2021-2022年高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题9平面直角坐标与不等式第
(通用版)高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题10 数学思想 第39练
第39练 分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的X 围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．体验高考1．(2015·某某)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．[1, ＋∞) 答案 C解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.2．(2015·某某)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 答案 D 解析 由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ， 离心率e 2＝a ＋m2＋b ＋m 2a ＋m 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b ＋m a ＋m －b a ＝m a －ba a ＋m，且a >0，b >0，m >0，a ≠b ， 所以当a >b 时，m a －b a a ＋m >0，即b ＋m a ＋m >ba.又b ＋m a ＋m >0，ba>0， 所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m a －ba a ＋m<0，可推得e 2<e 1.综上，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.3．(2015·某某)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值X 围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)， 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )， 两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0， 解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝c ＋c2＋⎝⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)．与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋1，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x 23x ＋12＞2，解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0， 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.高考必会题型题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A ＝{x ∈R |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，某某数a 的取值X 围．解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况． (1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. (2)当BA 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综合(1)(2)知，所某某数a 的取值X 围为a ≤－1或a ＝1.点评 对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B ⊆A ，包括B ＝∅和B ≠∅两种情况．解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值X 围是进行讨论时首先要考虑的因素．变式训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n－1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对 答案 D解析 ∵S n ＝p n－1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)pn －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列； 当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列． 题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值． 解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值． 变式训练2 已知函数f (x )＝2e x－ax －2(x ∈R ，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，某某数a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2e x－x －2，f ′(x )＝2e x －1，f ′(1)＝2e －1，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率k ＝2e －1， 又f (1)＝2e －3，所以所求的切线方程是y ＝(2e －1)x －2. (2)易知f ′(x )＝2e x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，f (x )在R 上单调递增； 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(ln a2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又f (0)＝0，所以若a ≤0，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．若a >0，则当ln a2≤0，即0<a ≤2时， 则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．当ln a2>0，即a >2，则当x ∈(0，ln a2)时，f (x )单调递减，f (x )<f (0)＝0，不符合题意．综上，实数a 的取值X 围是(－∞，2]． 题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化X 围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8] 答案 D 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)． ①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC (含边界)，如图(1)所示， 此时，7≤z max <8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图(2)所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化X 围是[7,8]．点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．变式训练3 设点F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且||PF 1＞||PF 2，求||PF 1||PF 2的值． 解 若∠PF 2F 1＝90°， 则||PF 12＝|PF 2|2＋||F 1F 22，又∵||PF 1＋||PF 2＝6，||F 1F 2＝25，解得||PF 1＝143，||PF 2＝43，∴||PF 1||PF 2＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22，∴||PF 12＋(6－||PF 1)2＝20，又|PF 1|>|PF 2|，∴||PF 1＝4，||PF 2＝2，∴||PF 1||PF 2＝2. 综上知，||PF 1||PF 2＝72或2. 高考题型精练1．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值X 围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 D解析 方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)， ∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)， 而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 答案 D解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析 当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则|FO |＝p ，|FP |＝x －p2＋y 2，若x －p2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P 一共有4个． 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，12()log f x x =是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]； 当x <1时，f (x )＝2x是单调递增的， 此时，函数的值域为(0,2)． 综上，f (x )的值域是(－∞，2)．5．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，a 的取值X 围是(－∞，－1]．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值X 围． 解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )．(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在．(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0， 得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4， 综上得－7≤a ≤2.7．已知ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a)(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a}；当a ＝1时，解集为∅； 当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．8．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 9．已知a 是实数，函数f (x )＝x (x －a )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值．①写出g (a )的表达式；②求a 的取值X 围，使得－6≤g (a )≤－2.解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)， f ′(x )＝3x －a 2x(x >0)． 若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞)． 若a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3， 当0<x <a 3时，f ′(x )<0， 当x >a3时，f ′(x )>0. f (x )有单调递减区间[0，a 3]， 有单调递增区间(a 3，＋∞)． (2)①由(1)知，若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝f (0)＝0.若0<a <6，f (x )在[0，a 3]上单调递减， 在(a3，2]上单调递增， 所以g (a )＝f (a 3)＝－2a 3a 3.若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减，所以g (a )＝f (2)＝2(2－a )．综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，a ≤0，－2a 3a 3，0<a <6，22－a ，a ≥6.②令－6≤g (a )≤－2.若a ≤0，无解．若0<a <6，解得3≤a <6.若a ≥6，解得6≤a ≤2＋3 2.故a 的取值X 围为3≤a ≤2＋3 2. 10．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1(a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求所有实数a 的值． 解 (1)f ′(x )＝ax －1＝a －x x(x >0)， 当a ≤0时，f ′(x )<0，∴f (x )的减区间为(0，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0得0<x <a ，由f ′(x )<0得x >a ，∴f (x )递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 而f (1)＝0，∴f (x )≤0在区间x ∈(0，＋∞)上不可能恒成立；当a >0时，f (x )在(0，a )上递增，在(a ，＋∞)上递减， f (x )max ＝f (a )＝a ln a －a ＋1，令g (a )＝a ln a －a ＋1，依题意有g (a )≤0，而g ′(a )＝ln a ，且a >0，∴g (a )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴g (a )min ＝g (1)＝0，故a ＝1.。
高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10数学思想第40练转化与化归思想文
第40练 转化与化归思想[思想方法解读] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．体验高考1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝＋2＝9×2a52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a10－a510－5＝1， ∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．(2016·课标全国丙)已知则( ) A ．b <a <c B ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为由函数y ＝2x在R 上为增函数知b <a ；又因为由函数在(0，＋∞)上为增函数知a <c .综上得b <a <c .故选A. 3．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B . (1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有 cos A ksin A ＋cos B ksin B ＝sin C ksin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有 cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos2A ＝45. 由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B . 故tan B ＝sin B cos B＝4. 高考必会题型题型一 正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题4 三角函数与平面向量 第17练 三
