2019届高考数学复习三角函数解三角形4.3三角函数的图象与性质学案

§4.3 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．
(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0，(π，－
1)，⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )
知识拓展 1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1
4
个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性
若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则：
(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π
2＋k π(k ∈Z )；
(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × )
(3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P35例2]函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________．
答案 π
3．[P46A 组T2]y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3
解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，
即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.
4．[P45T3]y ＝tan 2x 的定义域是________．
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
4
，k ∈Z ，
∴y ＝tan 2x 的定义域是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
. 题组三 易错自纠
5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π
3对称的是( )
A ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3
D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 B
解析 函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期T ＝2π2＝π， 又sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，
∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称．
6．函数f (x )＝4sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫π3－2x 的单调递减区间是______________________．
答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3.
所以要求f (x )的单调递减区间，
只需求y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π(k ∈Z )，得
－π12＋k π≤x ≤5
12
π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )．
7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________． 答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，
又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.
题型一 三角函数的定义域和值域
1．函数f (x )＝－2tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠
π
6 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠－
π
12 C.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π＋π6(k ∈Z )
D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π2＋π
6(k ∈Z )
答案 D
解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π
6(k ∈Z )，故选D.
2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． 答案 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )
解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π
4
，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所
以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z
. 方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．
所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z
. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1，则实数a
的取值范围是________．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π
解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，
∵当x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
∴由函数的图象(图略)知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π
3
≤a ≤π.
4．(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为__________．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12－2，1
解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2
＝sin 2
x ＋cos 2
x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 2
2
，且
－2≤t ≤ 2.
∴y ＝－t 2
2＋t ＋12＝－12(t －1)2
＋1，t ∈[－2，2]．
当t ＝1时，y max ＝1；
当t ＝－2时，y min ＝－1
2
－ 2.
∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12－2，1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x 和cos x 的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．
题型二 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调性
典例 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )
B.⎝
⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2
＋5π12(k ∈Z ) C.⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 答案 B
解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π
2(k ∈Z )，
得
k π
2－π12＜x ＜k π2＋5π
12
(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.
(2)(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的
单调递增区间是____________．
答案 ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，π6
解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，
由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π
6
(k ∈Z )．
∴函数的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.
命题点2 根据单调性求参数
典例 已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是
________．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54
解析 由π
2＜x ＜π，ω＞0，得
ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π
4
， 又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
ωπ2＋π4≥π
2
＋2k π，ωπ＋π4≤3π
2
＋2k πk ∈Z ，
解得4k ＋12≤ω≤2k ＋5
4
，k ∈Z .
又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.
引申探究
本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围
是____．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，74
解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧
ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4
≤2k πk ∈Z ，
解得4k －52≤ω≤2k －1
4
，k ∈Z ，
又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －1
4
＞0，k ∈Z ，
得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练 (2017·济南模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区
间⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )
A.23
B.32 C ．2 D ．3
答案 B
解析 由已知得T 4＝π
3
，
∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32
.
题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
命题点1 三角函数的周期性
典例 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，
最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③
答案 A
解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；
④y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A.
(2)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 2或3
解析 由题意得，1<π
k
<2，
∴k <π<2k ，即π
2<k <π，
又k ∈Z ，∴k ＝2或3. 命题点2 三角函数的奇偶性
典例 (2017·银川模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为______． 答案
5π
6
解析 由题意知f (x )为偶函数，关于y 轴对称， ∴f (0)＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫φ－π3＝±3， ∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，∴φ＝5π
6.
命题点3 三角函数图象的对称性
典例 (1)(2018·武汉模拟)若函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *
)图象的一个对称中心是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0，则ω的最小值为________．
答案 2
解析 由题意知ω6π＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )，
∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *
，∴ωmin ＝2.
(2)(2016·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )
的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为
________． 答案 9
解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT
2，
即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π18，5π36上单调，所以
5π36－π18＝π12≤T 2＝2π
2ω
，即ω≤12， 若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π
4
，
此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满
足条件．
若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4
，
此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件． 由此得ω的最大值为9.
思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．
②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)
的最小正周期为π
|ω|
.
跟踪训练 (1)(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是
( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0
C.⎝
⎛⎭⎪⎫2π3，0
D.⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π3，0
答案 A
解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝1
2
.
因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，
即12×π3＋φ＝π
2
＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.
