九年级数学下册 26.3 实践与探索 二次函数的应用 如何获取更多的利润素材 (新版)华东师大版

如何获取更多的利润
例1 某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T(件)与每件的销售价x(元/件)可以看报是一次函数：T＝－3x＋207(45≤x≤69)
(1)写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式(每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差)。

(2)通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？
分析：每天总销售价为Tx，即(－3x＋207)x，每天销售的T件服装的进价为45T，即45(－3x＋207)，而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润，而对于第(2)小题应将已得的二次函数配方，画出其函数图像，结合其自变量的取值范围确定最佳售价。

解：(1)由题意得：
Y＝(－3x＋207)x－45(－3x＋207)
＝(－3x＋207)(x－45)(45≤x≤69)
(2)由(1)知
y＝(－3x＋207)( x－45)
＝－3(x2－114x＋3105)
＝－3(－57)2＋ 432(45≤x≤69)
由图像知开口向下，存在最大值，且45＜57＜69。

∴当x＝57时
Y max＝432
亲爱的同学，若请你帮该商场决策，你知道每件售价是多少最为合适吗？
评述：本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸：
1．本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？
2．该服装的售价可以超过69元吗？
3．该函数的图像还可以向两端延伸吗？
例2 共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x (元)与产品的月销售量y (件)之间的关系如下表：
若月销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？此时每日的销售利润是多少？ (销售利润＝销售价－成本价)
分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。

该题涉及一次函数、二次函数。

建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值。

以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力。

①“销售利润＝销售价－成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关。

每日的销售利润应是每日销售量y (件)与每件产品销售利润的积。

这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识。

②以表格形式给出了x (元)与y (件)的对应关系，并进而指出销售量y 是销售价x 的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。

③在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y (x 的一次函数)与每件产品销售利润(x 的一次函数)的积，实质为x 的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了。

④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。

例如，销售价x 元一般不能低于成本价，否则要亏本，更无从谈利润；销售量只能是非负数等。

解：设y ＝kx ＋b ，当x ＝130时，y ＝70；当x ＝150时，y ＝50，得方程组：⎩⎨⎧=+=+50
15070
130b k b b 解得：1,200-==k b ∴ y ＝－x ＋200
设每日销售利润为Z 元，每件产品的销售利润是(x －120)元，于是
200
120012*********)160( 24000320 )120)(200()120(22≤≤∴⎩
⎨⎧≥-≥+-+--=-+-=-+-=--⋅=x x x x x x x x x y Z Θ
∴当160=x 时，1600max =Z
即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。

例3 某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，若每张票价提高x 元，将有200x 张门票不能售出。

(1)求提价后每场电影的票房收入y (元)与票价提高量x (元)之间的函数关系式和自变量x 的取值范围。

(2)若你是经理，你认为电影院应该怎样决策(提价还是不提价)，若提价，提价多少为宜？
分析：若提价x 元后，则每张票价变为(x ＋3)元，出售的门票总数为：(1000－200x )张，则票房的收入变为：(x ＋3)·(1000－200x )。

至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y 是提高的价x 的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价。

解：(1)由题意知：
3000
400200 )3)(2001000(2
++-=--=x x x x y
又⎩
⎨
⎧≥≤∴⎩⎨
⎧≥≥-05
020*********x x x x Θ ∴ x 的取值范围是：50≤≤x (2)3000)1122(200+-+--=x x y
3200
)1(2003000200)1(2002
2+--=++--=x x
又510≤≤Θ
∴当1=x 时，3200max =Y 。

∴ 电影院应每张门票提价1元为宜。

接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。

亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？
例4 某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、
B 两种产品共50件。

已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可
获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

(1)按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。

(2)设生产A 、B 两种产品获总利润为y (元)，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 元间的函数关系式，并利用函数的性质说出(1)中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
分析：本题是生产经营决策问题。