（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题4 三角函数与平面向量第17练三角函数的图象与性质文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题4 三角函数与平面向量第17练三角函数的图象与性质文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题4 三角函数与平面向量第17练三角函数的图象与性质文的全部内容。
第17练三角函数的图象与性质［题型分析·高考展望] 三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换．考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般为低中档,在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分．体验高考1．（2015·湖南）将函数f（x)＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x）的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1,x2,有|x1－x2|min＝错误!，则φ等于（)A.错误! B。
错误! C.错误! D。
错误!答案D解析因为g（x)＝sin 2（x－φ)＝sin（2x－2φ)，所以|f（x1)－g(x2）｜＝｜sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2。
因为－1≤sin 2x1≤1，－1≤sin（2x2－2φ)≤1，所以sin 2x1和sin(2x2－2φ）的值中，一个为1,另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1,sin（2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋错误!，k1∈Z，2x2－2φ＝2k2π－错误!，k2∈Z，2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得｜x1－x2｜＝错误!。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方
第38练 数形结合思想[思想方法解读] 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．体验高考1．(2015·北京)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 答案 C解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．2．已知f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值 答案 C解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f x ，|f x g x －g x ，|f xg x，故h (x )有最小值－1，无最大值．3．(2015·重庆)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 答案 4或－6解析 由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |， 当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －x <－，－x ＋2a ＋－1≤x ≤a ，3x －2a ＋x >a作出f (x )的大致图象如图所示， 由函数f (x )的图象可知f (a )＝5， 即a ＋1＝5，∴a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6.高考必会题型题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 例1 方程sin πx ＝x4的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 C解析 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sin πx 和y 2＝x4的图象，如下图：观察图象可知y 1＝sin πx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sin πx ＝x4有7个解．点评 利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．变式训练1 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1－kx 2，x ≤0，ln x ，x >0有且只有两个不同的零点，则实数k的取值范围是( ) A ．(－4,0) B ．(－∞，0] C ．(－4,0] D ．(－∞，0)答案 B解析 当x >0时，f (x )＝ln x 与x 轴有一个交点， 即f (x )有一个零点．依题意，显然当x ≤0时，f (x )＝xx －1－kx 2也有一个零点，即方程xx －1－kx 2＝0只能有一个解． 令h (x )＝xx －1，g (x )＝kx 2，则两函数图象在x ≤0时只能有一个交点． 若k >0，显然函数h (x )＝xx －1与g (x )＝kx 2在x ≤0时有两个交点，即点A 与原点O (如图所示)．显然k >0不符合题意． 若k <0，显然函数h (x )＝xx －1与g (x )＝kx 2在x ≤0时只有一个交点， 即原点O (如图所示)．若k ＝0，显然函数h (x )＝xx －1与g (x )＝kx 2在x ≤0时只有一个交点，即原点O . 综上，所求实数k 的取值范围是(－∞，0]．故选B. 题型二 利用数形结合解决不等式函数问题 例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 当x ≥2时，f (x )＝2x，此时f (x )在[2，＋∞)上单调递减， 且0<f (x )≤1.当x <2时，f (x )＝(x －1)3，此时f (x )过点(1,0)， (0，－1)，且在(－∞，2)上单调递增． 当x →2时，f (x )→1.如图所示作出函数y ＝f (x )的图象，由图可得f (x )在(－∞，2)上单调递增且f (x )<1，f (x )在[2，＋∞)上单调递减且0<f (x )≤1，故当且仅当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实根，即实数k 的取值范围是(0,1)．点评 利用数形结合解不等式或求参数的方法求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．变式训练2 若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) 答案 D解析 因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得x －a <12x ＝2－x，在直角坐标系中，作出函数f (x )＝x－a ，g (x )＝2－x在x >0时的图象，如图．当x >0时，g (x )＝2－x<1，所以如果存在x >0，使2x(x －a )<1，则有f (0)<1，即－a <1，即a >－1，所以选D.题型三 利用数形结合求最值例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C 解析 如图，设O A →＝a ，O B →＝b ，O C →＝c ，则C A →＝a －c ，C B →＝b －c . 由题意知C A →⊥C B →， ∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|O C →|＝ 2. 点评 利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义． 第二步：转化为几何问题． 第三步：解决几何问题． 第四步：回归代数问题． 第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．变式训练3 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.高考题型精练1．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C ．[－33，33] D ．(－33，33) 答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径， 即d ＝|2k －4k |k 2＋1≤1，得4k 2≤k 2＋1，k 2≤13.所以－33≤k ≤33.2．已知f (x )＝|x ·e x |，又g (x )＝f 2(x )＋t ·f (x )(t ∈R )，若满足g (x )＝－1的x 有四个，则t 的取值范围为( )A ．(e 2＋1e ，＋∞) B ．(－∞，－e 2＋1e )C ．(－e 2＋1e ，－2) D ．(2，e 2＋1e )答案 B解析 依题意g (x )＝f 2(x )＋t ·f (x )＝－1， 即t ＝－1－f2xf x＝－[f (x )＋1f x]≤－2，可排除A ，C ，D.也可以画出函数－[f (x )＋1f x]图象如下图所示，要有四个交点，则选B.3．已知函数f (x )满足下列关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．10 答案 C解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．4．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．(3，2) B ．(34，2) C ．[34，2) D ．(34，2]答案 B解析 作出f (x )在区间(－2,6]上的图象， 可知log a (2＋2)<3，log a (6＋2)>3⇒34<a <2，选B.5．若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( ) A ．[－1,1)B ．k ＝± 2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1) 答案 D解析 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2， 则x 2＋y 22＝1(y ≥0)．作出图象如图，在y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1.6．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，当函数有4个零点时，则a 的取值范围是__________． 答案 (0,4)解析 ∵函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有4个零点， ∴方程|4x －x 2|＝a 有4个不同的解．令g (x )＝|4x －x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x －2， 0≤x ≤4，x －2－4， x <0或x >4.作出g (x )的图象，如图，由图象可以看出，当h (x )＝a 与g (x )有4个交点时，0<a <4， ∴a 的取值范围为(0,4)．7．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________． 答案 (4，＋∞)解析 由于函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b )，所以ab >4. 8．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)∪(1,4) 解析 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x >1或x <－，－x －－1≤x在直角坐标系中作出该函数的图象， 如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，对应的平面区域Ω(含边界)为图中的四边形ABCD ，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率，显然OA 的斜率最大． 10．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f (x )＝3x－2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确的命题是________． 答案 ②③④解析 对于①，在区间(0，＋∞)上，只有y ＝x 12，y ＝x 3是增函数，所以①错误．对于②，由log m 3<log n 3<0，可得1log 3m <1log 3n <0，即log 3n <log 3m <0，所以0<n <m <1，所以②正确．易知③正确．对于④，方程f (x )＝0即为3x－2x －3＝0，变形得3x＝2x ＋3，令y 1＝3x，y 2＝2x ＋3，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题11 数学方法 第41练 配方法与待
（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11 数学方法第41练配方法与待定系数法文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11 数学方法第41练配方法与待定系数法文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11 数学方法第41练配方法与待定系数法文的全部内容。
第41练 配方法与待定系数法［题型分析·高考展望] 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简．如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项"、“配"与“凑”的技巧，完全配方．配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一．待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解．高考必会题型题型一 配方法例1 (1）设x ∈[2,8]时，函数f （x ）＝错误!log a (ax ）·log a (a 2x ）（a 〉0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－错误!，则a 的值是________．(2)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．(3)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点，已知向量错误!＝(2,2），错误!＝(4,1)，在x 轴上取一点P ,使AP ，→·错误!有最小值,则P 点的坐标是________．答案 （1）错误! (2)错误! （3)（3,0)解析 （1)由题意知f (x ）＝错误!（log a x ＋1）·（log a x ＋2)＝错误!错误!＝错误!（log a x ＋错误!）2－错误!.当f （x ）取最小值－错误!时，log a x ＝－错误!，又∵x ∈［2,8］，∴a ∈（0,1）．∵f （x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f （x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若错误!(log a 2＋错误!)2－错误!＝1,则a ＝231 ，f (x ）取得最小值时，x ＝(231-)32-＝2∉［2,8］,舍去．若12(log a 8＋错误!）2－错误!＝1, 则a ＝错误!,f (x ）取得最小值时,321()[2,8],2x -== ∴a ＝错误!.(2)y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x＝－2（sin 2x －sin x )＋1＝－2(sin x －错误!）2＋2×错误!＋1＝－2（sin x －错误!)2＋错误!.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝错误!时，y 取最大值，最大值为错误!。