令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π
3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，
当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0. (2)若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是________． 答案 3
解析 若将函数f (x )的图象向右平移π
3
个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则平移
的大小最小为T 2，所以T 2≤π3，即T max ＝2π3，所以当T ＝2π3时，ωmin ＝2πT max ＝2π
2π
3
＝
3.
三角函数的图象与性质
考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
典例 (1)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )
A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减 答案 D
解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A
项正确；
B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象
关于直线x ＝8π
3
对称，B 项正确；
C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x
＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，
单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．故选
D.
(2)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为________．
答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54－14＝2，
∴
2π
ω
＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π
4，
∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.
由2k π<πx ＋
π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋3
4
，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .
(3)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上
具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π
解析 记f (x )的最小正周期为T .
由题意知T 2≥π2－π6＝π
3
，
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6， 且
2π3－π2＝π6
， 可作出示意图如图所示(一种情况)：
∴x 1＝⎝
⎛⎭⎪
⎫π2＋π6×12＝π3
，
x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
＋
2π3×12＝7π12
， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π
4
，∴T ＝π.
1．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x －1)0
答案 B
解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．
2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )
A ．－1
B ．－22 C.2
2
D ．0 答案 B
解析 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，1，
故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.故选B.
3．函数y ＝sin x 2
的图象是( )
答案 D
解析 函数y ＝sin x 2
为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝π
2
时函数取得最大值，排除B ，故选D.
4．(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2
x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1 D ．2，－2 答案 D
解析 y ＝cos 2
x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2
x －2sin x ＋1， 令t ＝sin x ，
则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2
－2t ＋1＝－(t ＋1)2
＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2.
5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中
心是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，0
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，0 答案 B
解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3，
∴sin φ＝
3
2
，
又|φ|<π2，∴φ＝π
3
，
则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，
则x ＝
k π
2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π
6
， ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2017·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6，则下列说法正确的是( )
A ．f (x )的周期是π
2
B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}
C ．直线x ＝5π
3
是函数f (x )图象的一条对称轴
D ．f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z 答案 D
解析 函数f (x )的周期为2π，A 错；f (x )的值域为[0，＋∞)，B 错；当x ＝5π3时，12x －
π
6＝
2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，C 错；令k π－π2<12x －π
6
≤k π，k ∈Z ，可得2k π－
2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝
⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，
k ∈Z ，D 正确．
7．函数y ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫π4－2x 的单调递减区间为__________．
答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 解析 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，
所以令2k π≤2x －π
4≤2k π＋π(k ∈Z )，
解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
(k ∈Z )，
所以函数的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．
8．(2018·福州质检)函数y ＝cos 2
x ＋sin x ⎝
⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最小值为____________．
答案
1－2
2
解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－22
，22.
∴y ＝－t 2
＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54
，
∴当t ＝－
22时，y min ＝1－22
. 9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，
且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________． 答案
6π
5
解析 由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π
2
，k ∈Z ，
∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝5
3，
从而得函数f (x )的最小正周期为2π53
＝6π
5.
10．(2018·珠海模拟)设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，
都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2
解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期， 又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2. 11．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间；
(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．
解 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
令2x ＋π4＝k π＋π
2
，k ∈Z ，
得x ＝
k π
2＋π
8
，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝
k π
2＋π
8
，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .
(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，
所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22， 所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12. (2017·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos 2
x
2＋sin x ＋b .
(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；
(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b
＝2a sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .
(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，
由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，
得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4
(k ∈Z )，
∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．
(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π
4，
∴－
22≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1.依题意知a ≠0， ①当a >0时，⎩⎨
⎧
2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，
∴a ＝32－3，b ＝5；
②当a <0时，⎩⎨
⎧
b ＝8，
2a ＋a ＋b ＝5，
∴a ＝3－32，b ＝8.
综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.
13．(2018·太原模拟)若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2
C.⎝
⎛⎭⎪⎫π2，3π4
D.⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π4，π
答案 D
解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a
－φ)＝±1，
所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π
2，所以
π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π，故选D.
14．已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取
值范围是________． 答案 [2,3)
解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，5π6，
∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12<1，∴2≤a <3.
15．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (－x )恒成立，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3 D ．－3
答案 C
解析 由f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数
f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.
16．(2018·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， －5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；
(2)设g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．
解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，
∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，
g (x )＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x ＋π2＝－4sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫
2x ＋7π6－1
＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，
∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π
6，k ∈Z ，
其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π
2
，k ∈Z 时，
g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .
又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π
6
，k ∈Z 时，
g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3
，k ∈Z .
∴g (x )的单调减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .
∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ， 单调减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。