章节复习课和期末复习课有何不同？

章节复习课和期末复习课有何不同？
文/刘蒋巍
一章节学习结束后的复习，应理清章节的基本知识，并从多角度去理解同一
概念。

同时注意与相近概念间的联系，拓展知识的宽度。

此外，要注意逆向思考：
该命题的逆命题成立么？若成立，由此引申出的问题有哪些？
案例1：《“余弦定理”的章节复习》
（1）从多个角度理解“余弦定理”
①从文字语言角度理解“余弦定理”：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。

②从符号语言角度理解“余弦定理”：在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，
有
222
2c o s a b c b c A =+-，或222
cos 2b c a A bc +-=； 222
2c o s b a c a c B =+-，或222
cos 2a c b B ac +-=； 222
2c o s c a b a b C =+-，或222
cos 2a b c C ab +-=． ③从方程角度理解“余弦定理”：已知三角形两边,a b （或,a c ）及a 的对角
A 时，可以看成关于c （或b ）的二次方程()2222cos 0c bc A b a -+-=或
()2222cos 0b bc A c a -+-=．
（2）与相近概念联系，拓展知识的宽度
①与正弦定理联系：把正弦定理代入，有（角形式）
222s i n s i n s i n 2s i n s i n c o s A B C B C A =+-．
（3）逆向思考：余弦定理的逆命题成立么？
逆命题1 对于正实数a ，b ，c ，及(),,0,αβγπ∈，若有
2222cos a b c bc α=+-，2222cos b a c ac β=+-，2222cos c a b ab γ=+-，则,,a b c
对应的线段可以构成一个三角形，且a 边的对角大小为α，
b 边的对角大小为β，
c 边的对角大小为γ．
逆命题2 对于正实数a ，b ，c ，及()0,θπ∈，若有2222cos a b c bc θ=+-，
则,,a b c 对应的线段可以构成一个三角形，且a 边的对角大小为θ．
逆命题2证法1：以b ，c 为两边、夹角大小为θ作三角形，由余弦定理得三
角形的第三边平方为222cos b c bc θ+-，但已知2222cos a b c bc θ=+-，同时注意
到：),0(πθ∈时，θcos 单调递减。

故三角形的第三边就是a ，所以,,a b c 对应的
线段可以构成一个三角形，且a 边的对角大小为θ．
逆命题2证法2：因为),0(πθ∈，所以1cos 1<<-θ.
又由等式θcos 2222bc c b a -+=，得：bc c b a bc c b 2222222++<<-+，
即：222)()(c b a c b +<<-，c b a c b +<<-⇔，⎪⎩
⎪⎨⎧>+>+>+⇔c b a b a c a c b ,,
故，以三正数c b a ,,为边长可构造出一个三角形ABC . 由余弦定理，bc
a c
b A 2cos 2
22-+=，代入已知等式，得：θcos cos =A 因为),0(,πθ∈A ，且x cos 在),0(π上单调递减，
所以，θ=A ，即：a 边的对角大小为θ
（4）引申出新的问题
由余弦定理的逆命题2，可以引申出如下新问题：
设正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ ab ＋9，b ＋c ＝ bc ＋16，c ＋a ＝ ca ＋25．求a
＋b ＋c ．
分析：将代数式“a ＋b ＝
ab ＋9”两边平方，得：9)(2+=+ab b a ，即：
922=++ab b a ，亦即：9120cos 2022=-+ab b a ；同理得：
16120cos 2022=-+bc c b ；25120cos 2022=-+ca a c 于是，可构造三角形通过余弦定理、三角形面积公式求解。

解答：由条件得：9120cos 2022=-+ab b a ；
16120cos 2022=-+bc c b ；
25120cos 2022=-+ca a c ；
由余弦定理，可构造如下几何模型：
平面上共端点P 的线段PA 、PB 、PC 两两夹角为0120，且a PA =，b PB =，
c PC =，
于是，92=AB ，162=BC ，252=CA .
从而，三角形ABC 为直角三角形，其面积为6， 则6120sin 2
1120sin 21120sin 21000=++ca bc ab ，即：38=++ca bc ab 所以，ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
2
)(3222222222ca bc ab ca a c bc c b ab b a +++++++++++= 312252
32422521629+=+++=；因此，31225+=++c b a
期末复习的时候，对于该章节，我们要基于整本书去思考。