在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。

本题所涉及的知识点有：不等式(组)、一次函数。

解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。

(1)A 、B 两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。

所以可由此得出不等组，从而确立A 、B 两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产方案。

(2)列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决本题。

解：(1)设安排生产A 种产品。

件，则生产B 件产品(50－x )件。

依题意，得
⎩⎨
⎧≤-+≤-+290
)50(103360
)50(49x x x x 解之，得3230≤≤x
∵x 为整数，∴x 只能取30，31，32。

相应的(50－x )的组为20，19，18。

所以生产的方案有三种：
第一种：生产A 种产品30件，B 种产品20件； 第二种：生产A 种产品31件，B 种产品19件； 第三种：生产A 种产品32件，B 种产品18件。

(2)设生产A 种产品件数为x ，则生产B 种产品的件数为50－x 。

依题意，得)50(1200700x x y -+=
60000500+-=x
其中x 只能取30 、31、32，
0500<-∴x
∴此一次函数中y 随x 的增大而减小。

∴当x ＝30时，y 的值最大。

故按第一种方案安排生产，获总利润最大，最大利润为：－500×30＋60000＝45000元。

例5 某工厂计划出售一种产品，固定成本为2000000元，球台生产成本为3000元，销售收入为5000元。

求总产量x 对总成本Q 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 的函数关系，并作出简要分析。

解：总成本与总产量的关系 Q ＝2000000＋3000x ， 单位成本与总产量的关系
30002000000
+=
x
P 销售收入与总产量的关系：R ＝5000x 。

利润与总产量的关系20000002000-=-=x Q R L 。

分析：①从利润关系式可见，欲求较大的利润，应增加产量(在不考虑销售的情况下)，若x ＜1000，则要亏损；若x ＝1000，则利润为零；若x ＞1000，则可盈利。

这一点也可以从上面的图像中看出，两条直线的交点就是平衡点。

②从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降低成本，形成规模效益。

例6 今拟建一排4门的猪舍(如图)，由于材料的限制，围墙和墙的总长度只能造p 米，问x 为多少时，猪舍面积最大？
401025,502
5
225,
2
2
p
p x S p x x x p x p x S +
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=<<-=-=Θ ∴当10p
x =
米时，猪舍面积最大。

答：10
p
x =米时，猪舍面积最大。

说明：本题列式的关键，在于找出长方形的长
2
5x
p -和宽x 。

对于求极值，是否采用配方法，则可以根据自己的习惯，本题所用的配方法是解决此类问题的通法。

现代生活中，信息显得十分重要，而报纸作为大众传媒的一种，是一种传递信息的重要载体。

正因如此，我们很多人都有抽空着报纸的习惯。

下面我们就来研究一下报摊卖报的问题，请你帮助业主设计一下最佳办法。

例7 某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的以每份0.04元退回报社，在一个月(30天)里，有20天每天可销售400份，其余的10天仅售250份。

但每天从报社买的份数必须相同，他应每天从报社购多少份，才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？
分析：本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式，从而解决问题。

解：设每天从报社购进x 份(400250≤≤x )，每月售出(20x ＋10×250)份，退回10(x －250)份，由于卖出获利，退回亏损均为0.08元，则 y ＝0.08(20＋2500)－ 0.08(x －250)×10＝0.8＋400
这显然是一个k ＞0的一次函数，函数值y 随着自变量x 的增大而增大的，所以当x ＝400时， y max ＝720(元)。

答：应每天从报社购400份，才能使每月获利润最大，最大利润是720元。

说明：此题是一道十分典型的应用题。

它适用于卖报、卖书、卖书刊。

随着数字的变化，可编撰成一道道试题。

但是解法却是不变的，应注意此题的解法。

例8 某房地产公司要在荒地ABCDE (如图)上画出一块长方形地面(不改变方向)，建造一幢8层楼公寓。

问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到 1m 2
)。

分析：在线段AB 上任取一点P ，分别向CD 、DE 作垂线，即可保持原来方位，画得一块长方形土地。

显然，土地面积决定于P 在AB 上的位置。

解：建立如图所示的坐标系，则AB 的方程为过A (0，20)、B (30，0)则的一条直线。

设直线 AB 的方程为y ＝ ka ＋b 则又因为A 、B 两点在直线上，
⎪⎩
⎪⎨⎧-
==∴⎩⎨⎧=+=∴3220
03020k b b k b 2032+-=∴x y 。

