江苏省苏州市张家港市沙洲中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

江苏省苏州市张家港市沙洲中学2023-2024学年高一下学期3
月月考数学试卷
一、单选题
1．如图，πcos 4θ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A B C ．45
D
2．已知向量()()1211a b ==r r ,，
,，且a r 与a b λr
r ＋的夹角为锐角，则实数λ满足 A ．5
3λ<-
B ．5
3
λ>-
C ．5
3
λ>-且0λ≠
D ．5
3
λ<-且5λ≠-
3．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若1
3,2,cos()3
a b A B ==+=,则c =
A ．4
B
C ．3
D 4．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设ABC V 内角A ，
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积S 若2c =，sin 4sin b C A =，则ABC V 面积的最大值为（ ）
A ．1
3
B ．2
3
C D ．43
5．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为45︒，沿倾斜角为15︒的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为60︒，则鼎湖峰的山高PQ 为（ ）米
A ．45
B ．45
C ．)
90
1
D ．)
90
1
6．已知ABC V 的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),m a b =u r
，()sin ,sin n B A =r ，若//m n u r r
，且满足()2cos cos a c B b C -=，则ABC V 的形状是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．直角非等腰三角形
7．在ABC V 中，若21AB AC ==，，角A 的平分线1AD =，则ABC V 的面积为（ ）
A B C D 8．如图，在ABC V 中，,M N 分别是,AB AC 的中点，,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAM yAN +=+u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则14
x y
+的最小值为（ ）
A ．3
B ．94
C ．95
D ．92
二、多选题
9．已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（ ） A ．π2πsin sin 33αα⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ B ．π5πsin cos 44αα⎛⎫⎛⎫
+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．π2πtan tan 33αα⎛⎫⎛⎫
-=+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
D ．2222tan sin tan sin αααα=-
10．在ABC V 中，π
,26
A A
B =
=，则下列说法正确的是（ ） A ．若1BC =，则符合条件的ABC V 有且只有1个
B ．若B
C ABC V 有且只有2个 C ．若2BC =，则符合条件的ABC V 有且只有2个
D ．若1
2
BC =
，则不存在这样的ABC V 11．若单位向量a r ，b r 是平面α的一组基底，=+r r r c a b ，d a b =-r r r ，则（ ）
A ．a b ⊥r r
B ．c d ⊥r
r C ．c d +≥r r
D ．
4c ≤r r
三、填空题
12．已知在平面四边形ABCD 中，2,AB AD CD ===且A B D C A D B C ⋅=⋅
u r u r u r u
r ，则BC =.
13．在ABC V 中，6AB =，5BC =，点D 是边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则22PA PB +的取值范围是.
14．若函数()π5sin (0)5f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上恰好存在6个不同的0x ()05x =，
则ω的取值范围是．
四、解答题
15．已知a 、b 、c 分别为ABC V 三个内角A 、B 、C 的对边，cos sin 0a C C b c --=. (1)求A ；
(2)若2a =，ABC V
b 、
c .
16．在锐角ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，()cos ,sin m A A =u r
，()cos ,sin n A A =-r ，向量m u r ，n r 的夹角为23
π．
(1)求角A ；
(2)若a =
ABC V 周长的取值范围． 17．如图，在ABC V 中，点P 满足2PC BP =u u u r u u u r
，O 是线段AP 的中点，过点O 的直线与边AB ，
AC 分别交于点,E F ．
(1)若23AF AC =u u u r u u u r ，求AE EB 的值；
(2)若(0)EB AE λλ=>u u u r u u u r ，(0)FC AF μμ=>u u u r u u u r ，求111
λμ++的最小值．
18．已知()sin ,cos a x x ωω=r
，()
cos b x x ωω=r ，(
)()0f x a b ω⎛⎫
=⋅> ⎪ ⎪⎝⎭
r r r .函数
()y f x =的最小正周期为π
（1）求函数()f x 在[]0,π内的单调递增区间；
（2）若关于x
的不等式sin 644f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫->+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，求实
数m 的取值范围.
19．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,2cos 2cos ,a b c a c A b c B a b +=+≠. (1)求C ；
(2)若1c =，求34a b +的最大值.。