char2-2函数的极限

x 0 ,
lim x
x x0
x0 .
3.单侧极限:
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
x 0
例如,
x0 x0
y 1 x
y
1
y x2 1
o
x
x从左侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x x从右侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x
恒有 f ( x ) A .
2.几何解释:
A
A
y
y f (x)
A
o
x0

x0

x0
x
例2 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
例3
证明 lim x x0 .
x x0
例3
证明 : 当x0 0时, lim x
x x0
x0 .
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 . x 0
1 lim 0, x x 1 函数 是当x 时的无穷小 . x
( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
2.唯一性
定理 若lim f ( x )存在,则极限唯一.
3.不等式性质
定理1(保号性) 若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0),
x x0
则 0,当x U ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0).
0
定理2 若 lim f ( x ) A, 且 0,当x U 0 ( x0 , )时,
(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小.
sin x lim 1， x 0 x
即 sin x ~ x ( x 0).
例1 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 .
tan x sin x 解 lim x 0 x3 1 sin x 1 cos x lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
2、另两种情形:
10 . x 情形 : xlim f ( x ) A
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
2 . x 情形 : lim f ( x ) A
0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim lim 定理 : lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A. x
3、几何解释:
y
A
sin x x
X

X
2.3 函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下, f ( x ) 有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
1 ln(1 u)
1 u

u 0
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
即，当 x 0 时，x ~ ln(1 x ),
x ~ e x 1.
(5) 等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证 f ( x) A
x x0
x x0 x x0 , x0 x x0
任给 0, 要使 f ( x ) A ,
只要 x x 0 x 0 且不取负值. 取 min{ x 0 , x 0 },
当0 x x0 时, 就有 x
(4) 无穷小的比较 2
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 1 2 限 x sin x lim sin 1 0 lim 不存在. 不可比. x0 （ 型）x 0 x 2 x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
推论
设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B , 且A B
x x0 x x0
则 0, x U 0 ( x0 , ), 有f ( x ) g( x ).
4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程x a (a可以是x0 , x0 , 或x0 )中
f ( xn ), 即f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ),为函数f ( x )
当x a时的子列.
定理
有数列xn ( a ), 使得n 时xn a .则称数列
若 lim f ( x ) A, 数列f ( xn )是f ( x )当x a
x a n
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
例２ 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u0 ln(1 u) x
0 x x0 的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都
满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
f ( x ) 当 x x0 时的极限,记作
x x0
lim f ( x ) A 或
f ( x ) A(当x x0 )
" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,
x x0
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) A 且 lim f ( x) A
x x0 x x0
或 lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x 例7 验证 lim 不存在. x 0 x
?结论fx无限接近于某常数a则常数a叫做函数fx当xx时的左极限记为不存在验证sin时的变化趋势播放播放22自变量趋向无穷大时函数的极限定义1如果对于任意给定的正数不论它多么小总存在着正数x使得对于适合不等式lim1定义
第二章 极限
§2 函数极限
2.1自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数 y f ( x ) 在 x x 的过程中,对应
x x0
或 >0 >0 0)。 lim f(x)Af(x)A(xx当 0<|xx0|< 有|f(x)A|<
单侧极限
若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫 做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
x x0
lim f ( x) A 或f(x0)A .
tan 2 x 例３ 求 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 2 x 2
0则有 lim ( x ) 0,x x0 f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
•精确定义
x x0
lim f ( x) A 0 0 当x0xx0 有|f(x)A|<
类似地可定义右极限. •结论
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) A 且 lim f ( x) A
x x0 x x0
y
1
o
1
x
sin x 2.2 自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
播放
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式x X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A ,
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
例7 证明 lim sin
x 0
1 不存在. x
y sin 1 x
2.4 无穷小量与无穷大量
1. 无穷小
(1) 定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0
函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.

x0
点x0的去心邻域,

x0
x0
x
体现x接近x0程度.
1、定义：
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多 么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
x x0
f ( x ) 0(或f ( x ) 0), 则A 0(或A 0).
推论 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B .若 0,
x x0 x x0
x U 0 ( x0 , ), 有f ( x ) g ( x ), 则A B .
2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ２ ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ; 两个重要极限式
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
(2) 无穷小与函数极限的关系:
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
x x0 x x0
x x0
(3) 无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小.
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数 值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) , 那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
时的一个子列 则有lim f ( xn ) A. ,
sin x 例如, lim 1 x 0 x 1 lim n sin 1, n n
y
sin x x
n2 n1 1 sin 2 1 lim n sin 1, lim n n 1 n n n
函数极限与数列极限的关系
那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
" X " 定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .