山东省菏泽市郓城县北城中学高一数学理上学期期末试卷含解析

山东省菏泽市郓城县北城中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的单调递增区间是（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
D
解：∵，
∴，又函数是由及复合而成，易知
在定义域上单调递减，而函数在单调递增，在单调递减，根据复合函数的单调性的法则知，函数的单调递增区间是．
故选．
2. 设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则( )
A．f（a）＞f（2a）B．f（a2+1）＜f（a）C．f（a2+a）＜f（a）D．f（a2）＜f（a）
参考答案：
B
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】配方法，先确定变量的大小关系，利用函数的单调性可得．【解答】解：∵a2+1﹣a=（a﹣）2+＞0，
∴a2+1＞a．
∵函数f （x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，
∴f （a2+1）＜f （a）．
故选B．
【点评】本题考查函数的单调性，涉及配方法的应用，属中档题．
3. 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )
A. B=A∩C
B. B∪C=C
C. A C
D. A=B=C
参考答案：
B
【分析】
由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．
【详解】由题B A，
∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，
∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B C，
则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，
故选B．
【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题
5.若平面向量与＝(1，－2)的夹角为180°，且||＝，则等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3)
参考答案：
A
5. 已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()
A．1 B．
C．2 D．3
参考答案：
C
6. 已知在区间上是增函数，则的范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
7. 设偶函数的部分图象如图所示,△KMN为等腰直角三角形,∠KMN=90°,则的值为
A. B C D
参考答案：
B
由题图知函数的周期，
由＝2，得ω＝π.由△KMN为等腰直角三角形，∠KMN＝90°，知点M到x轴的距离是，则f(x)＝cos(πx＋φ)，由f(x)是偶函数，所以π×0＋φ＝0，∴φ＝0，f(x)＝cos πx，故f ＝cos＝ .故选B.
8. 已知向量，，若，则实数k等于（）
A. B. 3 C. -7 D. -2
参考答案：
B
9. 正实数x、y满足，则的最大值是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
参考答案：
C
【分析】
对等式的左边进行配方，得，利用平方数的性质，，是正实数，可得，所以有，利用基本不等式，求出的最小值，最后求出的最大值.
【详解】，
，（当且仅当，取等号），因此的最大值为4，故本题选C.
【点睛】本题考查了求代数式的最大值，由已知式子得到完全平方式，最后利用基本不等式是解题的关键.
10. 已知函数，和分别是函数取得零点和最
小值点横坐标，且在单调，则的最大值是( )
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
参考答案：
B
【分析】
由题意可得，即，根据，可推出
，再根据在单调，可推出，从而可得的取值范围，再通过检验的这个值满足条件．
【详解】∵，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标
∴，即.
又∵，
∴
又∵在单调
∴
又∵
∴
当，时，，由函数最小值点横坐标知，此时，在递减，递增，不满足在单调，故舍去；当，时，由是函数最小值点横坐标知，此时
在单调递增，故.
故选B．
【点睛】对于函数，如果它在区间上单调，那么基本的处理方法是先求出单调区间的一般形式，利用是单调区间的子集得到满足的不等式组，利用和不等式组有解确定整数的取值即可.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在直角坐标系中，已知M（2，1）和直线L：x﹣y=0，试在直线L上找一点P，在X轴上找一点Q，使三角形MPQ的周长最小，最小值为．
参考答案：
【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；直线与圆．
【分析】作出M（2，1）关于直线L：x﹣y=0的对称点N（1，2），作出M（2，1）关于x轴的对称点E（2，﹣1），连结MN，交直线L于P，交x轴于E，从而得到三角形MPQ的周长最小时，最小值为|NE|．
【解答】解：如图，作出M（2，1）关于直线L：x﹣y=0的对称点N（1，2），
作出M（2，1）关于x轴的对称点E（2，﹣1），
连结MN，交直线L于P，交x轴于E，
∵MP=PN，MQ=QE，∴三角形MPQ的周长为线段NE的长，
由两点间线段最短得此时三角形MPQ的周长最小，
∴三角形MPQ的周长最小时，最小值为：
|NE|==．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形周长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意转化思想的合理运用．
12. 已知函数，则
的值为▲ . 参考答案：
－4
由题意得．
13. 若，则．
参考答案：
14. 函数f （x ）=
满足[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＜0对定义域中的任意
两个不相等的x 1，x 2都成立，则a
的取值范围是 ．
参考答案：
（0
，]
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】首先判断函数f （x ）在R 上单调递减，再分别考虑各段的单调性及分界点，得到0＜a ＜1①a﹣3＜0②a 0≥（a ﹣3）×0+4a③，求出它们的交集即可．
【解答】解：[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x 1，x 2都成立， 则函数f （x ）在R 上递减， 当x ＜0时，y=a x ，则0＜a ＜1①
当x≥0时，y=（a ﹣3）x+4a ，则a ﹣3＜0② 又a 0
≥（a ﹣3）×0+4a③ 则由①②③，解得0＜a≤． 故答案为：（0，]．
【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及应用，注意分界点的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题．
15. 函数
的定义域是 。

参考答案：
且
16. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3∶4∶7，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中B 型号产品有28件．那么此样本的容量n 等于________．
参考答案：
98 略
17. 若不等式
的解集是
，不等式
的解集是
，且
，
中，
，
则不等式
的解集为 .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数的部分图象如图所示，B ，C 分别是图
象的最低点和最高点，.
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），得到函数
的图象，求函数
的单调递增区间.
参考答案：
(1)由图象可得： ，所以的周期.
于是，得，
又，∴∴，
又将代入得，，
所以，即，
由得，，
∴.
（2）将函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度，
得到的图象对应的解析式为：，
再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为，
由，得,，,
∴函数的单调递增区间为.
19. (本小题10分)设，比较与的大小
参考答案：
>
20. （12分）设全集U=R，A={x|1＜2x﹣1＜5}，B={x|≤2x≤4}，求A∪B，（?R A）∩B．参考答案：考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的并集，求出A的补集，确定出A补集与B的交集即可．
解答：由A中的不等式1＜2x﹣1＜5变形得：2＜2x＜6，
解得：1＜x＜3，即A={x|1＜x＜3}；
由B中的不等式≤2x≤4变形得：2﹣1≤2x≤22，
解得：﹣1≤x≤2，
即B={x|﹣1≤x≤2}，
∴A∪B={x|﹣1≤x＜3}，?R A={x|x≤1或x≥3}，
则（?R A）∩B={x|﹣1≤x≤1}．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
21. 已知函数=是奇函数.
⑴ 求实数的值；
⑵ 判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
⑶ 对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
解：⑴ ∵=是奇函数,
∴对任意R, 有=-
∴）.
∴.
∴
⑵在R上是增函数,证明如下：
=.
设、∈R且＜，
=
∵＜，∴＞，
∴＞0, 即＞，
∴在R上是增函数.
⑶ 对任意的实数，不等式恒成立，
则只要＜
∵+1＞1, ∴0＜＜1, ∴-1＜-＜0 ,
∴-＜-＜, 即＜＜，
∴，
∴.
故所求实数的取值范围是
略
22. （本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求及；（2）若数列满足，，证明数列的前项和满足.
参考答案：
解：（1）设等差数列的首项为，公差为.
∵ ，，∴ …………2分
解得………………4分
∴ ,,. ………………6分
（2）设,；∵，∴
∴ ………………9分
= =……12分略。