高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题1集合与常用逻辑用语第2练用好逻辑用语突破充要
第2练用好逻辑用语，突破充要条件[题型分析·高考展望] 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．(2015·重庆)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析(x＋2)＜0⇔x＋2＞1⇔x＞－1，因此选B.4．(2015·四川)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A. 5．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案 D解析全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，n≥x2的否定是n＜x2，故选D.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．例1 (1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线。
新高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5数列推理与证明第24练归纳推理与类比推理文
新高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5数列推理与证明第24练归纳推理与类比推理文[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以选择题、填空题的形式考查．题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决．体验高考1．(2015·陕西)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…，据此规律，第n个等式可为_________________________________________________．答案1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋12n解析等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.2．(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．3．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为＝＝＝＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．答案5解析＝＝1；＝＝0；＝＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x5错误，故k等于5.高考必会题型题型一利用归纳推理求解相关问题例1 (1)观察下列等式12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为______________________．(2)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )答案(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(2)A解析(1)观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.(2)第一个图，左下角为黑，然后顺时针旋转，变为第二个图；接下来，相邻的黑块顺时针旋转；所以之后所有图就应该是相邻的黑块顺时针旋转，故选A.点评归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题．变式训练1 已知cos ＝，cos cos ＝，cos cos cos ＝，根据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________．答案cos cos ·…·cos ＝，n∈N*题型二利用类比推理求解相关问题例2 半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请写出类比①的等式：________________.上式用语言可以叙述为________________．答案(πR3)′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析圆的面积类比为球的体积，圆的周长类比为球的表面积，那么语言可以叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数，故填：(πR3)′＝4πR2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评类比推理的一般步骤(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．变式训练2 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则等于( )A. B.127C. D.18答案B解析从平面图形类比到空间图形，从二维类比三维，可得到如下结论：正四面体的内切球与外接球半径之比为，所以正四面体的内切球的体积V1与外接球的体积V2之比等于＝()3＝，故选B.高考题型精练1．设0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝(n∈N*)，猜想an等于( )A．2cos B．2cos θ2n－1C．2cos D．2sin θ2n答案B解析a2＝＝＝＝2cos ，同理a3＝＝2cos ，a4＝2cos ，猜想an＝2cos ，故选B.2．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于( )A. B.3VKC. D.V3K答案B解析根据三棱锥的体积公式V＝SH得：13S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V，∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.3．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )A．dn＝c1＋c2＋…＋cnnB．dn＝c1·c2·…·cnnC．dn＝n cn1＋cn2＋…＋cn nnD．dn＝n c1·c2·…·cn答案D解析若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则(1)12(1)2 1211,n nn n nnc c c c q c q-+++-⋅⋅⋅=⋅=⋅……即{dn}为等比数列，故选D.4．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m、n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正确的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0答案A解析由题意f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋2＋2＝f(1,2)＋2＋2＋2＝f(1,1)＋2＋2＋2＋2＝9，f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，f(5,6)＝f(5,5)＋2＝f(5,4)＋4＝…＝f(5,1)＋10＝16＋10＝26.所以三个都正确，故选A.5．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．答案14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.6．已知下列四个等式21×1＝2，22×1×3＝3×4，23×1×3×5＝4×5×6，24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，猜想第n个等式为______________________．答案2n×1×3×5×7×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×(n＋3)×…×(n＋n)解析观察给出的四个等式可以发现第n个等式的左边是2n乘上从1开始的n个奇数，右边是从(n＋1)开始的n个连续正整数的积，根据这一规律即可归纳出第n个等式为2n×1×3×5×7×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×(n＋3)×…×(n＋n)．7．如图1有面积关系：＝，则图2有体积关系：＝________.答案PA′·PB′·PC′PA·PB·PC解析这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．8．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[]＋[]＋[]＝3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21.…按照此规律，第n个等式的等号右边的结果为________．答案2n2＋n解析按照此规律第n个等式为＋＋…＋＝n[(n＋1)2－1－n2＋1]＝n(2n＋1)＝2n2＋n，第n个等式的右边为2n2＋n.9．有以下三个等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.请观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论______________________．答案(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2解析根据题意，观察各式得其规律，用式子将规律表示出来，再利用规律进行作差比较进行证明即可．10．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD －A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有________________．答案cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2解析由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α＋cos2β＝1，我们根据长方体性质可以类比推理出空间性质，∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cos α＝，cos β＝，cos γ＝，∴cos2α＋cos2β＋cos2γ＝AC2＋AB21＋AD21AC21＝＝2.故答案为cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.11．观察分析下表中的数据：猜想一等式是_________________________________．答案F＋V－E＝2解析观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.12．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0，且a≠1)．(1)5＝2＋3，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝·＋·a2＋a－22＝，又g(5)＝，因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．证明：因为f(x)＝，g(x)＝，所以g(x＋y)＝，g(y)＝，f(y)＝，所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋·ay＋a－y2＝ax＋y－a－＋2＝g(x＋y)．。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语 第4练 用好基本不等式
第4练 用好基本不等式[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时，∵f (x )在[12，2]上单调递减， ∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 据题意得，当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， ∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.当m ＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18，∵2n ·m ≤2n ＋m 2≤9， ∴mn ≤812， 由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去． 要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8)．∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16， 综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.3．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4， 当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1. ∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C .则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ，∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，∴tan A tan B tan C ≥22，∴tan A tan B tan C ≥8.5．(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知，ab ＝1，且a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋bx －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x >a )．(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________． 答案 509解析 由1a ＋2b ＝3，得b ＋2a ＝3ab ， ∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2，又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ≥22ab， ∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)， ∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值．