统计与概率一轮复习导学案7-几何概型导学案及答案

第13周④ 统计与概率7——几何概型
一、考纲解读
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2.了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重点) 二、学习重难点
重点：求几何概型中的长度和面积 难点：随机模拟方法的判断 三、考向预测
从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一. 预测2020年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划等内容. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题. 四、重要知识梳理 1．几何概型
向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．
2．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比． 3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率． 五、典例讲解
题型一、与长度、角度有关的几何概型
例1、(1)(2017·安徽巢湖二模)函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[-5,5]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( )
A.1
10 B ．23
C.310
D ．45
解析 ∵f (x )≤0⇔x 2－x －2≤0⇔－1≤x ≤2， ∴f (x 0)≤0⇔－1≤x 0≤2，即x 0∈． ∵在定义域内任取一点x 0，∴x 0∈， ∴使f (x 0)≤0的概率为P ＝
2－－5－－
＝3
10
.故选C . (2)(2017·山东烟台模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到1
2之间的概率为________．
解析 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12， 得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π
2，
根据几何概型概率公式得所求概率为13. 答案 1
3
题型二、与面积有关的几何概型
例2、已知函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩
⎪⎨
⎪⎧
f （2）
，
f （－2），
为事件
为A ，则事件A 发生的概率为( )
A.1
2 B ．5
8
C.38
D ．14
解析：选A.由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
f
，
f
－
⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
2b ＋c ≤8，－2b ＋c ≤0.如图，作出平面区域，易知事件A 所包含的区域如图阴影部分，由几何概型概率公式可得事件A 发生的概率为P ＝1
2×4×44×4＝1
2
.
题型三、与面积有关的几何概型
例3．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．
解析：因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13·S △ABD ·AA 1＝1
6·S
矩形
ABCD ·AA 1
＝1
6
V 长方体
，故所求概率为
VA －A 1BD V 长方体
＝1
6. 答案：1
6
六、达标训练
1. 如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2
km ，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为( )
A.112 B ．512 C.13 D ．15
解析：选B.根据几何概型公式，小于3 km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P (A )＝5π12π＝512.
2．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于6
5
的概率是( )
A.1225 B ．1625 C.1725 D ．1825
解析：选 C. 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是
⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是
⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ＜65
，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝17
25
，所以这两个数之和小
于65的概率是1725
. 3．从区间随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.4n
m B ．2n m
C.4m n
D ．2m n
解析 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n
，即π4＝m n ，所以π＝4m
n .
答案 C
4．(1)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜5}，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －2
3－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________．
解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝1
6
.
答案：16
5．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
解析：由题意，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－2
3π8＝1－π
12
.
答案：1－π
12
6．一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的
距离小于2的地方的概率为________．
解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为1
2×5×12＝30，阴影部分
的面积为12×π×22＝2π，所以所求概率为2π30＝π
15
.
答案：π15
7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2
n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的
概率是________．
解析：∵方程x 2m 2＋y 2
n
2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .
如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，
∴所求的概率为P ＝12. 答案：12
七、课堂小结
1、求解与长度、角度有关的几何概型的方法：求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
2、求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
3、求解与体积有关问题的注意点：对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．。