关于复数的乘幂与方根

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(1 i )n (1 i )n
n ( 2 ) cos i sin ( 2 ) cos i sin 4 4 4 4
n n
n
n n n n ( 2 ) cos i sin cos i sin 4 4 4 4
3
2 k 2 k 6 4 4 i sin 1 i 2 cos 3 3 ( k 0,1,2).
14
即 w0 2 cos i sin , 12 12
n个
对于任何整数 n,
有 z [ (cos i sin )] [ e i ]n
n n
= e = (cos n i sin n ). 当 z 的模 1, 即 z cos i sin , n (cos i sin ) cos n i sin n .
(k 0, 1, 2,
,)
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当 k 0,1,2,, n 1 时, 得到 n 个相异的根:
w0 e ,
1 i n n
w1 e
1 2 i[ ] n n
,
wn1 e
1 2( n1) π i[ ] n n
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
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18
n
2
n 2 2
n cos . 4
10
(2) n次方根
已知z = e ,求z的n次方根
i
相当于求方程 w z 的根 w, 其中 z = e
n
i
wk z e
n 1 n
1 n
i(
2 kπ
n
)
2 kπ 2 kπ cos i sin n n
3 6 i
z1 z2 e
z1 e z2
e e


2
i
i ,
3 1 i. 2 2
7
3 6 i


6
i
2、幂与根 (1). n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂,
z z z. 记作 z n , z n
iz相当于将z所对应的向量 OZ 沿逆时针方向旋转



2
- z相当于将z所对应的向量 OZ 沿逆时针方向旋转
-iz相当于将z所对应的向量 OZ 沿顺时针方向旋转


2
3
说明 由于辐角的多值性, Arg ( z 1 z 2 ) Arg z 1 Arg z 2 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如，设 z1 1, z2 i , 则 z1 z2 i , Argz1 2n, ( n 0, 1, 2,), Argz2 2m, ( m 0, 1, 2,), 2 π Arg( z1 z2 ) 2kπ, ( k 0, 1, 2,), 2 3 故 2( m n) 2k, 只须 k m n 1. 2 2 若 k 1, 则 m 0, n 2 或 m 2, n 0.
n in n
棣莫佛公式
8
例2
解
化简 (1 i )n (1 i )n .
1 1 1 i 2 i 2 2 2 cos i sin 4 4 1 1 1 i 2 i 2 2
2 cos i sin 4 4
就表示积所得向量argarg先把按逆时针方向旋转一个角特别地时只需旋转一个角度就行了相当于将所对应的向量沿逆时针方向旋转相当于将所对应的向量沿逆时针方向旋转相当于将所对应的向量沿顺时针方向旋转说明由于辐角的多值性argarg两端都是无穷多个数构成的两个数集
1、乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 证
若 m = n = 0,
则k = 1
4
Argz可以换成 argz 即辐角主值，此时 注意：
大家应该注意两端允许相差 2 的整数倍。即
arg( z1 z2 ) argz1 argz2 2k .
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk k (cos k i sink ) k e , (k 1,2, , n)
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例如 k n 时,
Байду номын сангаас
wn e
1 2 nπ i[ ] n n
1 i n n
e e 2 i w0 . k n 1 时,
wn1 e
e
从几何上看,
1 n
n
1 2( n1) π i[ ] n n
1 2 i[ ] 2 i n n
e
w1
z 的 n 个值就是以原点为中心 ,
为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
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例4
解
计算 3 1 i 的值.
1 1 1 i 2 i 2 2
2 cos i sin 4 4
Arg ( z 1 z 2 ) Arg z 1 Arg z 2 .

先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 ,
再把它的模扩大到 2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .
y
z



o
1
1
2
z1



z 22
x
两复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
2
特别地， z2 1时，只需旋转一个角度2就行了，
ik
z1 z2
zn 1 2
n e
i (1 2 n )
.
5
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复 数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
证 设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 1ei1 , z2 2e i2 ,
z2 2 i (2 1 ) 则 e . [证毕] z1 1
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 1e , z2 2e ,
i2
i1
则z1 z2 1e
i1
2e
i2
1 2e
i (1 2 )
1
z1 z2 1 2e
i (1 2 )
[证毕] 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 ,
6
7 7 w1 2 cos i sin , 12 12
6
5 5 w2 2 cos i sin . 4 4
6
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例5
计算 4 1 i 的值.
解 1 i 2 cos i sin 4 4 2 k 2 k 8 4 4 4 ( k 0,1,2,3). 1 i 2 cos i sin 4 4 8 即 w0 2 cos i sin , 16 16 9 9 w1 2 cos i sin , 16 16
6
1 例1 已知 z1 (1 3i ), z2 sin i cos , 2 3 3 z1 求 z1 z2 和 . z2 e 3i 解 因为 z1 cos i sin
3 3 i z2 cos i sin e 6 6 6
应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种
形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1 z2 1 2e
i (1 2 )
z2 2 i (2 1 ) e . z1 1
棣莫佛(de Moivre)公式
(cos i sin )n cos n i sin n .
8
16
17 17 w2 2 cos i sin , 16 16
8
25 25 w3 2 cos i sin . 16 16
8
w1
y
这四个根是内接于中 心在原点半径为 2 的 圆的正方形的四个顶点 .
8
w0
w2
o
x
w3
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三、小结与思考