解 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)，∴y ＝t －12＋7t －1＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20，(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10 10－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析 平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x＝800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．答案 92解析 圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5，由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1,2)，∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)，故ab 的最大值为92. (2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 ①当0＜x ＜80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250 ＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)． ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －2500＜x ＜80，1 200－x ＋10 000x x ≥80.②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy () A ．有最大值e B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是() A.245 B.285C ．5D ．6答案 C解析 方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y5x ， 即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋2 3625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴3x ＋4y 的最小值是5.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是() A ．1 B ．6C ．9D ．16答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝aa －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9aa －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6.故选B.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3 答案 B解析 因为a ＞0，b ＞0，所以由m3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a＋3ab恒成立．因为3b a ＋3a b≥23b a ·3ab＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B. 5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m ＞0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D 解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y)＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )(当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4，故选D.6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2 答案 A解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)，因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc＋5.因为b ，c ＞0，所以4c b ＋bc≥24c b ·bc＝4.当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 由已知得x ＝9－3y1＋y.方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3y ＋1－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.方法二 ∵x ＞0，y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋c b＋ba ＋c的最小值为________．答案 52解析 由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b≥2ac b＝2，令a ＋c b＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52.9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)，又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)，综上可知4≤x 2＋4y 2≤12. 10．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得 m ≤1x ＋41－x，设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x ，x ∈(0,1)．令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)，则函数f (x )可转化为g (t )＝t－⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t－19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－t ＋4t＋5，因为t ∈(1,4)，所以5＞t ＋4t≥4，0＜－(t ＋4t)＋5≤1，9－t ＋4t＋5≥9， 即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，因为x ∈(0,1)，则1－x ∈(0,1)，设y ＝1－x ∈(0,1)，显然x ＋y ＝1. 故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4x ＋y y＝5＋(y x＋4x y)≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立．所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9.11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝13x18，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解， 等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。
2021版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题
2021版考前三个月高考数学（全国甲卷通用理科）知识方法篇专题2021版考前三个月高考数学（全国甲卷通用理科）知识方法篇专题第13次练习的强制测试类型——导数和单调性[题型分析高考展望]利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性.题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视.体验高考1.(2021福建)若定义在r上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是()1?1a.f??k?＜k11c.f?k－1?＜??k－1答案c它由已知条件解析，构造器g（x）=f（x）-KX，11则g′(x)＝f′(x)－k＞0，故函数g(x)在r上单调递增，且＞0，故g()＞g(0)，k－1k－11k11所以f()－＞－1，f()＞，K-1k-1k-1k-1，所以C的结论肯定是错误的，选项D无法判断；构造函数H（x）=f （x）-x，1然后H'（x）=f'（x）-1>0，因此函数H（x）在R上单调增加且>0，k一万一千一百一十一所以h()＞h(0)，即f()－＞－1，f()＞－1，选项a，b无法判断，故选c.KKKK2.(2021课标全国ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈r)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()a.(－∞，－1)∪(0，1)b.(－1，0)∪(1，＋∞)c.(－∞，－1)∪(－1，0)d.(0，1)∪(1，＋∞)答案axf′？x？－F十、F十、解析记函数g(x)＝，则g(x)＝，三十二1?1b、 f？>？Kk－11kd。
Fk－1？＞？？k－1因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈r)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，因此，G（x）在（－∞, 当0<x<1时，G（-1）=G（1）=0，G（x）>0，则f（x）>0；当x＜-1，G（x）＜0时，则f（x）＞0综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选a.3.(2021浙江)设函数f(x)＝x3＋(1)f(x)≥1－x＋x2；33(2)＜f(x)≤.421－?－十、41-x4证明（1）因为1-x+x-x==，1－?－x?1＋x二3一，x∈[0，1].证明：1＋x1－x41由于x∈[0，1]，有≤，1＋xx＋11即1－x＋x2－x3≤，X+1，所以f（X）≥ 1-x+x2（2）X3≤ x、 0比11≤ 十、≤ 1.故f(x)＝x3＋≤x＋x＋1x＋1133?x－1??2x＋1?33=x＋－≤，22x＋1222?x＋1?3所以f（x）≤2133x-？2 + ≥, from（1），f（x）≥ 1-x+x2=？？2.44。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语 第5练 如何
第5练 如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高．二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分．体验高考1．(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40 答案 C解析 画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0,3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.2．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元 答案 D解析 设甲，乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示： 可得目标函数在点A 处取到最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．3．(2015·课标全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________． 答案 32解析 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC )所示：作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，故z 最大＝1＋12＝32. 4．(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12 答案 C解析 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.5．(2016·浙江)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2C.322D. 5答案 B解析 已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，解得A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，解得B (2,1)．由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小， 即|AB |＝－2＋－2＝ 2.高考必会题型题型一 已知约束条件，求目标函数的最值 例1 (2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.点评 (1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”．(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值．变式训练1 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3，故选B.题型二 解决参数问题例2 已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.点评 所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论．变式训练2 (2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 题型三 简单线性规划的综合应用例3 (1)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0(2)216 000解析 (1)用表格列出各数据A 1 400所以不难看出，⎩⎪⎨⎪⎧200x＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0.(2)设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．点评 若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题．变式训练3 设点P (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ＋1≥0，x ＋y ≤3所表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，点O 是坐标原点，若向量O P →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则λ－μ的取值范围是( ) A ．[－32，23] B ．[－6,2]C ．[－1，72]D ．[－4，23]答案 B解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．由题意，可得(x ，y )＝λ(1,1)＋μ(2,1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ.令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x ＋3y ，变形得y ＝23x ＋z3.当直线y ＝23x ＋z 3过点A (－1,0)时，z 取得最大值，且z max ＝2；当直线y ＝23x ＋z3过点B (3,0)时，z 取得最小值，且z min ＝－6.故选B.高考题型精练1．(2015·安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．－5 D ．1答案 A解析 约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1,1)时，截距最大，此时z 最大为－1，故选A.2．