不能化为分数，它是无理数.
从有理数扩充到实数之后，又进一步扩大了数学应用的范围，能够解决更多的问题.例如，在有理数范围内不都能进行开方运算.又如，多项式的因式分解也有局限性，对于x2－
5就不能继续分解因式.但在实数范围内，上述问题都可以解决.
例1 下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数?
－0.313 131…，π2，－81 ，23，－3 27， 3.14， 7， 0.4829， 1.020 020 002…，
－3 9，－3 －0.5.
答案：
有理数有－0.313 131…，－81，23，－ 327，－0.4829，3.14.
无理数有π2，7，1.020 020 002…，－3 9，－3 －0.5。

正实数有π2，23 ，3.14， 7. 0.4829，1.020 020 0.02…，－3 －0.5.
注意：－3 －0.5=3 0.5是正实数；－81=－9及－3 27=－3是有理数.
指出：判断一个数是有理数还是无理数，应从它们的定义去辨别，不能从形式上去分辨，
如带根号的数不一定是无理数，像上面的－81，－3 27就是有理数.
例2 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
答案：
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才
是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如81，虽然带根号，但81=9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以
实数可以用有限小数和无限小数表示.
2.实数的相反数.
我们知道，在有理数中只有符号不同的两个数叫做互为相反数，便如3与－3，38与－
38等.实数的相反数的意义和有理数一样.
如果a表示一个正实数，－a就表示一个负实数，a与－a互为相反数，0的相反数仍是0.如2的相反数是－2；－5的相反数是5；π的相反数是－π.
问：3－2的相反数是什么?3+2的相反数是什么?
答：可以把3－2及3+2分别看作一个整体，它们都是实数，因此3－2的相反数是－(3－2)=2－3；3+2的相反数是－3+2=－3－2.
3.实数的绝对值.
问：什么叫一个有理数a的绝对值?
答：｜a｜=a (a＞0) 0(a=0) －a(a<0).
和有理数的绝对值的意义相同，一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0.
如果a表示实数，那么
｜a｜ a(a＞0) 0(a=0) -a(a＜0).
由上面可知，｜a｜是一个非负数，即｜a｜≥0.如｜2｜=2，｜－3｜=3.
例3 求下列各数的相反数及绝对值：
(1)3 －64；(2)3－π.
分析：
(1)题根据3－a=－3a(a＞0)，求一个负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数.
(2)题中先判断3与π的大小，再求3－π的绝对值.
解 (1)因为3－64=－3 64=－4，所以3 －64的相反数是4，｜3 －64｜=4.
(2)3－π的相反数是－(3－π)=π－3.
因为π＞3所以3－π＜0，因此｜3－π｜－(3－π)=－3+π=π－3.
例4 已知一个数的绝对值是3，求这个数.
解：设这个数为a，根据题意，有｜a｜=3.
因为｜3｜=3，｜－3｜=3，所以a=±3，即绝对值是3的数为±3.
例5 求下列各式中的实数x
(1)｜x｜=3 64 125；(2)｜x｜=｜－π｜；(3)求满足｜x｜＜421的整式x.
分析：根据实数的绝对值的意义求x.
解(1)3 64 125=45.
这是因为｜45｜=45,｜－45｜=45,所以绝对值为3 64 125的数为±45.
(2)｜π｜=｜－π｜=π.
因为｜π｜=π，｜－π｜=π.所以绝对值等于｜－π｜的数是±π.
(3)因为｜x｜＜421的整数x的几何意义是，在数轴上到原点的距离小于412的点所表示的所在整数，如图可以用数轴上的点表示已知条件｜x｜<412，所以满足｜x｜＜412的整数x为－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
缺图
二课常练习
1.下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是实数?(口答)
－3.14，π，3 2，－0.3 58 ，16 81 ，1.732…
2.求下列各实数的相反数及绝对值：
3－7；(－2)2 1－π；5；－2－3；a－a(a<b)；a－1(a＜1).
3.x为何值时，下列各式成立：
(1))｜x｜x=1; (2)｜x｜－x=1; (3)2x｜x｜=－2; (4)｜x｜+x=0.
四、小结
1.判断一个数是不是无理数，一定要依据无理数是无限不循环小数这一本质属性去判断，开方开不尽的数，如2，5等都是无理数.但无理数不包括这类数，如π是无理数，而它不是
由开方得到的.
2.有理数和无理数统称为实数.实数的相反数及绝对值的意义与有理数完全相同，任何实数的绝对值都是一个非负数，若a表示实数，则｜a｜≥0.
3.对实数进行分类，要先选定分类的标准，不同的分类标准就有不同的分类方法，分类后要注意所有的数不能重复和遣漏.
五、作业
1.下列各数，哪些是有理数?哪些是无理数?哪些是实数?
－3，－3 8， 1.732， 0. 2π，0.13，3 5，－2.734 78 (227)
2.判断正误，并说明理由.
(1)在理数是实数；( ) (2)实数是无理数；( )
(3)无限小数都是无理数；( ) (4)带根号的数都是无理数；( )
(5)0是实数；( ) (6)0是无理数；( )
(7)0是有理数；( ) (8)无理数都是开方开不尽的数.( )
3.求下列各数的相反数和绝对值：
(1)2.5；(2)－7；(3)－π5；(4)0；(5)3－2；(6)π－3.
4.求下列各式中的实数x；
(1)｜x｜=23; (2)｜x｜=0; (3)｜x｜=10; (4)｜x｜=2π.
附我国古代数学家关于π的研究.
圆的周长与直径的比值是一个常数π，它是一个无理数，我们可以用有理数来近似表示它.
求无理数π的近似值，我国古代数学家早已作出了巨大的贡献，在东汉初年的数学书《周髀算经》里已经载有“周三径一”，称之为“古率”，就是说，直径是1的圆，它的周长是3.
到了西汉末年，刘歆(约分元前50年到公元23年)定圆周率为3.1547，到了东汉时代，张衡(公元78－139年)求得两个比，一是92 29=3.17241…，另一个是10，约等于3.1622.(印度数学家罗笈多也曾定圆周率为10，但已迟于张衡500多年.)
到了三国时，魏人刘徽(公元263年)创立了求圆周率的准确值的原理，他用割圆术求得圆周率的前三位数字是π≈3.14…，称为徽率.
到南北朝时代的祖冲之(公元429年—500年)，他已推算出
3.1415926＜π＜3.1415927.
也就是π≈3.1415926…，他是世界上第一个确定圆周率准确到7位小数的人.祖冲之又提出了用两个分数表示π的近似值.即22 7及355 113，分别称为π的约率和密度.
在祖冲之发现密率一千多年后，欧洲的安托尼兹(16世纪～17世纪)才重新发现了这个值.。