一是，力求该章
节与更多的概念联系起来，与一章学习结束后的复习相比，增加了知识的深度；
二是，将这一章节所在细分领域的能力贯穿起来，达到“一线串通”的效果，从
而让学生对这章节内容的理解更加完整、完善。

即：跨章思考，整体认知；抓住
关键，深入内核。

案例2：《“余弦定理”的期末复习》
余弦定理反映了三角形的边角关系，哪些知识能提供三角形的边角关系呢？
经回忆，有：三角函数，向量，解析几何、平面几何……等等，于是，通过余弦
定理的证明可以将三角函数，向量，解析几何、平面几何等知识贯穿起来．
思路1：（向量法证明）如图，有（由繁到简、三项变一项）
222cos b c bc A +- 222AC AB AC AB =+-∙（把数量转变为向量）
()2AC AB =-（向量运算、变三项为两项） 图
2BC =（向量运算、变两项为一项）
2a =．
（把向量还原为数量） 思路2：（坐标法证明）如图，在ABC ∆中，设()()()11220,0,,,,A B x y C x y ，
由向量数量积的定义，有
c o s A B A C A A B A C ∙=∙（向量数量积的定义）
1212x x y y A B A C
+=∙（把向量变为坐标） 1212222x x y y AB AC +=∙（坐标运算，保持分母一致） ()()()()222
222112212122x y x y x x y y AB AC
⎡⎤+++--+-⎣⎦=∙ （保持分子一致）
2222A B A C B C A B A C +-=∙，（把坐标变为数量） 得 2222c o s a b c b c α=+-
． 说明1：在这里，余弦定理与向量数量积的定义是用等号连接起来的，这提
示我们，余弦定理是向量数量积定义的一个推论，或者说向量数量积定义的合理
性基础正是余弦定理．另外，若,B C 在单位圆上，则
()()cos ,sin ,cos ,sin C B ααββ，有 ()c c o s O C O B O C O B αβ∙-==∙
c o s c o s s i n s i αβαβ+=．
就是说，余弦差角公式也是向量数量积定义的一个特例．余弦定理、向量数
量积定义、余弦差角公式三者是相通的，高考复习要努力体现数学的统一性，形
成优化的认知结构．
思路3 :（坐标证明）在ABC ∆中，设
()()()0,0,cos ,sin ,cos ,sin A B c c C b b ααββ，由余弦差角公式，有
()cos cos sin co n s si cos A αβαββα==+-
2cos cos 2sin sin 2bc bc bc
αβαβ+=（保持分母一致） ()()2222cos cos sin sin 2b c c b c b bc
αβαβ⎡⎤+--+-⎣⎦= （分子一致） 222
2b c a bc
+-=， 得 2222c o s a b c b c α=+-
． 思路4 （综合几何）分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形来讨论（略）．
（6）一解多题．在上述证明的思路1中用到了三角形的向量式，通过这个核心知识，可以将很多关于三角形的数学结论沟通（一解多题）．比如，对三角形向量式
B C A C A B =-，
平方可得余弦定理；求模，可得三角形不等式
A C A
B A
C A B A C A B
-<-<+， 即 b c a b c -<<+．
若对BC AC AB =-点乘BC 上的高AH 可得
B C A H A C A H A B A ∙=∙-∙， 有 0c o s c o s A C A H C A H A B A H B A H =∙∠-∙∠， 约去AH 得 0sin sin b C c B =∠-∠，即sin sin b c B C =∠∠，可以推出正弦定理． 若对BC BA AC =+点乘向量BC 可得
2c o s c o s B C B A
B C A C B C B A B C B A C B C C
=∙+∙=∙+∙，
约去BC 可得射影定理
c o s c o s a c B b C =+．
如图，对平面π上的垂线PO ，斜线PA （b ）和射影OA （c ），记平面π上任一直线a 的方向向量为a ，有0PO a ∙=，又由三角形向量式PA PO OA =+，有
()
P A a P O O A a ∙=+∙P O a O A a O A =∙+∙=∙， 得 00PA a OA a ∙=⇔∙=， 即a b ⊥⇔a c ⊥．同时得出三垂线定理及其逆定理． 图
说明2：可见，三角形的向量式BC AC AB =-是“三角形”的代数描述．能够得出不等式b c a b c -≤≤+，余弦定理，正弦定理，三垂线定理，以及射影定理等，沟通了知识的内在联系．。