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1,1)， 半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界)． 实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立． 则p 是q 的必要不充分条件．故选A.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，2x －y －1≥0，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为( )A ．0B ．2C ．8D ．－1 答案 C解析 画出x ，y 满足的可行域如图．可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13， 代入x －y ＝－2得m ＋13－2m －13＝－2⇒m ＝8，故选C.4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37 D ．49 答案 C解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．(0,4] C ．[4，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 B解析 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过点 A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0， ∴ab ∈(0,4]，故选B.6．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，x ≤2，则y －1x ＋3的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－15∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，x ≤2表示的可行域如图所示，从图可看出，y －1x ＋3表示可行域内的点与点A (－3,1)连线的斜率，解方程知C (2,0)，D (2,6)， 所以其最大值为k AD ＝6－12＋3＝1，最小值为k AC ＝0－12＋3＝－15，所以y －1x ＋3的取值范围为[－15，1]．故选D.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．－12答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0，y ＝m得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2. 8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53答案 C解析 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23.9．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13解析 已知不等式组所表示的平面区域如下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2,3)．由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45， (x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.10．4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元． 答案 22解析 设1件A 商品的价格为x 元，1件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B 商品需要z 元， 则z ＝3x ＋9y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A (0,4)，B (0,8)，C (103，43)．当y ＝－13x ＋19z 经过点C 时，目标函数z 取得最小值．所以z min ＝3×103＋9×43＝22.因此当1件A 商品的价格为103元，1件B 商品的价格为43元时，可使买3件A 商品与9件B 商品的费用最少，最少费用为22元．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3解析 满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45. 设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题10 数学思想 第37练 函数与方程思想 文
第37练 函数与方程思想[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．2．函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．体验高考1．(2015·湖南)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 函数g (x )有两个零点， 即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根， 则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点． ①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增； 当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示， 其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点． 综上，a <0或a >1.2．(2015·安徽)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________(写出所有正确条件的编号)． ①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2； ④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 答案 ①③④⑤解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，②错误．所有正确条件为①③④⑤.3．(2016·课标全国甲)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则i ＝1m (x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，由y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2此时m ＝2，所以i ＝1m (x i ＋y i )＝m ，故选B.方法二 由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0,1)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称． 又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0,1)对称． 则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对，且关于点(0,1)对称．则i ＝1m(x i ，y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1myi＝0＋m2×2＝m ，故选B. 高考必会题型题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 (2016·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34答案 C解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减， 则⎩⎪⎨⎪⎧02＋a －＋3a ≥f ＝1，3－4a2≥0⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象． 由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)， 则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C. 点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想．方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题．变式训练1 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，，2－x 2，x ∈[－1，，且f (x＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8 答案 C解析 g (x )＝2x ＋5x ＋2＝x ＋＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，由题意知函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图象知f (x )、g (x )有三个交点，故方程f (x )＝g (x ) 在x ∈[－5,1]上有三个根x A 、x B 、x C ，x B ＝－3，x A ＋x C2＝－2，x A ＋x C ＝－4，∴x A ＋x B ＋x C ＝－7.题型二 函数与方程思想在不等式中的应用例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f xex<1的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞) 答案 B解析 构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝e x·fx －e x ·f xx2＝f x －f xex.由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f xex在R 上单调递减．又g (0)＝fe＝1，所以f xex<1，即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练2 已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 D解析 ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]． 不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立， 即为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2， 则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －2>0，x －＋x －2>0，解得x <－2或x >2.题型三 函数与方程思想在数列中的应用例3 已知数列{a n }是首项为2，各项均为正数的等差数列，a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n(其中S n 是数列{a n }的前n 项和)，若对任意n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值． 解 因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋n ＋＋1n ＋n ＋＋…＋12nn ＋＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3. 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为： 第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．变式训练3 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n＜n ＋a 1＋a n ＋1n ＋，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2， 由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22. 故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，也满足AP →＝3PB →，此时m ＝±12.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1) ＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.则3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0，即3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0， 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋2m 2－2＝0， 当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0， 所以k 2＝2－2m24m 2－1>0，解得－1<m <－12或12<m <1，综上，所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 点评 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程． 第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围． 第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．变式训练4 已知点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )· (c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝c 2－b 2a 2c 2＝c 2－a 2a 2c2，又x 2∈[0，a 2]， ∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.高考题型精练1．关于x 的方程3x ＝a 2＋2a ，在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，－1)∪(0,1] B ．[－3，－2)∪[0,1] C ．[－3，－2)∪(0,1] D ．[－2，－1)∪[0,1] 答案 C解析 当x ∈(－∞，1]时，3x∈(0,3]，要使3x ＝a 2＋2a 有解，a 2＋2a 的值域必须为(0,3]， 即0<a 2＋2a ≤3，解不等式可得－3≤a ＜－2或0＜a ≤1， 故选C.2．设函数f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x－x ，若不等式f (x )≤0有解，则实数a 的最小值为( ) A.2e －1 B ．2－2eC ．1＋2e 2D ．1－1e答案 D解析 因为f (x )≤0有解，所以f (x )＝e x(x 3－3x ＋3)－a e x－x ≤0，a ≥x 3－3x ＋3－xex ＝F (x )，F ′(x )＝3x 2－3＋x －1ex ＝(x －1)(3x ＋3＋e －x )，令G (x )＝3x ＋3＋e －x，G ′(x )＝3－e－x,3－e －x＝0，x ＝－ln 3，G (x )最小值G (－ln 3)＝6－3ln 3>0， F (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增， F (x )的最小值为F (1)＝1－1e ，所以a ≥1－1e，故选D.3．