由于P 点在直线上，故可得P 点的坐标为20)3
2
20,(+-x x (∴ P
点坐标满足函数的解析式)，则长方形的面积为：
)30(322080)100(≤≤⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
---=x x x S
化简得：)30(60003
20
322≤≤++-
=x x x S 对函数的解析式进行配方得
3
18050)5(32 6000350
)5(32 6000
)5510(32
22222+
--=++--=+-+--=x x x x S
当3503220,5=-
==x y x 时，)m (3
18050max 2
=S 。

说明：由此题可见，公寓占地面积与楼房层数无关，并非所有信息都是有用的，这也是应用题与通常题目的一个重要区别。

例9 某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提
高5％，已知建筑5层楼时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省(建筑费用与购地费用之和)，公司应把楼建成几层？ 解：设该楼建成x 层，则根据题意得每平方米的购地费用为：
x
x 1000
1001000000=
÷(元) 每平方米的建筑费用为：400＋400(x －5)·5％(元)，所以每平方米的平均综合费用为：
30022002200305020 210155020 155020 30201000
1000
%5)5(4004002
2
+≥++⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪
⎭⎫
⎝⎛++=++=
+⋅-+=x x x x x x x x
x
x y
即得含费用最少为)3002200(+ 可见公司应该把楼房建成7层。

上面的例子是关于建造楼房的问题，在生活中，安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一。

这一点就是生活在校园内的同学们也有所耳闻。

有多少家梦想住人宽广静适的套房啊！下面我们就来研究一下一道关于单位职工住房公积金的问题。

例10 某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金，办法如下：
设职工每月工资为x 元，交纳公积金后实得数为y 元，求y 与x 之间的关系式，并画出图像。

解：①当0＜x ＜100时，y ＝x
②当100≤x ＜200时
y ＝100＋(x －100)(1－5％)＝0.95x ＋5 ②当200≤x ＜300时
y ＝100＋100(1－5％)＋(x －200)(1－10％)=0.9x ＋15 ②当30≥x 时
y ＝100＋100(1－5％)＋100(1－10％)＋(x －300)(1－15％) ＝0.85x ＋30
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤+<≤+<<=∴)3(
3085.0)3200( 1595.0)200100( 595.0)1000(
x x x x x x x x y
说明：此题系分段函数，其对x 的取值范围的讨论具有典型性，即应本着既不重复，也不遗漏的原则。

凡关于一些保险费的交纳等问题也可仿上类似地求解。

某生产队有60米长的一段篱笆，现用来围一个矩形的苗圃，一面可以利用一条小溪作天然屏障，问应怎样围法，可使苗圃面积最大？
分析：此题可利用长和宽的关系，建立函数，设法求出最大值。

解法一：配方法
设矩形宽是x ，则矩形的长为)260(x -令苗圃的面积为y ，则
450)15(2602)260(22+--=+-=-=x x x x x y
∴当15=x 时，450max =y 。

解法二：极值定理法 由解法1得：
450
)15260(15,152602)(60)260(2)260(22
1
)260(max =⨯-==-=∴=-+-⋅⋅=
-=y x x x x x x x x x y 时即当是常数Θ
答：苗圃长30米，宽15米时，最大面积为450米。

说明：这类面积解法都是常规的解法，但解法2是竞赛内容。

例11 某校办工厂现在年产值是15万元，如果增加100元投资，一年可增加250元产值。

(1)求总产值y (万元)与新增加的投资额x (万元)之间的函数关系式。

(2)如果增加1.5万元投资，年产值可达多少？
分析：(1)依题意，b kx y +=，这里15=b 万元，关键是确定k 的值，因为增加100元投资，一年可增250元产值，则每增加1万元投资，一年可增加2.5万元产值。

所以总产值y 与新增加的投资x 之间的函数关系式为：
x y 5.215+=，这是一个一次函数。

(2)当5.1=x 万元，75.185.15.215=⨯+=y (万元)。

因此，如果增加1.5万元投资，年产值可达到18.75万元。