已知f (x )＝x 2－4x ＋4，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，函数y ＝f n (x )的零点个数记为a n ，则a n 等于( ) A ．2nB ．2n －1C ．2n ＋1 D ．2n或2n －1答案 B解析 f 1(x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，有1个零点2，由f 2(x )＝0可得f 1(x )＝2，则x ＝2＋2或x ＝2－2，即y ＝f 2(x )有2个零点，由f 3(x )＝0可得f 2(x )＝2－2或2＋2，则(x －2)2＝2－2或(x －2)2＝2＋2，即y ＝f 3(x )有4个零点，以此类推可知，y ＝f n (x )的零点个数a n ＝2n －1.故选B.4．已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围为____________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 解析 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2， 令f ′(x )>0得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1,2]． 当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时；g (x )max ＝g (b )＝b 2－4； 当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 5．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________． 答案 2 2解析 可设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝x 1－cos 2B ，由余弦定理计算得cos B ＝4－x 24x， 代入上式得S △ABC ＝x 1－4－x 24x 2 ＝128－x 2－216. 由⎩⎨⎧ 2x ＋x >2，x ＋2>2x ，得22－2<x <22＋2.故当x ＝23时，S △ABC 有最大值2 2.6．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，x 2＋y －a 2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －1≥0，解得a ≥1.7．设函数f (x )＝ln x ＋ax －1(a 为常数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，求实数a 的值；(2)若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，求实数a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，由f (x )＝ln x ＋a x －1得f ′(x )＝1x －a x －2，由于曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，所以f ′(2)＝0，即12－a －2＝0， 所以a ＝12. (2)因为f ′(x )＝1x －ax －2＝x 2－＋a x ＋1x x －2，若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，则函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点，令φ(x )＝x 2－(2＋a )x ＋1.设x 2－(2＋a )x ＋1＝(x －α)(x －β)，可知αβ＝1， 不妨设β>α，则α∈(0,1)，β∈(1，＋∞)， 若函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点，即y ＝φ(x )在(e ，＋∞)内有异号零点，所以β>e ，又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e 2－(2＋a )e ＋1<0，解得a >e ＋1e－2， 所以实数a 的取值范围是(e ＋1e－2，＋∞)． 8．已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a ，当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立．∵当x ∈R 时，e x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝2＋k 2＋6k21＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.所以k 的值为1或－1. 10．已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值． 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝a 3＋， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋q 2＝3a 1q ， ①a 1q ＋q 3＝2a 1q 2＋4. ②由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时，不合题意．舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n .(2)b n ＝a n ＋log 21a n＝2n ＋log 212n ＝2n－n .所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n )＝21－2n1－2－n 1＋n 2＝2n ＋1－2－12n －12n 2.因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。
(通用版)高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题5 数列、推理与证明 第2
第23练 数列求和问题[题型分析·高考展望] 数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n 项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题．体验高考1．(2015·某某)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 答案 27解析 由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.2．(2016·某某)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝______，S 5＝______.答案 1 121解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得：a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列． ∴S n ＝12(3n－1)．∴S 5＝121.3．(2015·课标全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.4．(2016·某某)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令＝a n ＋1n ＋1b n ＋2n，求数列{}的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，S n －1＝3n 2＋2n －5，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合{a n }通项公式， 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，＝6n ＋6n ＋13n ＋3n＝3(n ＋1)·2n ＋1.又T n ＝c 1＋c 2＋…＋，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n1－2－n ＋1×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.高考必会题型题型一 分组转化法求和例1 (2016·某某)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 与log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和． 解 (1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n)＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n b 1＋b 2n2＝2n 2.点评 分组求和常见的方法：(1)根据等差、等比数列分组，即分组后，每一组可能是等差数列或等比数列；(2)根据正号、负号分组；(3)根据数列的周期性分组；(4)根据奇数项、偶数项分组．变式训练1 (2016·某某)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ， 得a n ＋1＝3a n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1， 当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时，T n ＝3＋91－3n －21－3－n ＋7n －22＝3n －n 2－5n ＋112，所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3，n ∈N *.题型二 错位相减法求和例2 (2015·某某)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记＝a nb n，求数列{}的前n 项和T n .解 (1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝192n ＋79，b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.点评 错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项“{a n ·b n }”型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比； ②把两个和的形式错位相减； ③整理结果形式．变式训练2 (2015·某某)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以，当n ＝1时，b 1＝13，所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以，当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n)，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n)，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ， 经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .题型三 裂项相消法求和例3 若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有＋1－＝log 12a n ，求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1＜34. (1)解 ∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18(14)n －1＝(12)2n ＋1.(2)证明 由＋1－＝log 12a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(－－1) ＝0＋3＋5＋…＋(2n －1) ＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)． ∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1＝122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1＝12×[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)]＝12[(1＋12)－(1n ＋1n ＋1)] ＝34－12(1n ＋1n ＋1)<34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1≥1c 2＝13，∴原式得证．点评 (1)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1a n ·a n ＋1的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n ·a n ＋1＝1d ·(1a n －1a n ＋1)．其余还有公式法求和等．(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项．变式训练3 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数， 知等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝113－3n10－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n1010－3n.高考题型精练1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1 答案 A解析 因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.nn ＋1B.4n n ＋1 C.3n n ＋1D.5n n ＋1答案 B解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4(1－1n ＋1)＝4nn ＋1. 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2， 当n 为奇数时，－n 2，当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200 答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B. 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2nn ＋2，则其前n 项和S n 为( ) A ．1－1n ＋2B.32－1n －1n ＋1C.32－1n －1n ＋2D.32－1n ＋1－1n ＋2答案 D 解析 因为a n ＝2nn ＋2＝1n －1n ＋2， 所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2. 故选D.6．已知数列{a n }为等比数列，前三项为：a ，12a ＋12，13a ＋13，且S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则T n＝a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．9⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23nB ．81⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n C.815⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n D ．81⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n 答案 C解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋122＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13解得a ＝3(a ＝－1舍去)，T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－49n1－49＝815⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－49n.7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－n －2解析 因为a n ＋1－a n ＝2n， 应用累加法可得a n ＝2n－1， 所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ＝21－2n 1－2－n＝2n ＋1－n －2.8．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2.9．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 答案 1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×10＋2342＝1 830.10．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n项和S n ＝________. 答案nn ＋1解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3. 所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)依题意得，S n n＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．word 11 / 11 (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1. 故T n ＝∑i ＝1nb n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1. 因此，使得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＜m 20(n ∈N *)成立的m 必须满足12≤m 20，即m ≥10， 故满足要求的最小正整数m 为10.12．在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2， ∴a n －1＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )．令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1. 两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1， ∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.。
高考数学 考前三个月复习冲刺 第一篇 第1讲 五种策略搞定选择题 理
第1讲五种策略搞定选择题[题型解读] 选择题是高考试题的三大题型之一，该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一道题几乎都有两种或两种以上的解法.正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力.选择题也在尝试创新，在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交汇”四个维度上不断出现新颖题，这些新颖题成为高考试卷中一道靓丽的风景线.方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 若△ABC 的内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B.8－4 3 C.1D.23点评 直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错. 变式训练1 (1)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sinB ，且S △ABC ＝2，则b 等于( )A.1B.2 3C.3 2D.3(2)(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( ) A.sgn[g (x )]＝sgn x B.sgn[g (x )]＝－sgn x C.sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] D.sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)，是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.例2 (1)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A.X ＋Z ＝2Y B.Y (Y －X )＝Z (Z －X )C.Y 2＝XZD.Y (Y －X )＝X (Z －X )(2)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A.a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C.a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab点评 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.变式训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)方法三 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法.它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法. 例3 函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B.[－1,0] C.[－2，－1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.变式训练3 (1)方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A.0<a ≤1 B.a <1C.a ≤1D.0<a ≤1或a <0(2)(2015·青岛模拟)函数Y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略. 例4 设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1、x 2，则( ) A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1点评 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.变式训练4 (2014·重庆)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈－1，0]，x ， x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次. 例5 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5 (π2<θ<π)，则tan θ2等于( ) A.m －3q －m B.m －3|q －m |C.－15D.5点评 估算法的应用技巧：估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.变式训练5 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A.1 B. 2 C.2－12D.2＋12高考题型精练1.(2015·蚌埠模拟)已知m1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于( ) A.1＋2i B.1－2i C.2＋iD.2－i2.函数Y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )3.设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x -2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}4.(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A. y ＝1＋x 2B.y ＝x ＋1xC. y ＝2x＋12xD. y ＝x ＋e x5.(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－16.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于Y 轴对称，则f (x )等于( ) A.e x +1B.e x -1C.e-x +1D.e-x -17.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( ) A.60° B.90° C.120°D.150°8.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A.1 B.32 C.2D.39.函数y ＝2x－x 2的图象大致是( )10.(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)11.若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16Y 2＝144上，O 为原点，且满足OP ⊥OQ ，则O 到弦PQ 的距离|OH |必等于( ) A.203 B.234 C.125D.41512.如图所示，图中的图象所表示的函数的解析式为( )A.y ＝32|x －1| (0≤x ≤2)B. y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C. y ＝32－|x －1| (0≤x ≤2)D. y ＝1－|x －1| (0≤x ≤2)13.已知函数f (x )＝4x与g (x )＝x 3＋t ，若f (x )与g (x )的交点在直线y ＝x 的两侧，则实数t的取值范围是( ) A.(－6,0] B.(－6,6) C.(4，＋∞)D.(－4,4)14.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )15.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C2，C1上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A.52－4B.17－1C.6－2 2D.1716.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A.∀x∈R，f(x)≤f(x0)B.－x0是f(－x)的极小值点C.－x0是－f(x)的极小值点D.－x0是－f(－x)的极小值点17.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A.(－2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(－1,2)18.(2015·广东)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5D.大于519.(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1, ＋∞)20.若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A.[1－22，1＋22] B.[1－2，3] C.[－1,1＋22] D.[1－22，3]答案精析技巧·规范·回扣篇第一篇 快速解答选择、填空题第1讲 五种策略搞定选择题 典例剖析例1 A [由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2＋2ab －c 2＝4，由C ＝60°，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4－2ab 2ab ＝12.解得ab ＝43.]变式训练1 (1)A (2)B解析 (1)∵cos A ＝13，∴sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，∴bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，∴c ＝3b ，∴b ＝1，c ＝3.(2)因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn[g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn[g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn[g (x )]＝0＝－sgn x 也成立.故B 正确. 例2 (1)D (2)A解析 (1)由{a n }是任意等比数列， 不妨令n ＝1，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4， 则X ＝1，Y ＝3，Z ＝7，验证A.X ＋Z ＝8,2Y ＝6，X ＋Z ＝2Y 不成立， B.Y (Y －X )＝3×2＝6，Z (Z －X )＝7×6＝42， 即Y (Y －X )＝Z (Z －X )不成立， C.Y 2＝9，XZ ＝7，Y 2＝XZ 不成立，D.Y (Y －X )＝3×2＝6，X (Z －X )＝1×(7－1)＝6， 即Y (Y －X )＝X (Z －X ).故选D.(2)取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a－1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.变式训练2 C [方法一 不妨设0<a <1<b ≤10<c ，取特例， 如取f (a )＝f (b )＝f (c )＝12，则易得a ＝10－12，b ＝1012，c ＝11，从而abc ＝11，故选C.方法二 不妨设a <b <c ，则由f (a )＝f (b )⇒ab ＝1， 再根据图象(图略)易得10<c <12.实际上a ，b ，c 中较小的两个数互为倒数. 故abc 的取值范围是(10,12).] 例3 B [令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.]变式训练3 (1)C (2)A解析 (1)当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B.(2)易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除D ； 当0<x <π2时，y ＝x sin x >0，可排除B ；当x ＝π时，y ＝0，可排除C.故选A. 例4 D [构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|， 并作出它们的图象，如图所示， 因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根， 则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2， 不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)， 因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)， 因为10x 2－10x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1，故选D.]变式训练4 A [作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2).因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点.当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m x ＋1，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点.综上，m 的取值范围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.]例5 D [由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1.所以D 正确.]变式训练5 C [由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.] 高考题型精练1.C [由m1＋i＝1－n i ， 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，根据复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴m ＋n i ＝2＋i ，故选C.] 2.B [由f (0)＝0，排除C 、D ， 又log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝log 232>log 22＝12.即0<x <1时，f (x )>x ，排除A.] 3.B [A ＝{x |2x (x －2)<1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |x <1}.由题图知阴影部分是由A 中元素且排除B 中元素组成，得1≤x <2.故选B.]4.D [令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.]5.D [如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.]6.D [依题意，f (x )向右平移一个单位长度之后得到的函数是y ＝e －x，于是f (x )相当于y ＝e －x向左平移一个单位的结果，所以f (x )＝e－x －1.]7.B [如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°. ]8.C [由ca ＝2(c 为半焦距)，则b a＝3，即双曲线两条渐近线的倾斜角分别为60°和120°， 所以△AOB 的面积为3p24，又3p 24＝3，所以p ＝2为所求.]9.A [因为当x ＝2或x ＝4时，2x －x 2＝0，所以排除B ，C ；当x ＝－2时，2x －x 2＝14－4<0，排除D ，故选A.]10.B [由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2).]11.C [选一个特殊位置(如图)，令OP 、OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9得，|OP |＝4，|OQ |＝3，则|OH |＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，选项C 正确.故选C.]12.B [由图象过点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)，代入选项验证即可.] 13.B [根据题意可得函数图象，g (x )在点A (2,2)处的取值大于2，在点B (－2，－2)处的取值小于－2，可得g (2)＝23＋t ＝8＋t >2，g (－2)＝(－2)3＋t ＝－8＋t <－2，解得t ∈(－6,6)，故选B.]14.A [f (π)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32，排除B 、D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，排除C.故选A.]15.A [作圆C 1关于x 轴的对称圆C ′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1， 则|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|，由图可知当点C 2、M 、P 、N ′、C ′1在同一直线上时，|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|取得最小值，即为|C ′1C 2|－1－3＝52－4.]16.D [－f (－x )是f (x )的图象关于原点作变换，(x 0，f (x 0))是极大值点，那么(－x 0，－f (－x 0))就是极小值点.]17.B [如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号. ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D ，故选B.]18.B [当n ＝3时显然成立，故排除C ，D ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选B.] 19.C [由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.]20.D [y＝3－4x－x2变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4,1≤y≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示.若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即|2－3＋b|2＝2，解得b＝1－22或b＝1＋22(舍去)，所以b的取值范围为1－22≤b≤3.故选D.]。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题7 解析几何 第32练 圆锥曲线中的
（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7 解析几何第32练圆锥曲线中的探索性问题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7 解析几何第32练圆锥曲线中的探索性问题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7 解析几何第32练圆锥曲线中的探索性问题文的全部内容。
第32练圆锥曲线中的探索性问题[题型分析·高考展望］本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大．体验高考1．（2016·课标全国乙）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C:y2＝2px(p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H。
（1）求错误!；(2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解(1)由已知得M（0，t）,P错误!，又N为M关于点P的对称点，故N错误!，ON的方程为y＝错误!x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x ＝0，解得x1＝0，x2＝错误!,因此H错误!。
所以N为OH的中点，即错误!＝2。
（2）直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝错误!（y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0,解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H 以外,直线MH与C没有其他公共点．2．（2016·四川)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b〉0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题9平面直角坐标与不等式第36练不等式选讲[题型分析·高考展望] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．1．(xx·课标全国甲)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2， 解得x >－1，所以－1<x ≤－12； 当－12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2， 解得x <1，所以，－12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.2．(x x·课标全国丙)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)． 高考必会题型题型一 含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎨⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．变式训练1 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎨⎧ －3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x )≤3.(2)解 由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．题型二 不等式的证明1．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. (2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16， 求证：|y |<518. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3， (2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16， 从而3|y |<23＋16＝56， 所以|y |<518. 点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b | ＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 题型三 柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则222222212121122()()(),n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++⋯……≥＋＋＋当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．例3 (xx·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值． 解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12 ＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1， 即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立． 故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 点评 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.高考题型精练1．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解 设y ＝|x －3|－|x －4|，则y ＝⎩⎨⎧ －1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则(|x －3|－|x －4|)min <a .由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集．即实数a 的取值范围是(－1，＋∞)．2．设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y≥0恒成立，求实数λ的最小值． 解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )·(x ＋y )＝2＋y x ＋x y. ∵2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·x y ＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立．∴[(1x ＋1y)(x ＋y )]min ＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52； 当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52. 因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2. 解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12， 故a 的取值范围为[－1，12]． 4．设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ， (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解 (1)因为32∈A ，且12∉A ， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32. 又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3.5．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4；当x >1时，由2x <4，得1<x <2.∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2,2)．(2)证明 ∵a ，b ∈M ，即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.6．已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围．解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2]≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2.又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6，∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2，∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立．∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5.∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}．7．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧ x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}． 由题设可得－a 2＝－1， 故a ＝2.8．(xx·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6， 故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。